原文標(biāo)題：和楊振寧教授漫談: 數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，來自《數(shù)學(xué)傳播》。
楊振寧是當(dāng)代的大物理學(xué)家, 又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動者, 他的兩項巨大成就: 楊–密爾斯規(guī)范場和楊–巴克斯特方程, 成為80年代以來一系列數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點, 其影響遍及微分幾何、偏微分方程、低維拓?fù)?、辮結(jié)理論、量子群等重大數(shù)學(xué)學(xué)科。筆者曾在「楊振寧與當(dāng)代數(shù)學(xué)」的訪談錄中有過較為詳細的介紹(此文的中文版在臺灣「數(shù)學(xué)傳播」1992年4月發(fā)表, 內(nèi)容不全相同的英文版刊于「Mathematical Intelligencer」Vol.15,NO。.4,1993。它的中譯文已被收入楊振寧的新著「讀書教學(xué)再十年」(臺灣時報出版公司,1995), 這里記錄的有關(guān)數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系, 來自筆者在1995年末在紐約州立大學(xué)(石溪) 訪問楊振寧先生時的一些談話材料, 因為不是系統(tǒng)的談話, 故稱「漫談」。
一. 有關(guān)數(shù)學(xué)的兩則「笑話」
1980年代初, 楊振寧曾在韓國漢城作物理學(xué)演講時說「有那么兩種數(shù)學(xué)書: 第一種你看了第一頁就不想看了, 第二種是你看了第一句話就不想看了」。當(dāng)時引得物理學(xué)家們轟堂大笑。此話事出有因。1969年, 楊振寧察覺物理上的規(guī)范場理論和數(shù)學(xué)上的纖維叢理論可能有關(guān)系, 就把著名拓?fù)鋵W(xué)家Steenrod著的「The Topology of Fibre Bundles纖維叢的拓?fù)?」[1]一書拿來讀, 結(jié)果是一無所獲。原因是該書從頭至尾都是定義、定理、推論式的純粹抽象演繹, 生動活潑的實際背景淹沒在形式邏輯的海洋之中, 使人摸不著頭腦。
上述漢城演講中那句話本來是即興所開的玩笑, 不能當(dāng)真的。豈料不久之后被「Mathematical Intelligencer」捅了出來, 公之與眾。在數(shù)學(xué)界當(dāng)然會有人表示反對, 認(rèn)為數(shù)學(xué)書本來就應(yīng)該是那樣的。不過, 楊振寧先生說「我相信會有許多數(shù)學(xué)家支持我, 因為數(shù)學(xué)畢竟要讓更多的人來欣賞, 才會產(chǎn)生更大的效果」。
我想, 楊振寧是當(dāng)代物理學(xué)家中特別偏愛數(shù)學(xué), 而且大量運用數(shù)學(xué)的少數(shù)物理學(xué)者之一。如果連他也對某些數(shù)學(xué)著作的表達方式嘖有煩言, 遑論其它的物理學(xué)家? 更不要說生物學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家、一般的社會科學(xué)家和讀者了。
另一則笑話, 可在波蘭裔美國數(shù)學(xué)名家S.M.Ulam 的自傳「一個數(shù)學(xué)家的遭遇(Advantures of a mathematician) 」[2]中讀到。該書294頁上寫道: 「楊振寧, 諾貝爾物理學(xué)獎獲得者, 講了一個有關(guān)現(xiàn)時數(shù)學(xué)家和物理家間不同思考方式的故事: 一天晚上, 一幫人來到一個小鎮(zhèn)。他們有許多衣服要洗, 于是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標(biāo)記:『這里是洗衣房』。一個人高聲問道: 『我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎?』窗內(nèi)的老板回答說:『不, 我們不洗衣服。』來人又問道:『你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎』。老板又回答說: 『我們是做洗衣房標(biāo)記的, 不洗衣服』。這很有點像數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家們只做普遍適合的標(biāo)記, 而物理學(xué)家卻創(chuàng)造了大量的數(shù)學(xué)。」
楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。數(shù)學(xué)圈外的人們對數(shù)學(xué)家們「只做標(biāo)記, 不洗衣服」的做法是不贊成的。數(shù)學(xué)家Ulam 在引了楊振寧的「笑話」之后, 問道, 信息論是工程師C. Shannon 創(chuàng)立的, 而純粹數(shù)學(xué)家為什么不早就建立起來? 他感嘆地說:「現(xiàn)今的數(shù)學(xué)和19世紀(jì)的數(shù)學(xué)完全不同, 甚至百分之九十九的數(shù)學(xué)家不懂物理。然而有許許多多的物理概念, 要求數(shù)學(xué)的靈感, 新的數(shù)學(xué)公式, 新的數(shù)學(xué)觀念?！?br>
二. 理論物理的「猜」和數(shù)學(xué)的「證」
1995年12月, 楊振寧先生接到復(fù)旦大學(xué)校長楊福家的來信, 請楊振寧在1996年5月到復(fù)旦為「楊武之講座」做首次演講。楊武之教授是楊振寧的父親, 又是中國數(shù)學(xué)前輩,早年任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系系主任多年, 五十年代后則在復(fù)旦大學(xué)任教授, 所以楊振寧很愉快地接受了邀請。但是他不能像楊福家校長要求的那樣做20次演講, 只準(zhǔn)備講三次。順著這一話題, 楊振寧先生又談了理論物理和數(shù)學(xué)的一些關(guān)系。
楊先生說:「理論物理的工作是『猜』, 而數(shù)學(xué)講究的是『證』。理論物理的研究工作是提出『猜想』, 設(shè)想物質(zhì)世界是怎樣的結(jié)構(gòu),只要言之成理, 不管是否符合現(xiàn)實, 都可以發(fā)表。一旦『猜想』被實驗證實, 這一猜想就變成真理。如果被實驗所否定, 發(fā)表的論文便一文不值(當(dāng)然失敗是成功之母,那是另一層意思了)。數(shù)學(xué)就不同, 發(fā)表的數(shù)學(xué)論文只要沒有錯誤, 總是有價值的。因為那不是猜出來的, 而有邏輯的證明。邏輯證明了的結(jié)果, 總有一定的客觀真理性。」
「正因為如此, 數(shù)學(xué)的結(jié)果可以講很長的時間, 它的結(jié)果以及得出這些結(jié)果的過程都是很重要的。高斯給出代數(shù)學(xué)基本定理的五種證明, 每種證明都值得講。如果讓丘成桐從頭來講卡拉比(Calabi) 猜想的證明, 他一定會有20講。但是教我講『宇稱不守恒』是怎么想出來的, 我講不了多少話。因為當(dāng)時我們的認(rèn)識就是朝否定宇稱守恒的方向想,『猜測』不守恒是對的。根據(jù)有一些, 但不能肯定。究竟對不對, 要靠實驗?！?br>
楊先生最后說:「理論物理的工作好多是做無用功, 在一個不正確的假定下猜來猜去,文章一大堆, 結(jié)果全是錯的。不像數(shù)學(xué), 除了個別錯的以外, 大部分都是對的, 可以成立的」。
楊先生的這番話, 使我想起不久前Quine 和Jaffe 的一篇文章[4], 發(fā)表于Bulletin of AMS,1993年8月號, 曾引起相當(dāng)?shù)霓Z動。該文的主題是問「猜測數(shù)學(xué)是否允許存在? 」。其中提到, 物理學(xué)已經(jīng)有了分工, 理論物理做「猜測」, 實驗物理做「證明」。但是數(shù)學(xué)沒有這種分工。一個數(shù)學(xué)家, 既要提出猜想, 又要同時完成證明。除了希爾伯特那樣的大人物可以提出23個問題, 其猜想可以成為一篇大文章之外, 一般數(shù)學(xué)家至多在文章末尾提點猜想以增加讀者的興趣, 而以純粹的數(shù)學(xué)猜想為主體的文章是無處發(fā)表的。因此, 兩位作者建議允許「理論數(shù)學(xué)」, 即「猜測數(shù)學(xué)」的存在。
這樣一來, 現(xiàn)在有兩種相互對立的看法。一方面, 物理學(xué)界中像楊振寧先生那樣, 覺得理論物理的研究太自由, 胡亂猜測皆成文章,認(rèn)為數(shù)學(xué)還比較好的。另一方面, 數(shù)學(xué)界如Quine 和Jaffe 那樣, 覺得目前數(shù)學(xué)研究要求每個結(jié)論都必需證明的要求, 太束縛人的思想。應(yīng)該允許人們大膽地猜測, 允許有根據(jù)而未經(jīng)完全確認(rèn)的數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)表出來。二者孰是孰非, 看來需要一個平衡。許多問題涉及哲學(xué)和社會學(xué)層面, 就不是三言兩語可以解決的了。
三. 復(fù)數(shù)、四元數(shù)的物理意義
虛數(shù)i=p
?1 的出現(xiàn)可溯源于15世紀(jì)時求解三次方程,但到18世紀(jì)的歐拉時代,仍稱之為「想象的數(shù)」(imaginary)。數(shù)學(xué)界正式接受它要到19世紀(jì), 經(jīng)Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass 的努力, 以漂亮的復(fù)變量函數(shù)論贏得歷史地位。至于在物理學(xué)領(lǐng)域, 一直認(rèn)為能夠測量的物理量只是實數(shù),復(fù)數(shù)是沒有現(xiàn)實意義的。盡管在19世紀(jì), 電工學(xué)中大量使用復(fù)數(shù), 有復(fù)數(shù)的動勢, 復(fù)值的電流, 但那只是為了計算的方便。沒有復(fù)數(shù),也能算出來, 只不過麻煩一些而已。計算的最
后結(jié)果也總是實數(shù), 并沒有承認(rèn)在現(xiàn)實中有真有「復(fù)數(shù)」形態(tài)的電流。鑒于此, 楊振寧先生說, 直到本世紀(jì)初,情況仍沒有多少改變。一個例證是創(chuàng)立量子電動力學(xué)的薛定諤(Schrodinger)[4]。1926年初, 據(jù)考證, 他似乎已經(jīng)得到現(xiàn)在我們熟悉的方程
其中含有虛數(shù)單位i, , 是復(fù)函數(shù), 但最后總是取實部。薛定諤因其中含虛數(shù)而對(1) 不滿意, 力圖找出不含復(fù)數(shù)的基本方程。于是他將上式兩面求導(dǎo)后化簡, 得到了一個沒有虛數(shù)的復(fù)雜的高階微分方程
1926年的6月6日, 薛定諤在給洛蘭茲的一封長信中, 認(rèn)為這一不含復(fù)數(shù)的方程(2) 「可能是一個普遍的波動方程?！惯@時, 薛定諤正在為消除復(fù)數(shù)而努力。但是, 到了同年的6月23日, 薛定諤領(lǐng)悟到這是不行的。在論文[5]中,他第一次提出: 「 是時空的復(fù)函數(shù), 并滿足復(fù)時變方程(1)?！共?1) 稱謂真正的波動方程。其內(nèi)在原因是, 描寫量子行為的波函數(shù), 不僅有振幅大小, 還有相位, 二者相互聯(lián)系構(gòu)成整體, 所以量子力學(xué)方程非用復(fù)數(shù)不可。另一個例子是H.Weyl 在1918年發(fā)展的規(guī)范理論, 被拒絕接受, 也是因為沒有考慮相因子, 只在實數(shù)范圍內(nèi)處理問題。后來由Fock 和London 用加入虛數(shù)i 的量子力學(xué)加以修改, Weyl 的理論才又重新復(fù)活。20 數(shù)學(xué)傳播21卷2期民86年6月牛頓力學(xué)中的量全都是實數(shù)量, 但到量子力學(xué), 就必須使用復(fù)數(shù)量。楊振寧和米爾斯在1954年提出非交換規(guī)范場論, 正是注意到了這一點, 才會把Weyl 規(guī)范理論中的相因子推廣到李群中的元素, 完成了一項歷史性的變革[6]。1959年, Aharanov 和Bohm 設(shè)計一個實驗, 表明向量勢和數(shù)量勢一樣, 在量子力學(xué)中都是可以測量的,打破了「可測的物理量必須是實數(shù)」的框框[7]。這一實驗相當(dāng)困難,最后由日本的Tanomura 及其同事于1982和1986先后完成[8]。這樣, 物理學(xué)中的可測量終于擴展到了復(fù)數(shù)。
令我驚異的是, 楊振寧教授預(yù)言, 下一個目標(biāo)將是四元數(shù)進入物理學(xué)。自從1843年愛爾蘭物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家Hamiton 發(fā)現(xiàn)四元數(shù)之后, 他本人曾花了后半輩子試圖把四元數(shù)系統(tǒng), 像復(fù)數(shù)系統(tǒng)那樣地廣泛運用于數(shù)學(xué)和物理學(xué), 開創(chuàng)四元數(shù)的世紀(jì)。但結(jié)果是令人失望的。人們曾評論這是「愛爾蘭的悲劇」[9]。時至今日, 一個大學(xué)數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生可能根本不知道有四元數(shù)這回事, 最多也不過是非交換代數(shù)的一個例子而已。我還記起,1986年春, 錢學(xué)森在致中國數(shù)學(xué)會理事長王元的一封信中, 曾建議多學(xué)計算器知識, 而把研究「四元數(shù)解析」(復(fù)變函數(shù)論的推廣) 的工作貶為「像上一個世紀(jì)」東西?？傊? 我和許多數(shù)學(xué)工作者一樣, 認(rèn)為四元數(shù)發(fā)現(xiàn), 只不過是「抽象的數(shù)學(xué)產(chǎn)物」, 不會有什么大用處的。
楊振寧向我解釋了他的想法: 物理學(xué)離不開對稱。除了幾何對稱之外, 還有代數(shù)對稱。試看四元數(shù)a+bi+cj+dk , 其基本單位滿足i^2 = j^2 = k^2 = ?1 , 而ij = k, jk =i , ki = j ; ij = ?ji , jk = ?kj , ki =?ik 。像這種對稱的性質(zhì)在物理學(xué)中經(jīng)?？梢耘龅?。問題是這種四元數(shù)的對稱還沒有真正用于物理現(xiàn)象, 而且物理現(xiàn)象中的一些對稱也還沒有找到基本的數(shù)學(xué)源由。最近, 丘成桐等人的文章[10]說:「我在1977年發(fā)表的一篇文章—Condition of Self-duality for SU(2) gauge fields on Euclidean fourdimensionalspace[11], 曾推動代數(shù)幾何中穩(wěn)定叢的解析處理的理論。我還沒有問過數(shù)學(xué)家, 不知道這是怎么一回事。許多工作, 包括運用四元數(shù)表示的物理理論, 也許會在這種交流中逐步浮現(xiàn)的」。
楊振寧先生又說, 至于將復(fù)變函數(shù)論形式地推廣到四元數(shù)解析理論, 由于四元數(shù)乘積的非交換性, 導(dǎo)數(shù)無法唯一確定, 所以不會有什么好結(jié)果出來?，F(xiàn)在也有物理學(xué)家寫成著作, 用四元數(shù)來描寫現(xiàn)有的物理定律, 就沒有引起什么注意。將來要用四元數(shù)表達的物理定律, 一定會是一組非線性微分方程組, 其解的對稱性必需用四元數(shù)來表示。所以, 楊先生相信:「愛爾蘭的悲劇是會變成喜劇的」。
四. 「雙葉」比喻
數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系, 應(yīng)該是十分密切的。在數(shù)學(xué)系以外的課程中, 物理系開設(shè)的數(shù)學(xué)課最多最深?！肝锢韺W(xué)公理化, 數(shù)學(xué)化」, 曾是一個時期許多大學(xué)問家追逐的目標(biāo)。不過, 擅長使用數(shù)學(xué)于物理的楊振寧教授卻認(rèn)二者間的差別很大, 他有一個生動的「雙葉」比喻, 來說明數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間的關(guān)系, 如下圖。他認(rèn)為數(shù)學(xué)和物理學(xué)像一對「對生」的樹葉, 他們只在基部有很小的公共部分, 多數(shù)部分則是相互分離的。楊振寧先生解釋說: 「它們有各自不同的目標(biāo)和價值判斷準(zhǔn)則, 也有不同的傳統(tǒng)。在它們的基礎(chǔ)概念部分, 令人吃驚地分享著若干共同的概念, 即使如此, 每個學(xué)科仍舊按著自身的脈絡(luò)在發(fā)展?！筟12]
參考數(shù)據(jù)
1. Steenrod, The Topology of Fibre Bun-dles, Princeton University Press, 1951
2. S.M. Ulam, Adventures of a Mathe-matician, Charles Scribner’s Sons, New York, 1976
3. Quine and Jaffe, Theoretical Mathe-matics: Toward a Cultural Synthsis of Mathematics and Theorectical Physics, Bulletin of Amer. Math. Soc., Vol. 29(1993),1-13.
4. 楊振寧: ?1 的平方根, 復(fù)相位與薛定諤–在英國帝國大學(xué)記念薛定諤誕辰100周年大會上的演講, 1987, 收入「讀書教學(xué)又十年」,時報出版社, 1995, pp.41–56
5. Schrodinger, E Ann. D. Phys. 81 (109)(received June 23).
6. C. N. Yang and R. L. Mills, Con-versation of isotopic spin and iso-topic gauge invariance. Phys. REv. 96(1954), 191-195.
7. Y.Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115(1959),485.
8. A. Tonomura et al., Phys. Rev Lett. 48(1982),1443;56(1986),792.
9. E. T. Bell, Men of Mathematics, Dover Publications, New York, 1937.
10. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, S.T. Yau:Einstein-Yang/Mills Black HoleSolutions. 「Chen Ning Yang–A Great Physicist of the Twentieth Century」.International Press, Hong Kong, 1995, pp. 209-221.
11. C. N. Yang, Condition of Self-duality for SU(2)gauge fields on Euclidian four-dimensional space, Phys. Rev. Lett.38, 1977, pp. 1377-1379.
12. C. N. Yang, Selected Papers, 1945-1980, with Commentary. W. H.Freedman and Company, San Fran-cisco, 1983.
—本文作者任教于中國上海華東師范大學(xué)
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