曲線運動

1．曲線運動的特征

（1）曲線運動的軌跡是曲線。

（2）由于運動的速度方向總沿軌跡的切線方向，又由于曲線運動的軌跡是曲線，所以曲線運動的速度方向時刻變化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不斷變化，所以說：曲線運動一定是變速運動。

（3）由于曲線運動的速度一定是變化的，至少其方向總是不斷變化的，所以，做曲線運動的物體的中速度必不為零，所受到的合外力必不為零，必定有加速度。（注意：合外力為零只有兩種狀態(tài)：靜止和勻速直線運動。）

曲線運動速度方向一定變化，曲線運動一定是變速運動，反之，變速運動不一定是曲線運動。

2．物體做曲線運動的條件

（1）從動力學角度看：物體所受合外力方向跟它的速度方向不在同一條直線上。

（2）從運動學角度看：物體的加速度方向跟它的速度方向不在同一條直線上。

3．勻變速運動：加速度（大小和方向）不變的運動，也可以說是：合外力不變的運動。

4．曲線運動的合力、軌跡、速度之間的關系

（1）軌跡特點：軌跡在速度方向和合力方向之間，且向合力方向一側(cè)彎曲。

（2）合力的效果：合力沿切線方向的分力F2改變速度的大小，沿徑向的分力F1改變速度的方向。

① 當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率將增大。

② 當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率將減小。

③ 當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。（舉例：勻速圓周運動）

繩拉物體

合運動： 實際的運動。對應的是合速度。

方法：把合速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向。

小船渡河

例1：一艘小船在200m寬的河中橫渡到對岸，已知水流速度是3m/s，小船在靜水中的速度是5m/s，

求：

（1）欲使船渡河時間最短，船應該怎樣渡河？最短時間是多少？船經(jīng)過的位移多大？

（2）欲使航行位移最短，船應該怎樣渡河？最短位移是多少？渡河時間多長？

船渡河時間：主要看小船垂直于河岸的分速度，如果小船垂直于河岸沒有分速度，則不能渡河。

由 t=d/v船cosθ，得 tmin=d/v船

此時θ=0°，即船頭的方向應該垂直于河岸

解：

（1）結論：欲使船渡河時間最短，船頭的方向應該垂直于河岸。渡河的最短時間為：t_min=d/v_船

合速度為：

合位移為：

或者x=v_合t

（2）分析：

怎樣渡河：船頭與河岸成θ 向上游航行。

最短位移為：x_min=d

合速度為：

對應的時間為：t=d/v_合

例2：一艘小船在200m寬的河中橫渡到對岸，已知水流速度是5m/s，小船在靜水中的速度是4m/s，

求：

（1）欲使船渡河時間最短，船應該怎樣渡河？最短時間是多少？船經(jīng)過的位移多大？

（2）欲使航行位移最短，船應該怎樣渡河？最短位移是多少？渡河時間多長？

解：

（1）結論：欲使船渡河時間最短，船頭的方向應該垂直于河岸。

渡河的最短時間為：t_min=d/v_船

合速度為：

合位移為：

或者x=v_合t

（2）方法：以水速的末端點為圓心，以船速的大小為半徑做圓，過水速的初端點做圓的切線，切線即為所求合速度方向。

如上圖所示：AC即為所求的合速度方向。

相關結論：

cosθ=v船/v水；

；

xmin=xAC=d/cosθ=dv水/v船；

t=xmin/v合或t=d/v船sinθ

平拋運動基本規(guī)律

1．速度：v_x=v₀，v_y=gt；

合速度：

；

方向：tanθ=v_y/v_x=gt/v_0；

2．位移：x=v₀t，y=gt²/2；

合位移：

；

方向：tanα=y/x=gt/2v_0；

3．時間由：y=gt²/2得

（由下落的高度y決定）

4．平拋運動豎直方向做自由落體運動，勻變速直線運動的一切規(guī)律在豎直方向上都成立。

5．tanθ=2tanα速度與水平方向夾角的正切值為位移與水平方向夾角正切值的2倍。

6．平拋物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線與初速度方向延長線的交點到拋出點的距離都等于水平位移的一半。（A是OB的中點）。

勻速圓周運動

1．線速度：質(zhì)點通過的圓弧長跟所用時間的比值。

v=Δs/Δt=ωr=2πr/T=2πfr=2πnr，單位：米/秒，m/s

2．角速度：質(zhì)點所在的半徑轉(zhuǎn)過的角度跟所用時間的比值。

ω=Δφ/Δt=2π/T=2πf=2πn，單位：弧度/秒，rad/s

3．周期：物體做勻速圓周運動一周所用的時間。

T=2πr/v=2π/ω，單位：秒，s

4．頻率：單位時間內(nèi)完成圓周運動的圈數(shù)。

f=1/T，單位：赫茲，Hz

5．轉(zhuǎn)速：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。

n=N/t，單位：轉(zhuǎn)/秒，r/s，n=f(條件是轉(zhuǎn)速n的單位必須為轉(zhuǎn)/秒)

6．向心加速度：

a=v²/r=ω²r=ωv=（2π/T）²r=（2πf）²r

7．向心力：

F=ma=mv²/r=mω²r=mωv=m（2π/T）²r=m（2πf）²r

8．三種轉(zhuǎn)動方式

豎直平面的圓周運動

１．“繩模型”如上圖所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況。

（注意：繩對小球只能產(chǎn)生拉力）

（1）小球能過最高點的臨界條件：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用

mg=mv²/rv_臨界

（2）小球能過最高點條件：v≥

（當v>

時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力）=

（3）不能過最高點條件：v

（實際上球還沒有到最高點時，就脫離了軌道）

２．“桿模型”，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況

（注意：輕桿和細線不同，輕桿對小球既能產(chǎn)生拉力，又能產(chǎn)生推力。）

（1）小球能過最高點的臨界條件：v=0，F(xiàn)=mg（F為支持力）

（2）當0v

時，F隨v增大而減小，且mg>F>0（F為支持力）

（3）當v=

時，F=0

（4）當v>

時，F隨v增大而增大，且F>0（F為拉力）

萬有引力定律

1．開普勒第三定律：行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個常量。

r³/T²=k（K值只與中心天體的質(zhì)量有關）

2．萬有引力定律：F_萬=Gm₁m₂/r²

（1）赤道上萬有引力：F_萬=mg+F_向=mg+ma_向（g和a_向是兩個不同的物理量）

（2）兩極上的萬有引力：F_引=mg

3．忽略地球自轉(zhuǎn)，地球上的物體受到的重力等于萬有引力。

由GMm/R²=mg得GM=gR²(黃金代換)

4．距離地球表面高為h的重力加速度：由GMm/（R+h）²=mg’得GM=g’（R+h）²，g’=GM/（R+h）²

5．衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動：萬有引力提供向心力F_萬=GMm/r²=F_向

GMm/r²=ma得a=GM/r²（軌道處的向心加速度a等于軌道處的重力加速度g_軌）

6．中心天體質(zhì)量的計算：

方法1：

（已知R和g）

方法2：

（已知衛(wèi)星的V與r）

方法3：

（已知衛(wèi)星的

與r）

方法4：

（已知衛(wèi)星的周期T與r）

方法5：

已知

（已知衛(wèi)星的V與T）

方法6：

已知

（已知衛(wèi)星的V與

，相當于已知V與T）

7．地球密度計算：球的體積公式：V=4πR³/3

近地衛(wèi)星ρ=3π/GT²(r=R)

8．發(fā)射速度：采用多級火箭發(fā)射衛(wèi)星時，衛(wèi)星脫離最后一級火箭時的速度。

運行速度：是指衛(wèi)星在進入運行軌道后繞地球做勻速圓周運動時的線速度。

當衛(wèi)星“貼著”地面運行時，運行速度等于第一宇宙速度。

第一宇宙速度：7.9km/s。衛(wèi)星環(huán)繞地球飛行的最大運行速度。地球上發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。

第二宇宙速度：11.2km/s。使人造衛(wèi)星脫離地球的引力束縛，不再繞地球運行，從地球表面發(fā)射所需的最小速度。

第三宇宙速度：16.7km/s。使人造衛(wèi)星掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去，從地球表面發(fā)射所需要的最小速度。

v=7.9km/s，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動；7.9km/s<><11.2km><16.7km>