皮克定理是有關(guān)格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算問題，因此在了解皮克定理前，我們要先看一下什么是格點(diǎn)多邊形：

一、格點(diǎn)多邊形

如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，圖中的小正方形的頂點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，如果一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則稱該多邊形為“格點(diǎn)多邊形”，如下圖所示是格點(diǎn)四邊形。

二、格點(diǎn)多邊形面積計(jì)算

在數(shù)學(xué)課上，我們通常用加減法來計(jì)算格點(diǎn)多邊形面積。如下圖是常見的計(jì)算格點(diǎn)四邊形的方法。

如果圖形過于復(fù)雜，比如對(duì)于以下兩幅圖，用上述加減法計(jì)算就有些復(fù)雜了。

三、匹克定理

1899年，奧地利數(shù)學(xué)家喬治.亞歷山大.匹克對(duì)格點(diǎn)多邊形面積計(jì)算問題給出了以下公式：格點(diǎn)多邊形面積=內(nèi)點(diǎn)數(shù)+邊界點(diǎn)數(shù)÷2-1，如果用m表示內(nèi)點(diǎn)數(shù)，n表示邊界點(diǎn)數(shù)即:S=m+n÷2-1。這個(gè)結(jié)論我們稱作匹克定理。用它來計(jì)算格點(diǎn)多邊形方便多了。

用匹克定理計(jì)算上圖如下：

四、匹克定理不適用的類型

1、非格點(diǎn)多邊形，即多邊形有頂點(diǎn)不在格點(diǎn)上。如下圖。

2、有“洞”的圖形。即圖形內(nèi)部被挖去了一部分。如下圖。

五、匹克定理的證明

乍看起來，皮克定理令人難以置信，對(duì)于任意單格點(diǎn)多邊形，僅僅通過格點(diǎn)數(shù)就能算出面積，真是這樣嗎？答案是肯定的，看看如何證明這匹克定理論的正確性。

證明匹克定理的方法很多，1985年發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上的一篇文章中，沃爾貝里提出了一種利用可加性完成整個(gè)證明的漂亮方法，所謂可加性指的是把一個(gè)格點(diǎn)多邊形分為許多小格點(diǎn)多邊形，小塊用匹克定理相加等于大塊套用匹克定理。

下面簡(jiǎn)述證明思路：

1、很容易驗(yàn)證單位正方形成立，利用可加性可得各邊與坐標(biāo)軸平行的矩形成立；

2、矩形成立，直角三角形也成立；

3、任意三角形可以用矩形減周圍直角三角形，利用可加性可知任意三角形也成立。

4、任意格點(diǎn)多邊形均可以分割為格點(diǎn)三角形。

因此，匹克定理成立。