系列說明:
?本系列和實(shí)變函數(shù)系列一樣, 均為吳培元老師所講課程《實(shí)變函數(shù)論》的學(xué)習(xí)筆記, 本系列為該課程的第二部分, 主講泛函分析. 所采用的教材為 Avner Friedman 所著的 Foundations of Modern Analysis (《現(xiàn)代分析學(xué)基礎(chǔ)》), 除此以外, 對(duì)于原課程講解不清晰的地方我還參考了其他書籍作了補(bǔ)充(以 Gerald B. Folland 所著 Real Analysis (Modern Techniques and Their Applications) 以及 Halsey Royden 與 Patrick Fitzpatrick 合著的 Real Analysis 為主).
?在實(shí)變函數(shù)系列中我們已經(jīng)簡(jiǎn)單介紹過一次度量空間了, 不過當(dāng)時(shí)只不過簡(jiǎn)單介紹了一下, 在這一部分, 我們來深入研究度量空間. 為此, 我們首先回顧度量空間中的一些基本概念, 重點(diǎn)是它誘導(dǎo)出來的拓?fù)? 然后以此為基礎(chǔ)介紹一些拓?fù)鋵W(xué)理論; 然后研究一類重要的度量空間, 也就是 空間, 它構(gòu)成我們研究度量空間的范本; 考慮到 空間是完備度量空間, 它的性質(zhì)非常好, 因此我們研究完備度量空間及其性質(zhì); 最后我們考察任意度量空間的完備化.
?回憶一下我們?cè)趯?shí)變函數(shù)系列中學(xué)過的內(nèi)容, 度量空間(metric space) 是裝配了度量函數(shù)(metric) 的非空集合 . 此處所述度量函數(shù)是滿足非負(fù)性、對(duì)稱性以及三角不等式這三個(gè)性質(zhì)的實(shí)值函數(shù) . 并且對(duì)于 內(nèi)任意兩個(gè)點(diǎn) 和 , 我們將 解釋為它們之間的距離, 借助這一幾何解釋, 我們很容易就能寫出度量滿足的這三條性質(zhì):
?首先, 因?yàn)?nbsp; 是距離, 那么我們自然希望它是非負(fù)的, 也就是說 . 不僅如此, 如果這兩個(gè)點(diǎn)重合, 它們的距離當(dāng)然是零, 因此我們自然希望 . 此外, 樸素的幾何學(xué)直覺告訴我們, 這個(gè)關(guān)系最好是充要的, 也就是說, 如果兩個(gè)點(diǎn)之間距離為零, 那么它們必然重合. 因此非負(fù)性的完整表述就是 且 的充要條件是 .
?其次, 幾何上很容易理解, 兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不應(yīng)該依賴于它們的順序, 也就是說, 到 的距離和 到 的距離理應(yīng)一致, 因此就有 , 這就是對(duì)稱性的表述.
?最后, 度量這個(gè)概念繼承自歐式空間上的幾何關(guān)系, 而我們熟知兩邊之和大于第三邊的三角關(guān)系, 這個(gè)關(guān)系構(gòu)成度量這一概念的核心, 如果將 理解為三角形的三個(gè)頂點(diǎn), 那么三角關(guān)系就是說 , 這里我們還允許其取等, 因?yàn)槿暨@三個(gè)點(diǎn)共線, 等號(hào)就可以取到. 一般而言, 我們更習(xí)慣于反過來操作, 即在研究?jī)蓚€(gè)點(diǎn)時(shí)插入第三個(gè)點(diǎn)作為輔助, 因此寫成 . 這就是三角不等式的完整表述.
?需要強(qiáng)調(diào)的是, 在實(shí)變函數(shù)論系列中, 我們還遇到了一種特殊情況, 那就是“幾乎就是度量空間”的一類空間, 在這類空間中, 非負(fù)性可以滿足, 但是我們只能保證重合的點(diǎn)距離為零, 不能保證距離為零的點(diǎn)重合. 典型的例子就是絕對(duì)可積函數(shù)的全體, 因?yàn)槲覀冎?/p>
無法保證 , 而只能保證它們幾乎處處相等. 這種滿足 且 以及剩下兩個(gè)條件(對(duì)稱性以及三角不等式)的空間稱作偽度量空間(pseudometric space), 對(duì)應(yīng)的 稱作偽度量函數(shù). 當(dāng)時(shí)我們已經(jīng)提到, 對(duì)于偽度量空間, 只要我們引入等價(jià)關(guān)系
然后讓原本的偽度量空間模掉這個(gè)等價(jià)關(guān)系得到商集 , 對(duì)于 內(nèi)任意兩個(gè)等價(jià)類 和 , 我們定義
然后就能證明 構(gòu)成度量空間. 這是因?yàn)? 如果 且 , 那么 , 進(jìn)而
同理可得 , 于是就有 , 這表明 不依賴于代表元的選擇, 從而良定(well-defined). 并且根據(jù)定義我們立刻看到 意味著 , 即 , 或者說 . 由此得到下述基本結(jié)論:
定理1.1.1: 設(shè) 為偽度量空間, 在 上定義等價(jià)關(guān)系
將商空間 記作 , 并在 上定義函數(shù) 如下:
我們斷言, 是一個(gè)度量空間, 我們稱其為偽度量空間 生成的度量空間, 記作 .
?由于 和 之間只差一張窗戶紙, 一捅就破, 因此在常見的語境中, 我們往往不區(qū)分二者. 就拿我們?cè)趯?shí)變函數(shù)論中遇到的例子來講, 雖然我們常常將 稱作平方可積函數(shù)空間, 但是實(shí)際上 并不是平方可積函數(shù)的全體, 而是要模掉一個(gè)等價(jià)關(guān)系(幾乎處處相等的函數(shù)視作等價(jià), 或者說 定義為 ).
?度量空間是很基本的一類空間, 因?yàn)槎攘靠梢詭砗芎玫耐負(fù)湫再|(zhì). 這一拓?fù)湫再|(zhì)依賴于開球(open ball)這個(gè)概念, 這也是我們熟知的: 設(shè) 為一度量空間, 設(shè) , , 我們將
稱作 中以 為球心, 以 為半徑的(開)球. 而將
稱作 中以 為球心, 以 為半徑的閉球(closed ball). 將
稱作 中以 為球心, 以 為半徑的球面(sphere).
?很明顯, 開球和閉球滿足一種單調(diào)性質(zhì): 若 , 則
畢竟如果 , 自然就有 , 而 就自然給出 .
?有了開球, 我們就可以定義度量空間中的開集(open set): 設(shè) , 若對(duì)任意的 , 存在 使得 , 則稱 為開集. 換言之, 度量空間中的開集就是那些由一個(gè)個(gè)開球拼起來得到的集合(因?yàn)殚_集中的每個(gè)點(diǎn)附近都可以找到開集內(nèi)部的一個(gè)開球使其成為該開球的球心). 事實(shí)上, 若 是開集, 那么對(duì)它內(nèi)部任意的點(diǎn) , 我們都可以找到開球 使得 , 我們把所有滿足這些條件的開球取并集, 因?yàn)檫@個(gè)并集必然包括所有球心, 而最大又只能是 , 于是我們立刻得到
也就是說非空開集可以寫成開球之并. 反過來, 若一個(gè)集合 可以寫成開球之并, 那么對(duì)這個(gè)集合中的每個(gè)點(diǎn) , 我們都可以找到一個(gè)開球 使得 , 根據(jù)定義, 就是開集. 因此我們立刻得到拓?fù)淇臻g 的子集 是非空開集的充要條件是它可以寫成開球之并. 開球自身當(dāng)然可以寫成開球的并集, 因此開球本身就是開集. 當(dāng)然, 我們也可以完全依照定義走, 對(duì)開球 中任意一點(diǎn) , 我們可以設(shè) , 那么顯然有 , 因?yàn)閷?duì)于任意的 , 我們總有
于是 . 由此即可得到 為開集.
?按照拓?fù)鋵W(xué)的慣例, 如果一個(gè)集合 的補(bǔ)集是開集, 我們就稱其為閉集(closed set).
?回憶一下, 拓?fù)淇臻g 是指定義了開集的集合 . 此處 即為 上的拓?fù)? 或者說 中開集的全體, 它需要滿足開集公理(axioms of open sets): (i) ; (2) 對(duì)任意有限個(gè)開集 , 它們的交集也是開集, 即 ; (3) 對(duì)任意多個(gè)開集 (其中 為任意指標(biāo)集), 它們的并集也是開集, 即 .
?那我們?cè)谕負(fù)淇臻g 上用開球定義的開集是否滿足拓?fù)鋵W(xué)的一般定義呢? 答案是肯定的, 不然我們就不會(huì)這么命名了!
定理1.1.2: 設(shè) 為度量空間, 令 為基于開球定義的開集之全體, 則 構(gòu)成拓?fù)淇臻g, 我們稱其為度量函數(shù) 誘導(dǎo)出來的拓?fù)淇臻g, 稱 為 誘導(dǎo)出來的拓?fù)?也稱作度量拓?fù)?, 記作 .
證: 我們只需驗(yàn)證基于開球定義的開集確實(shí)滿足開集公理即可. 根據(jù)前文所述, 一個(gè)集合是開集的充要條件是它可以寫成開球之并, 于是我們立刻看到 是開集, 因?yàn)樗梢詫懗?/p>
另外 也得是開集, 因?yàn)樗锩鏇]有元素, 因此 對(duì) 不存在, 或者說對(duì)于任意的 以及任意的 , 我們都有 . 這種因?yàn)槎x域內(nèi)啥都沒有導(dǎo)致命題自動(dòng)成立的情況我們稱作命題空真(vacuous truth).
?接下來我們驗(yàn)證第二條. 設(shè) 均為開集且 , 則對(duì)每個(gè) , 存在 使得 , 我們?nèi)?nbsp;, 那么 , 因?yàn)閷?duì)于任意的 , 我們必然有 , 這一論斷的證明只需沿用前面證明開球也是開集的方式即可(令 ). 進(jìn)而 是每個(gè) 的子集, 從而是它們交集的子集.
?最后一條是顯然成立的, 因?yàn)殚_集可以寫成開球之并, 于是開集的并集當(dāng)然也可以寫成開球之并, 于是開集的任意并集也是開集.
?一般而言, 當(dāng)我們提及某個(gè)度量空間 的時(shí)候, 都默認(rèn)它帶有該度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 除非明確賦予其它的拓?fù)? 根據(jù)定義, 這個(gè)拓?fù)湟蕾囉诰唧w的度量函數(shù). 那么是否存在一種可能, 即不同的度量誘導(dǎo)出相同的拓?fù)淠? 這就引出了下述概念:
定義1.1.3(拓?fù)涞葍r(jià)度量): 設(shè) 和 是集合 上的兩個(gè)度量, 如果它們誘導(dǎo)出的拓?fù)?或者說開集族)相同, 即 , 則稱這兩個(gè)度量拓?fù)涞葍r(jià).
?因?yàn)橥負(fù)涞葍r(jià)的度量誘導(dǎo)出相同的拓?fù)?開集族), 因此只依賴于開集的那些數(shù)學(xué)概念在拓?fù)涞葍r(jià)的度量下相同. 不過我們暫且不進(jìn)一步討論這個(gè)概念.
?有了拓?fù)渲? 我們就可以按照拓?fù)鋵W(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)流程引入相關(guān)拓?fù)涓拍盍?
?設(shè) , 這個(gè)集合未必是個(gè)開集, 但是沒關(guān)系, 它可以有一些開子集, 它里面所有開子集的并集是 內(nèi)最大的開子集, 我們將這個(gè)集合稱作 的內(nèi)部(interior), 將其記作 或者 . 我們將 中的點(diǎn)稱作 的內(nèi)點(diǎn)(interior point). 由定義可以直接得到這樣的結(jié)論: 是開集的充要條件是其內(nèi)部等于自身, 即 .
?因?yàn)槲覀儗㈤]集定義為補(bǔ)集是開集的集合, 對(duì)開集公理取補(bǔ)集后我們即可得到閉集公理, 它與開集公理等價(jià), 由它可以定義閉集族, 對(duì)閉集族中集合取補(bǔ)集即可得到開集, 進(jìn)而得到開集構(gòu)造. 由于開集對(duì)任意并封閉, 取補(bǔ)集即可看到閉集對(duì)任意交封閉. 因?yàn)槿〗患瘯?huì)導(dǎo)致集合越來越小, 因此我們通常討論的就是最小的閉集, 然而如果考慮 內(nèi)閉集的交集, 其結(jié)果必然是空集(畢竟空集也是閉集), 這沒有什么價(jià)值, 因此我們必須考慮那些包含 的閉集之交, 這就是 的閉包(closure), 也就是包含 的最小閉集, 記作 或者 , 也有記作 的. 由定義很容易看到, 是閉集的充要條件就是其閉包等于自身, 即 . 同樣的分析過程也可以解釋為什么我們要研究 的內(nèi)部, 因?yàn)槿绻紤]包含 的開集, 則因?yàn)殚_集對(duì)任意并封閉, 最終取并集只會(huì)得到平凡的 , 這也沒有任何價(jià)值.
?閉包和內(nèi)部之間存在一個(gè)重要的對(duì)偶關(guān)系. 我們用 表示集合 的補(bǔ)集(采用該記號(hào)的原因在于當(dāng)我們討論某個(gè)集合的時(shí)候, 往往是在某個(gè)空間中, 此處的補(bǔ)集就是對(duì)全空間而言的, 因此不必采用 的這個(gè)記號(hào)特別強(qiáng)調(diào)關(guān)于誰的補(bǔ)集, 或者說強(qiáng)調(diào)誰是全集). 根據(jù)上面的定義, 我們可以得到, 由可得, 注意到開集的補(bǔ)集是閉集, 因此是包含的閉集, 從而, 反過來就有. 另一方面, 我們還有, 于是, 再注意到閉集的補(bǔ)集是開集, 我們看到是含于的開集, 于是. 結(jié)合這兩個(gè)方向, 我們就得到了下述重要關(guān)系:
如果我們用替換上面的, 注意到, 我們就得到
而由兩邊取補(bǔ)集則可以得到與上式類似的結(jié)果:
換言之, 我們看到補(bǔ)集的內(nèi)部是閉包的補(bǔ)集, 以及內(nèi)部的補(bǔ)集是補(bǔ)集的閉包. 這個(gè)對(duì)偶關(guān)系我們會(huì)在后面不斷用到, 因此要熟記.
?單純?cè)谕負(fù)淇臻g上考慮閉集有點(diǎn)空泛, 但是一旦聯(lián)系到度量空間, 我們立刻就可以將其具象化. 為此, 我們需要考慮度量空間給出的一個(gè)非常有用的概念: 收斂點(diǎn)列.
定義1.1.4(收斂點(diǎn)列): 設(shè) 為度量空間, 是 內(nèi)部的點(diǎn)列, 若存在 使得 , 則稱 收斂到 , 記作 或者 (此處略去了 , 之后在上下文明確的情況下我們都采取此約定).
?如果點(diǎn)列 收斂到 , 而我們并不清楚 是啥或者不在意它是啥, 我們就簡(jiǎn)單地說 收斂(嚴(yán)格說來, 我們應(yīng)該說 在 內(nèi)收斂). 很明顯, 若 收斂到 , 則必然有
也就是說在 時(shí) , 我們將滿足這一條件的序列稱作 Cauchy 列, 這是我們熟悉的, 畢竟在實(shí)變函數(shù)中我們研究了好多種 Cauchy 列. 上述推理表明, 收斂序列必為 Cauchy 列. 反過來, 直觀上看, 如果一個(gè)序列是 Cauchy 列, 那么它理應(yīng)收斂, 因?yàn)樵酵竺? 點(diǎn)列中任意有限間隔的點(diǎn)的距離都飛速降低, 即它們“幾何上”越來越近, 幾乎靠在一起. 然而, 并不是所有的 Cauchy 列都在原本的空間中有極限, 即不是所有 Cauchy 列都(在原本的空間內(nèi))收斂. 那種使得所有 Cauchy 列都收斂的度量空間就稱作完備度量空間(complete metric space). 需要說明的是, 完備完全可以對(duì)某個(gè)子集討論, 若 是 的子集, 且它里面任意的 Cauchy 列都在 內(nèi)有極限, 我們就可以說 完備.
?由于收斂這個(gè)概念依賴于具體的度量, 在我們遇到多個(gè)度量的時(shí)候容易混淆, 此時(shí)我們會(huì)具體說某個(gè)序列在度量 下收斂, 更為常見的說法則是某個(gè)序列依 收斂. 同樣的, 我們就有度量 下的 Cauchy 列或者說依 Cauchy 列. 同時(shí), 我們也將收斂的符號(hào)記作 .
?很明顯, 若一個(gè)序列收斂, 則這個(gè)序列的極限唯一. 因?yàn)榧俣ㄈ?nbsp; 收斂到兩個(gè)點(diǎn) , 那么
于是 , 度量的性質(zhì)保證了 . 但是很容易看到, 在偽度量空間中我們就沒法得到該結(jié)論. 另外, 若一個(gè)序列收斂, 并且它有一個(gè)收斂的子列, 則這個(gè)子列必然和原本的序列收斂到同一個(gè)極限. 理由也很簡(jiǎn)單, 若 收斂到 , 它的子列 收斂到 , 則
當(dāng) 時(shí), 上面不等式右邊第一項(xiàng)趨于零, 因?yàn)?nbsp; 是 極限; 同理, 第三項(xiàng)趨于零; 而第二項(xiàng)也得趨于零, 因?yàn)槭諗啃蛄惺?Cauchy 列. 此外, 若 是 Cauchy 列, 那么它的任意子序列也是 Cauchy 列, 因?yàn)樗淖有蛄兄腥我鈨身?xiàng)作為 中的點(diǎn), 在項(xiàng)的標(biāo)號(hào)趨于無窮時(shí)二者距離趨于零. 結(jié)合上文所述, 我們看到, 若一個(gè)序列是收斂的 Cauchy 列, 則它的任意子序列也是收斂的 Cauchy 列, 并且和原本的序列收斂到同一個(gè)極限. 這些結(jié)論都是我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)分析中所熟知的內(nèi)容.
?引入收斂的概念后, 閉集的幾何意義立刻就體現(xiàn)出來了:
定理1.1.5: 設(shè) 為一度量空間, 是它的一個(gè)子集, , 則下述陳述等價(jià):
(a) ;
(b) 對(duì)任意的 , 總有 ;
(c) 在 中存在收斂到 的點(diǎn)列 .
證: 首先我們來證明 (a) 和 (b) 等價(jià), 充分性和必要性的正方向都不大容易證明, 我們采用逆否命題來證. 假若 , 由于 是開集, 所以 就是個(gè)閉集, 并且它包含 , 由閉包的定義可知 . 由于 , 自然也就有 . 這就證明了 . 反過來, 若 , 則 , 而 是個(gè)開集, 于是存在 使得 (此處用到了補(bǔ)集的性質(zhì): 則 ). 這就表明 與 沒有交集, 即 . 這就證明了 .
?接下來我們來證明 (b) 和 (c) 等價(jià). 假設(shè) (b) 成立, 則對(duì)任意的 , 存在 , 于是當(dāng) 時(shí), 就有 , 這就說明 , 由此我們找到了符合 (c) 條件的點(diǎn)列. 這就證明了 . 直接證明 比較麻煩, 我們同樣采用逆否命題來證明. 假設(shè) (b) 不成立, 即存在 使得 , 于是 內(nèi)任意一點(diǎn) 與 的距離必然不小于 , 即總有 成立, 這意味著 內(nèi)不可能有收斂到 的點(diǎn)列. 由此即可證明 .
?根據(jù)前文所述, 閉集就是閉包等于自身的集合, 因此若 是閉集, 則根據(jù)定理1.1.5我們立刻看到
也就是說, 若 是閉集, 則它里面任意一點(diǎn)都是其內(nèi)部某個(gè)點(diǎn)列的極限; 反過來, 若 內(nèi)有收斂點(diǎn)列, 則這個(gè)收斂點(diǎn)列的極限必然屬于 . 由此看來, 閉集就是一些點(diǎn)列極限的集合. 這構(gòu)成了閉集的幾何解釋, 我們可以認(rèn)為閉集的閉就在于它關(guān)于點(diǎn)列取極限這個(gè)運(yùn)算封閉.
?定理1.1.5的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用就是討論閉球. 我們來證明閉球是閉集. 證明很簡(jiǎn)單, 要證明閉球 是閉集, 僅需證明它的閉包就是自己, 而本身 , 因此等價(jià)于證明 . 換言之, 對(duì)任意的 , 都有 . 根據(jù)定理1.1.5, 我們知道 等價(jià)于說存在 中的序列 使得 . 因?yàn)?nbsp;, 故 , 而 又意味著 , 于是
這就意味著 , 即 . 這就說明閉球閉包中的點(diǎn)都在閉球中, 即閉球是閉集.
?在介紹完閉包這個(gè)概念后, 我們就可以進(jìn)一步討論稠密(dense)這個(gè)概念了: 若集合 的閉包為 , 即 , 則稱 在 中稠密, 或稱 是 的一個(gè)稠密子集. 根據(jù)定理1.1.5, 若 在 中稠密, 則由于 , 我們就有
這個(gè)結(jié)論表明, 的稠密子集 和 只差了一層皮, 里面有很多點(diǎn)列, 這些點(diǎn)列都在 內(nèi)收斂, 其收斂到的點(diǎn)可能在 里面, 也有可能不在 里面, 但是只要把這些點(diǎn)都填充到 中, 我們就得到了 . 我們可以認(rèn)為 是一張白紙, 而 就是往這張紙上扎好多眼(可以認(rèn)為這些眼的孔徑極小, 原子尺度)后得到的帶眼的白紙, 當(dāng)我們把這些眼補(bǔ)上(具體操作就是取帶眼白紙上的點(diǎn)列極限)之后就重新得到了原本的白紙. 更一般地, 若 在 中稠密, 就意味著我們可以用 中的點(diǎn)列去逼近 中的點(diǎn). 舉個(gè)例子, 有理數(shù)在實(shí)數(shù)中稠密, , 因此我們可以將 視作是一些有理數(shù)的序列(就像我們用精度可以無限提高的尺子測(cè)量長(zhǎng)度得到一個(gè)測(cè)量序列那樣).
?除此以外, 若 在 中稠密, 則根據(jù)定理1.1.5, 我們看到對(duì)任意的 , , 這意味著 的每個(gè)開子集中都有 內(nèi)的點(diǎn). 特別地, 對(duì)于實(shí)直線而言, 我們可以將 簡(jiǎn)單的理解為一個(gè)開區(qū)間, 于是這個(gè)性質(zhì)是說若 在實(shí)直線上稠密, 則任意開區(qū)間中都有 中的點(diǎn), 或者說任意兩點(diǎn)之間都有 中的點(diǎn). 用 與 為例, 就是說任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間總是夾著一個(gè)有理數(shù).
?前面我們提到的稠密是對(duì)整個(gè)度量空間 來說的, 這可以稱作“整體”稠密, 當(dāng)然我們也可以限制在 的某個(gè)閉子集 上: 若 且 , 則可以說 在 中稠密(此處要求 為閉集源于 這個(gè)關(guān)系, 畢竟閉包當(dāng)然是閉集). 這大概可以理解為“局部”稠密. 當(dāng)然, 這倆其實(shí)沒有本質(zhì)區(qū)別. 更進(jìn)一步, 我們可以將這里的閉子集推廣為任意子集 , 但是此時(shí)不能通過 來定義稠密性, 因?yàn)榇藭r(shí) 未必是閉集. 此時(shí)我們可以選用定理1.1.5的(c)來定義稠密性: 設(shè) , 若 中任意一點(diǎn)均可由 中的點(diǎn)列進(jìn)行逼近, 即對(duì)任意 , 存在點(diǎn)列 使得 , 則稱 在 中稠密. 因?yàn)槟苡?nbsp; 中點(diǎn)列逼近的點(diǎn)的集合就是 , 于是 在 中稠密意味著 是 的子集, 也就是說, 在 中稠密等價(jià)于說 . 特別地, 若 是閉集, 則因 且 是包含 的最小閉集可知 , 此時(shí)的稠密性就回歸到前文中的定義 了.
?那么能不能更進(jìn)一步呢? 把局部進(jìn)行到底, 我們能否討論某個(gè)集合“在某點(diǎn)處稠密”? 這似乎有點(diǎn)不講道理了, 畢竟前面我們要求 , 若此時(shí) , 那 若非空就只能是 , 這沒啥意思. 但是我們還是可以沿用 “ 在 中稠密是指 中每個(gè)點(diǎn)都可以在 中找到點(diǎn)列使其成為該點(diǎn)列的極限” 這一說法. 為了更好沿用前面的定義, 我們可以這么想: 若我們可以找到某個(gè)特定的集合 使得 , 若此時(shí) 在 中稠密, 那么對(duì)于 中所有的點(diǎn), 我們都可以用 中的點(diǎn)列逼近, 特別地, 對(duì)于 , 我們就可以用 中的點(diǎn)列進(jìn)行逼近. 這里的 需要比較特殊, 它必須和拓?fù)淇臻g的性質(zhì)緊密聯(lián)系起來. 事實(shí)上, 在前文中我們已經(jīng)給出了這樣的 , 那就是以 為球心的開球 . 因?yàn)槎攘靠臻g 上的拓?fù)?也就是度量拓?fù)?nbsp;) 可以表示如下:
其中 是由 引出的開球之全體.
?上述構(gòu)造具有一般性, 在拓?fù)鋵W(xué)中, 我們經(jīng)常會(huì)遇到形如 這樣的結(jié)構(gòu), 為此, 我們先打斷一下主線, 簡(jiǎn)單介紹一個(gè)與之相關(guān)的概念. 我們現(xiàn)在有兩個(gè)問題: (1) 若 是拓?fù)? 那么此處的 應(yīng)當(dāng)滿足什么條件? (2) 滿足何種條件下的 可以使得 變成拓?fù)? 這兩個(gè)問題可以匯總為: 設(shè) 是 的某個(gè)子集族, 我們需要找到使得由定義的 是 的拓?fù)涞某湟獥l件.
?首先, 我們希望 , 根據(jù)之前介紹過的, 這個(gè)結(jié)論空真. 而 這個(gè)條件則要求
(B1) , 使得 .
?接下來是 關(guān)于有限交封閉的這個(gè)要求, 為此我們只需研究?jī)蓚€(gè)集合的交即可. 設(shè) , 我們希望有 , 換言之, 我們希望有
() , , 使得 .
這個(gè)條件不是對(duì) 單獨(dú)施加的, 因此我們必須想辦法剝離出 來. 根據(jù) 的構(gòu)造, 對(duì)任意的 , 我們首先就有 和 , 而 , 于是就存在 使得 以及 . 將其與 () 比較, 我們立刻看到, 若是 滿足
(B2) , , 使得 ,
那么立刻可以得到 () 成立. 反過來, 若 () 成立, 由 可知必有 (畢竟對(duì)于任意的 以及任意的 , 我們可以找到 使得 ), 于是我們?cè)?() 中取 即可得到 (B2).
?最后, 我們需要討論 關(guān)于任意并的封閉問題. 這個(gè)和討論開球時(shí)類似, 結(jié)論自動(dòng)成立. 因?yàn)榧僭O(shè) , 設(shè) , 則存在某個(gè) 使得 , 進(jìn)而存在 使得 , 因?yàn)?nbsp;, 所以我們就找到了 使得 , 這意味著 .
?綜上所述, 我們就得到了下述結(jié)論:
定理1.1.6: 設(shè) 是集合 的一個(gè)子集族, 則由 定義的集族 構(gòu)成 的一個(gè)拓?fù)涞某湟獥l件是 滿足前文提到的條件 (B1) 和 (B2). 我們將滿足這兩個(gè)條件的子集族 稱作 的一個(gè)拓?fù)浠?/strong>(topological basis), 稱由 定義的 為 生成的拓?fù)?
?在度量空間 中, 所有開球就構(gòu)成了它的一個(gè)拓?fù)浠?
?拓?fù)浠菍?duì)整個(gè)拓?fù)淇臻g而言的, 通過拓?fù)浠覀兛梢陨梢粋€(gè)拓?fù)? 那么對(duì)于拓?fù)淇臻g中的某個(gè)點(diǎn), 我們是否也可以引入某種意義的基呢? 答案是肯定的, 事實(shí)上它依舊可以從開球得到啟發(fā). 因?yàn)槲覀兛吹? 對(duì)于度量空間 中的任意一點(diǎn) , 我們都可以找到開球 使得 , 從幾何上講, 只要我們讓 足夠小, 我們就可以只得到點(diǎn) (因?yàn)楹?nbsp; 距離為 的點(diǎn)只有自身). 在一般的拓?fù)鋵W(xué)中, 設(shè) 是拓?fù)淇臻g, , 若集合 滿足 , 我們就稱 是點(diǎn) 的一個(gè)開鄰域. 于是前面提到的開球 就是度量空間中點(diǎn) 的一個(gè)開鄰域, 是故我們通常也將開球稱作球形(開)鄰域. 更一般的鄰域概念不需要是開集, 但是我們要求它必須包含一個(gè)開鄰域, 換言之, 若 內(nèi)存在 的開鄰域 , 即 使得 , 我們就稱 是 的一個(gè)鄰域. 鄰域是個(gè)非常重要的概念, 這在我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候就可見一斑. 一般而言, 人們只關(guān)心開鄰域, 因此在很多教科書中就將鄰域定義為開鄰域. 在本系列中, 為了防止誤讀, 我們區(qū)分開鄰域和鄰域這兩個(gè)概念, 換言之, 開鄰域就是本身為開集的鄰域. 對(duì)應(yīng)地, 我們也有閉鄰域, 也就是本身為閉集的鄰域.
?有了開鄰域這個(gè)概念之后, 我們就可以進(jìn)一步引入下述概念:
定義1.1.7(鄰域基): 設(shè) 為拓?fù)淇臻g, , 是 的一些鄰域構(gòu)成的集族. 若對(duì) 的任意鄰域 , 總存在鄰域 使得 , 我們就稱 為 的鄰域基(neighborhood basis), 也稱做局部基(local basis).
?很明顯, 的所有鄰域的集族構(gòu)成它的一個(gè)鄰域基, 這是最為平凡的一個(gè)鄰域基. 我們可以稍微修改一下, 只考慮 所有開鄰域的集族 . 根據(jù)定義, 對(duì) 的任意鄰域 , 我們可以找到它的一個(gè)開子集 使得 , 而此處的 必然屬于 , 于是 就構(gòu)成 的一個(gè)鄰域基. 這個(gè)鄰域基和所有鄰域構(gòu)成的鄰域基平凡程度類似.
?對(duì)于度量空間而言, 很容易看到, 以 為球心的所有開球構(gòu)成了 的鄰域基. 這是因?yàn)? 設(shè) 是 的任意開鄰域, 即 是包含 的開集, 那么根據(jù)度量拓?fù)涞囊? 存在開球 , 進(jìn)而對(duì)于 的任意鄰域 , 我們可以找到開球 使得 , 其中 是 內(nèi) 的開鄰域.
?不過需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是, 對(duì)于度量空間而言, 我們完全沒有必要考察那么大的鄰域基, 我們只要考察那些半徑為 的開球即可, 其中 是正整數(shù). 這是因?yàn)? 對(duì) 的任意開鄰域 , 存在開球 , 而我們總是可以找到一個(gè)足夠大的正整數(shù) 使得 (這被稱作實(shí)數(shù)的 Archimedean 性質(zhì)). 而我們又必然有 , 這就證明了 構(gòu)成度量空間中點(diǎn) 的一個(gè)鄰域基.
?現(xiàn)在注意, 是可數(shù)的, 因?yàn)樗梢院?nbsp; 之間構(gòu)成雙射: . 在拓?fù)鋵W(xué)中, 此類拓?fù)淇臻g有個(gè)特殊的名字: 第一可數(shù)空間(first countable space), 也稱作 A1 空間. 具體說來, 第一可數(shù)空間是指所有點(diǎn)都有可數(shù)鄰域基(稱此為第一可數(shù)性公理或者 A1公理)的拓?fù)淇臻g. 如果我們把此處的局部基加強(qiáng)為整體基, 也就是拓?fù)浠? 我們就可以得到第二可數(shù)空間(second countable space), 也就是存在一組可數(shù)拓?fù)浠?稱此為第二可數(shù)性公理或者 A2 公理)的拓?fù)淇臻g, 也稱作 A2 空間. 上一段的論證表明:
定理1.1.8: 任意度量空間在其度量拓?fù)湎戮堑谝豢蓴?shù)的.
?另外注意, 如果一個(gè)拓?fù)淇臻g是第二可數(shù)的, 那么我們就可以找到可數(shù)的拓?fù)浠? 此時(shí), 對(duì)于任意的 以及它的開鄰域 , 我們就可以找到至多可數(shù)個(gè) 使得 . 由此可知 存在可數(shù)的鄰域基, 換言之: 第二可數(shù)空間一定是第一可數(shù)的, 也就是說第二可數(shù)條件強(qiáng)于第一可數(shù)條件.
?好了, 我們已經(jīng)偏離主線太遠(yuǎn)了, 現(xiàn)在該回去了, 如果你已經(jīng)忘記了主線任務(wù), 那么請(qǐng)你回頭重新翻閱一下.
?我們繼續(xù)討論局部的稠密性問題. 根據(jù)之前的分析, 要討論某個(gè)集合 在點(diǎn) 處稠密, 我們就應(yīng)當(dāng)考慮滿足特定性質(zhì)的 , 它要滿足: (1) ; (2) 在 中稠密. 這里的特定性質(zhì)我們已經(jīng)指出, 它需要和拓?fù)渚o密相關(guān), 并且對(duì)于度量空間而言, 我們已經(jīng)指出以 為球心的開球是個(gè)不錯(cuò)的候選者. 而前文又已經(jīng)指出, 以 為球心的所有開球構(gòu)成 的鄰域基. 進(jìn)而我們可以一般地定義局部稠密性為: 設(shè) 為拓?fù)淇臻g, , , 是 的一個(gè)鄰域基. 若存在 使得 在 中稠密, 即有 , 則稱 在 處稠密.
?當(dāng)我們討論了點(diǎn)集在某點(diǎn)處稠密之后, 自然就有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的相反概念: 一個(gè)集合 在 中“處處不稠密”, 也就是說, 對(duì)于任意的 以及它的任意鄰域基 , 我們都找不到 使得 在 中稠密. 如果在 中的每一點(diǎn), 我們都找不到這一點(diǎn)的(鄰域)基元素 使得 在 中稠密, 那么 中自然也不能有 的(拓?fù)?基元素, 因?yàn)檫@樣一來 就變成了 中某一點(diǎn)的鄰域了, 換言之, 我們就找到了某個(gè)點(diǎn) 以及它的一個(gè)鄰域 使得 在 中稠密, 矛盾! 既然 中不能有 的(拓?fù)?基元素, 那么它里面自然不能包含任何開集(畢竟任意開集可以由拓?fù)浠?. 而 中最大的開集就是 , 于是我們看到, 這種“處處不稠密”的點(diǎn)集就要滿足, 我們將滿足這種條件的點(diǎn)集 稱作無處稠密集(nowhere dense set), 也稱作疏朗集或者稀疏集. 畢竟一個(gè)點(diǎn)集如果“處處都不稠密”, 那么它只能說是“處處稀疏”.
?無處稠密以及稠密都是很重要的概念, 后者告訴我們稠密集中的點(diǎn)列可以逼近全空間中任意一點(diǎn), 而前者則關(guān)聯(lián)了 Baire 引入的一個(gè)重要概念——Baire 綱(Baire category), 與這個(gè)概念相關(guān)的就是泛函分析中的一個(gè)重要定理: Baire 綱定理, 它是我們證明很多命題時(shí)的重要工具. 我們會(huì)在1.3節(jié)介紹該定理.
?之前我們給出過內(nèi)部和閉包的對(duì)偶關(guān)系, 利用這個(gè)關(guān)系, 我們可以將無處稠密的定義改寫一下. 我們對(duì)無處稠密的定義兩邊取補(bǔ)集, 得到其等價(jià)定義
現(xiàn)在利用對(duì)偶關(guān)系 我們將左邊改寫為
然后再利用對(duì)偶關(guān)系 將其進(jìn)一步寫成
由此我們得到無處稠密集的等價(jià)判定:
命題1.1.9: 設(shè) 為拓?fù)淇臻g, 是無處稠密集的充要條件是
也就是說, 中包含一個(gè)稠密開集.
?根據(jù)命題1.1.9, 我們可以換個(gè)角度觀察無處稠密: 若 無處稠密, 則它的補(bǔ)集 在某種意義下稠密, 具體說來, 它的補(bǔ)集里面包含一個(gè)稠密的開集(若 中有稠密開集 , 即 滿足 . 因?yàn)?nbsp; 的內(nèi)部是它里面最大的開子集, 故 , 于是 , 這就證明了 ).
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