羅素 西方哲學史
在數(shù)學中，幾何學有著非常重要的地位，因為幾何學的建立使得數(shù)學從經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為理性，從特殊上升為一般，從而成為一門科學。而幾何學創(chuàng)立于古希臘也是有其歷史的必然性，一方面，正如我們曾經(jīng)談到的，在地中海地區(qū)積累了大量的關于幾何學的經(jīng)驗；另一方面，這個開創(chuàng)性的工作不能單純依賴數(shù)學家的工作，在很大程度上也依賴于哲學家的工作，因為就思想基礎而言，數(shù)學與哲學是不可分割的，特別是在最初創(chuàng)立的階段，就像現(xiàn)代許多哲學家認為的那樣。
我們從柏拉圖那里已經(jīng)感悟到了幾何學的概貌，柏拉圖的學生亞里士多德則把問題談得更為具體，更為深刻。關于亞里士多德，我們在這里引用兩位哲學史家的評論。羅素在他的《西方哲學史》中說：
“他生在希臘思想創(chuàng)造的末葉；而他死后一直過了兩千年，世界才又產(chǎn)生出大體能與他相匹敵的哲學及”
杜蘭特 哲學的故事
以撰寫《哲學的故事》而聞名的杜蘭特在他的那本書中寫道：
“在集知識與理論之大成方面，直到斯賓塞時代，還沒有人能與亞里士多德相提并論。即使在斯賓塞時代，也沒有誰的建樹能和他的一半相媲美。......如果哲學就是對同一性的追求，那么亞里士多德對于20世紀給予他的崇高稱號，即千古第一哲人，是當之無愧的”
亞力士多德對后世影響之大，以至于今天我們研究任何一門科學時，都可能要用到他所創(chuàng)造德詞匯，比如官能，準則，動機，目的，原則，形式，范疇，分類，能量，潛能，中庸，三段論，現(xiàn)實性等等。但是，對于數(shù)學產(chǎn)生巨大影響的是他的三段論以及所創(chuàng)立的一門贊新的學科，即邏輯學。
邏輯學是一門研究如何正確思維的科學和藝術。數(shù)學的核心工作是計算和推理，而計算法則的確立和推理方法的嚴謹都依賴思維的正確，因此，從數(shù)學逐漸形成為科學的那個時候開始，邏輯就滲透，支撐著數(shù)學的發(fā)展。邏輯學的本質(zhì)告訴我們，在討論或者研究問題的時候，每一個術語和概念的使用，每一步計算和推理的進展，都必須經(jīng)得起最嚴格的檢驗。
數(shù)學要成為科學，第一個不可逾越的難關就是如何理解概念。我們曾經(jīng)談到，關于“數(shù)學是研究抽象了的東西”這個命題從古至今無人質(zhì)疑，但是這個抽象了的東西是如何存在的，卻始終是爭論的焦點。很顯然，這個“抽象了的東西”就是指數(shù)學中所涉及的最基本的概念。因此，就數(shù)學而言，這個爭論的焦點是“數(shù)學概念是如何存在的”。這個爭論從一開始就形成了所謂的“唯實論”和“唯名論”兩派，一直延續(xù)至今。我們將會看到，這個爭論的內(nèi)容和形式與中國古代的名實之爭是有很大區(qū)別的。
柏拉圖認為，一般概念是具有客觀存在性的，因此他認為，幾何學的任務就是去發(fā)現(xiàn)客觀世界中已經(jīng)存在了的概念，從而掌握建立在概念基礎上的知識，這便是“唯實論”的實質(zhì)。關于數(shù)學，柏拉圖堅持認為，人們只有通過思想認識了理想世界中的數(shù)學知識才有可能真正理解現(xiàn)實世界中的數(shù)學知識。關于這一點，17世紀的荷蘭哲學家斯賓諾莎（1632-1677）說得更為明確，他認為，有一個為感官所感知得現(xiàn)實世界，也有一個為思想所推斷得理想世界，進而支持柏拉圖得想法。20世紀得哲學家，數(shù)理邏輯學家羅素也支持柏拉圖得想法，他把問題闡述得更加直白，他在《西方哲學史》中說：
“我應當同意柏拉圖得說法，即算學以及一般的純數(shù)學并不是從知覺得來的。......因此，數(shù)學的真理，正像柏拉圖所說，乃是與知覺無關的；它是非常奇特的一種真理，并且僅只涉及符號”
作為學生，亞里士多德在柏拉圖那里學到了很多東西，但關于概念等基本命題，他不同意老師的觀點，他有一句名言：“吾愛吾師，吾更愛真理”。亞里士多德認為，能夠適用于一類物體中的所有成員的名稱都是一般概念，這些一般概念是人從感性的經(jīng)驗中通過直觀和抽象獲得的，只存在于我們的主觀意識之中，而不是看得見摸得著的客觀存在，他們是“名”而不是“實”。
雖然“唯實論”和“唯名論”之爭曠日持久延續(xù)至今，但是我想，數(shù)學的發(fā)展驗證了亞里士多德的思考。正如《數(shù)的表示》中談到的那樣，人們從現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐中的數(shù)量中抽象出“二”這個概念，并用符號“2”來表示，因此，這個抽象是依賴于人的知覺的，也是依賴于人的思維的。但是，被抽象出來的一般概念在現(xiàn)實世界中并不存在，在現(xiàn)實世界中只存在具體的二粒米，二匹馬，二條魚等等，事實上，也只有完成了這種擺脫了具體內(nèi)容的抽象，數(shù)學才可能得到發(fā)展。
柏拉圖 理想國
但是，對幾何學所需要的數(shù)學概念的抽象比代數(shù)學更為困難。許多人可能會認為，幾何學概念的基礎是圖形，而圖形比數(shù)量更為直觀，因此是容易抽象的。事實上，越是直觀的事物，越是與我們的日常生活聯(lián)系密切的事物就越難抽象。人們在很早就完成了對自然數(shù)的抽象，使得自然數(shù)拜托了具體內(nèi)容的束縛，可是，圖形應當如何擺脫具體的內(nèi)容呢？柏拉圖在《理想國》中，再次借用蘇格拉底之口談到：
“你也知道，雖然他們利用各種可見的圖形討論它們，但是，處于他們思考中的實際并不是這些圖形，而是圖形所摹仿的那些東西。他們討論的并不是他們所畫的某個特殊的正方形或某個特殊的對角線等等，而是正方形本身，對角線本身。他們所畫的圖形乃是實物，有其水中的影子或影像。但是，現(xiàn)在他們又把這些東西當作影像，而他們實際要求看到的則是只有用思想才能“看到”的那些實在”
我想，柏拉圖大概是在說，雖然學者們討論幾何學時要畫圖形，但是，他們討論的并不是這些具體的圖形，他們討論的是一般意義上的圖形。柏拉圖認為一般意義上的圖形才是真正存在的，這種存在只能通過思想才能看到，而通過肉眼看到的圖形只不過是一般意義上存在的圖形的影子。柏拉圖的論述充滿了神秘色彩，但是，我們能夠理解柏拉圖的心情，他希望能夠得到圖形的脫離了具體內(nèi)容的一般概念，但是他既說不清楚應當如何抽象才能得到一般概念，也說不清楚經(jīng)過抽象得到的一般概念應當是什么。柏拉圖思考的問題過于深刻，而他又過于急切地希望得到問題的答案，因此不得不利用神秘色彩來進行掩飾。事實上，他提出的問題直到19世紀的末葉才得到解決。還是讓我們在后續(xù)中循序漸進地來闡述這個問題。
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