1

懂得概率的人，才是真正聰明的人。

因為這個世界，不管是世俗層面，還是宇宙層面，都是依照概率運行的。

至少，概率包裹著人類的無知的最外面那一層。

然而，這個世界上極少有人真的懂概率。

我把“懂概率”分為3個層級：

層級一：懂概率計算；

層級二：懂概率思考；

層級三：懂概率行動。

這三個層級未必是遞進的關(guān)系。

a、你是概率計算高手，也會艱深的概率思考，但未必一定是個概率行動高手。即使天才如凱恩斯，也是歷經(jīng)多年磨難，才最終躋身“層級3”；

b、有些人壓根兒不會基本的概率計算，也不知道什么叫概率思維，但天生就是概率行動高手。例如那些德州撲克高手，交易員鬼才等等。

這或者是因為他們小時候的生活環(huán)境是個天然的概率訓(xùn)練場，或者是因為大腦本身就是一個概率機器。

2

有多少人懂得概率計算？

大約1%吧，實話說可能更少。

懂得概率計算的人里，有多少人懂得概率思考？

再來個1%。

懂得概率思考的人里，有多少人懂得概率行動？

還是1%吧。

不過，這么一算，全世界沒多少人真正懂得概率行動了，而且這樣計算也違背了我上面所說的，有些人天生就會概率行動而無需會計算。

所以，修正一下，把后面的兩個1%改成10%。

于是，可以得出，有意識的概率行動者，大約萬分之一。

也就是說，在千萬級人口的城市里，有幾千個“概率高手”。

你可能會說，不對吧，北上廣深這些千萬人口城市，每個地方光是億萬富翁都不止幾千個吧？

有錢人雖然多，但很多只是靠運氣，屬于“隨機漫步的傻瓜”，而非概率高手。

那么，“孤獨大腦”公眾號的訂閱者接近50萬，其中的概率高手只有不到50個人嗎？

留個懸念，在文章最后揭開。

層 級 一

概率計算

1

假如想應(yīng)對這個世界上的不確定性，與隨機性共舞，你必須懂得概率計算。

那么，一個普通人到底要掌握多少概率公式，才夠用呢？

我的答案是：零。

沒錯，你一個公式都不用記。

愛因斯坦說：

“科學(xué)知識不是大量莫名其妙的結(jié)論，它是每個人按照正確的思維方式自己應(yīng)當并且也能夠推導(dǎo)出的結(jié)論。

學(xué)習(xí)科學(xué)的過程，就是自己得出這個結(jié)論的過程?！?/p>

概率的公式本來就很簡單，假如你能夠拆掉這些公式，自己從頭推導(dǎo)，你就永遠不用去記這些公式。

對于那些熟悉概率公式的人，我也建議你一起來一次“從頭推導(dǎo)”，這樣你就會發(fā)現(xiàn)，幾乎可以解決所有的“難度達到硅谷面試題級別”的概率趣題，絕對橫掃“俗人圈兒”。

2

如何從頭推導(dǎo)？

我想和你分享的是“平行宇宙法”。

比方說，我們?nèi)右粋€標準的六面骰子，眾所周知，你得到任何一個面的可能性都是1/6。

但是很多人即使懂得這個簡單的道理，也沒法從感官上理解。他會想：骰子落地，只會100%是某個數(shù)字，1/6有什么意義呢？

就像我有次和一個朋友聊特斯拉電動車的自燃率。我告訴他根據(jù)行駛里程，特斯拉官方公布的自燃率比燃油車低500%。

這個朋友說：不管你特斯拉總的自燃比例有多低，（一旦發(fā)生）對任何一個車主而言就是100%……電動車自燃也許是小概率事件，但對涉事車主來說，卻是百分百的噩耗。

這就是聰明的概率無知者。

其實特斯拉的說法也有漏洞，因為他們應(yīng)該和同等車齡同等級別的車對比，才夠公平。不過，這個就是更聰明的人才能提出的問題了。

回到我們的“平行宇宙法”：

一個骰子在你扔出的瞬間，現(xiàn)有的宇宙分裂成了6個平行宇宙，如下：

所以，盡管現(xiàn)實中，看起來骰子落地的時候，只會是某個確定的一面朝上，但是當你（不作弊地）隨機扔出骰子的時候，骰子的未來就分裂成了6個平行宇宙，分別是骰子落地之后的6個結(jié)果：1，2，3，4，5，6。

但是，我們的現(xiàn)實，只能選擇6個宇宙中的一個。

因為標準骰子的六個面是一樣的，所以6個宇宙平分了“未來的可能性”。

所以某一面出現(xiàn)的可能性，也就是概率，是1/6。

那么，扔一個骰子，得到偶數(shù)的概率是多少呢？

把2、4、6三個平行宇宙的三個1/6加起來，等于1/2。

懂得概率計算的人，一定會對我如此啰嗦表示不屑，請堅持一下，再往下看。

3

“平行宇宙論”，也叫多重宇宙論，或者叫多元宇宙論，指的是一種在物理學(xué)里尚未證實的假說：

在我們的宇宙之外，很可能還存在著其他的宇宙，而這些宇宙是宇宙的可能狀態(tài)的一種反應(yīng)，這些宇宙可能其基本物理常數(shù)和我們所認知的宇宙相同，也可能不同。

多重宇宙這個名詞是由美國哲學(xué)家與心理學(xué)家威廉·詹姆士在1895年所提出的。

平行宇宙經(jīng)常被用以說明：一個事件不同的過程或一個不同的決定的后續(xù)發(fā)展是存在于不同的平行宇宙中的。

（以上來自維基百科）

我個人對平行宇宙的理論不太感冒，但覺得用它來描述概率，非常直觀。

而且，這能夠讓我們從哲學(xué)和“實在”層面，去理解概率里的“發(fā)生”和“未發(fā)生”。

例如，假如一件事情發(fā)生的概率是80%，但結(jié)果這件事情并沒有發(fā)生。很多人會據(jù)此懷疑概率的意義。

借助于平行宇宙的理論，我們就能說，除了要驗證80%發(fā)生概率的精確性，可以認為我們掉進了20%“不發(fā)生”的平行宇宙，這并不奇怪。

最近有位物理學(xué)家認為，我們處于上層宇宙的一個黑洞中。

這個新觀點頗讓人震驚：我們所知的宇宙，可能是從其他宇宙里面的“黑洞”誕生而來。大爆炸就是一個黑洞“炸出”另一個宇宙的過程。

我們對于充滿不確定性的未來，對自己似乎“命中注定”的命運，對于比電影還要精彩（或是“還要悲催”）的現(xiàn)實，不可避免地會有一些疑惑和感慨。

4

讓我們回到現(xiàn)實世界的概率話題。

現(xiàn)在我們把問題變成扔兩個骰子。

請問扔兩個骰子，得到兩個6的可能性是多大？

太簡單了，1/6??1/6=1/36。

但是，為什么要這么計算呢？

我知道你懂“兩個獨立事件A和B同時發(fā)生的概率等于A發(fā)生的概率和B發(fā)生的概率的乘積”，可我們說好了不用公式的呀。

所以，讓我們繼續(xù)用平行宇宙的可視化計算法。

扔兩個骰子，其實是它們的宇宙分裂了兩次，如下圖：

第一次：扔第一個骰子時，宇宙分裂成了六個（綠色）；

第二次：扔第二個骰子時，每個綠色的宇宙又分別分裂成了六個（藍色）。

于是我們得到了36個平行宇宙。

現(xiàn)在我們來找一下，在36個平行宇宙里，有多少個是兩個骰子都處于6的狀態(tài)。

答案是只有一個（在右下角），所以，得到兩個6的可能性是1/36。

用“平行宇宙法”，看起來復(fù)雜，但直觀，而且可感知。

這正是愛因斯坦所說的：

每個人按照正確的思維方式自己應(yīng)當并且也能夠推導(dǎo)出的結(jié)論。

更關(guān)鍵的是，我們可以用這種零公式的方法，來解答更難的題目。

5

目前《老喻的人生算法課》正在“得到App”上賣，為了促進銷量，主編要我在該App的社區(qū)“知識城邦”上陪聊。

大部分問題都是人生和工作難題，我盡量顯得機智而有誠意地回答（目前已經(jīng)快裝不下去了）。偶爾也有數(shù)學(xué)題，例如下面這個：

這個問題看起來簡單，我猜90%的人不會做。

會做的那10%，其中可能只有1%能說明白為什么這么做。

讓我繼續(xù)采用“平行宇宙法”清清楚楚地算一遍。

如題，因為1也可以是3，所以我們可以把問題簡化，單個骰子得到3的概率是2/6=1/3。

在下圖中：

• 用紅球來標記1和3，出現(xiàn)的概率是1/3；
  

• 用黑球來標記其他可能，出現(xiàn)的概率是2/3；

• 扔三個球，作為獨立事件，相當于爆炸了三次，如下圖。
  

分裂了三次之后，一共產(chǎn)生了3??3??3=27種可能。

我們來檢查一下，這27個平行宇宙中，有多少個是兩個紅色球？

如圖，從右側(cè)回溯到左側(cè)，每條線上的三個球，就是該平行宇宙下的三球分布。

其中，畫紅鉤的6個符合條件。

所以，答案是：6/27=2/9。

我們也可以用排列組合法來做：

1/3??2/3??1/3??3=6/27=2/9。

但我們說了，不用一個公式。

（開始提問者后半截的問題，搖骰子，得到三個3（1也可以是3）的概率是1/27。）

6

下面這道題，已經(jīng)進入高手級別了，但是我們依然不用任何公式。

更好玩兒的是，你甚至可以用下面這道題讓普通人迷惑的地方，在酒吧里和人打賭。當然，不是真賭哈。

帽子里有三張卡片。一張兩面都是紅色（“紅-紅”），一張兩面都是白色（“白-白”），一張一面紅色一面白色（“紅-白”）。

從里面隨機抓出一張卡片扔向空中，落地后紅色一面朝上。問：這張卡片是“紅-紅”的概率是多少？

請你準備三張紙片，寫成上面的樣子，以便更直觀地思考。

看起來很簡單啊，根據(jù)已有信息，這張牌要么是（“紅-紅”）那一張，要么是（“紅-白”），二者出現(xiàn)的可能性是一樣的，所以是“紅-紅”的概率是50%，不是嗎？

正確答案是：2/3。

《不確定世界的理性選擇》一書中，對此給出了清晰直觀的解答。

正確的問題表征是根據(jù)卡片的面，而不是整張卡。

所有結(jié)果的樣本空間包括六個事件——每張卡片的每一面各為一個事件。

由于紅色的一面向上，因此在“有效樣本空間”中共有三個事件：紅白（紅面向上）、紅-紅（一個紅面向上）、紅-紅（另一個紅面向上）。

因此正確答案是 2/ 3——三個等概率事件中，其中兩個是紅-紅。

我們的錯覺在于，紅-紅這張牌每回只能出現(xiàn)一次，為什么其兩面可以“拆”成兩個獨立事件呢？

我們用窮舉法，以“概率樹”的形式，也就是我們上面所說的“平行宇宙法”，加上書中的配圖（如下），更容易理解：

三張牌可以分裂成（上圖右側(cè)的）6個平行宇宙，牌面是紅色的有3個，這3個中，有2個是紅-紅牌。

你看，這道題看似非常簡單，能答對的人極少。而且會有人看了答案都不服，最好的辦法就是做三張牌，實際玩兒上幾把，不服就來真的。

7

其實，“平行宇宙法”就是一種窮舉法。

只不過我把動態(tài)過程加進去，因為有了時間、空間，以及“分裂”這個動作，我們就可以讓這個計算過程可視化，可感知。

這樣以來，也就更可以在“為什么”的基礎(chǔ)上思考。

“為什么”，是一個非常偉大的詞匯，本系列文章的后兩篇，“為什么”是主角之一。

追問“為什么”，也是概率計算的“第一性原理”。

一旦做到了這一點，你就是真正聰明的概率高手。

8

能否進行概率計算和思考，的確是評判一個人是否真聰明的硬指標。

1968年夏天，愛德華·O·索普遇見了沃倫·巴菲特共進晚餐。索普是一位數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)在賭場攻克了21點游戲，后來又在資本市場上大展身手，是量化金融的先驅(qū)。

兩個聰明人在一起自然要過招。巴菲特決定考驗一下索普，題目如下。

有三個奇異骰子，每一個骰子最多有2個或3個不一樣的數(shù)字。用這些特殊的骰子來玩1個賭博游戲：

你可以選這3個中“最好”的那個，而我拿剩下的2個中“最好”的。我們一起擲出，數(shù)字大的獲勝。

即便你選擇了那個你認為“更好”的骰子，我也總是能夠從平均統(tǒng)計值上戰(zhàn)勝你。對絕大部分人來說，這里最不可思議的一點在于，根本不存在所謂“最好”的骰子。

坦率說，這個題目讓許多人困擾，因為他們認為應(yīng)該遵守數(shù)學(xué)上所謂的傳遞規(guī)則：若A優(yōu)于B，B優(yōu)于C，則A優(yōu)于C。

索普答出了巴菲特的難題。

如果骰子如下：A的六面數(shù)字是（3，3，3，3，3，3），B是（6，5，2，2，2，2），C是（4，4，4，4，1，1），

那么統(tǒng)計平均顯示，A對B的勝率有2/3，B對C有5/9，C對A有2/3。

所以說，這是三個非傳遞骰子，不管你先選哪一個，我都能找出一個在概率上贏了你。

什么意思呢？我們繼續(xù)用基于“平行宇宙法”的窮舉法，來證明索普的結(jié)論。只是我不再能畫成簡單的分叉圖了。

以B對C為例，示意如下：

橫向的紅色，是B的六種可能?？v向的藍色，是C的六種可能。

二者對決，36個格子就是36種可能，也就是說，會有36個平行宇宙。

這當中，紅勝20次（打紅鉤的情況下），所以B的勝率是20/36=5/9。

你看，全世界最聰明人的難題，也不用一個公式，就能夠解得清清楚楚。

8

概率計算，普通人只要知道這么多，就夠了嗎？

幾乎是。

但最好再加上另外一種，就更完整了。

我們先來一道傳說中的谷歌面試題：

假設(shè)在一段高速公路上，30分鐘之內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是0.95。那么，在10分鐘內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是多少？（假設(shè)缺省概率固定）

解題思路如下：

1、可以把30分鐘的這個結(jié)果，當作是三個10分鐘的疊加，就像扔三個骰子一樣；

2、30分鐘之內(nèi)見到汽車經(jīng)過的概率是0.95，可能是經(jīng)過一輛車，也可能是幾輛車。所以我們就倒過來想，30分鐘見不到任何車的概率是0.05。

3、30分鐘見不到任何車，意味著三個10分鐘，連續(xù)都見不到任何車。我們假設(shè)每10分鐘見不到車的概率是y。

所以，這三個10分鐘同時發(fā)生見不到車的概率，就是y??y??y，原理和上面第“4”節(jié)的思路一樣。

因此在10分鐘內(nèi)見不到任何車輛的概率，是0.05的立方根。

而在10分鐘內(nèi)見到一輛車的概率，則為1減去此立方根（因為“見到車”和“見不到任何車”的可能性之和為100%）。

答案是大約63%。

9

類似思路的“用1減”，最有名的題目就是所謂的“生日悖論”：

如果在一個房間，至少要有多少人，可以令“其中某兩個人的生日是同一天”的概率大于50%? 

答案是23人。

這個數(shù)字遠比直覺要低得多。我很早以前喜歡拿這個錯覺和人打賭，贏了好多回。

具體計算方法也不難，簡述如下：

1、這個問題也要倒過來想，計算連續(xù)多個人生日都不重合的概率；

2、我們假設(shè)人們是按順序一個個進入房間。第一個人隨便占了365天的一天，概率是365/365；

3、第二個人只有占剩下364天的一天，才能不和第一個人重合，概率是364/365；

4、依次類推，第三個人只有占剩下363天的一天，才能不和前兩個人重合，概率是363/365；

......

前五個人生日完全不重合的概率是：1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。

也就是說，看起來似乎不重合的可能性很大。

但是隨著人數(shù)的增多，不重合的可能性加速降低。

這有點兒像另外一種形式上的“復(fù)利效應(yīng)”。

當人數(shù)達到23的時候，不重合的概率已經(jīng)低于50%了。

當房間里有50人時，至少有兩個人生日重合的概率已經(jīng)高達近97%了。

類似的算法，還可以用來在飯桌上打賭，至少有兩個人是同一個星座。

請問，飯桌上有幾個人的時候，你愿意和別人打這個賭？

10

即使我宣稱了“零公式”，你能堅持看到這里，也很不容易。

但絕對是值得的。

據(jù)科學(xué)家說，人類的大腦可能天生就是一個懂得貝葉斯概率算法的機器。

但只是一個隱形的機器。

事實上，人類很晚才懂得如何計算概率，所以人類大腦很難對概率計算形成直覺判斷。

計算機、大數(shù)據(jù)、人工智能的加速發(fā)展，以及金融市場和全球化經(jīng)濟的進程，令概率成為現(xiàn)代人必備的“底層算法”。

本文是系列文章的第一篇，后面兩篇會接著寫“概率思考”和“概率行動”。

開始有個小懸念：“孤獨大腦”公眾號的訂閱者接近50萬，如果按照萬分之一的概率，其中的“概率高手”只有不到50個人嗎？

當然不是，聰明如你應(yīng)該知道，讓人頭疼的公眾號吸引的大多是愿意動腦的聰明人。

所以，孤獨大腦訂閱者中概率高手的“基礎(chǔ)概率”更大。