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有這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……前兩個(gè)元素為1，其他元素均為前兩個(gè)元素和。在數(shù)學(xué)上以如下遞歸的方法定義：

這就是斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)定義。那數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)（或創(chuàng)造）出這個(gè)這個(gè)數(shù)列，它又有什么意義呢？莫著急，我們先從斐波那契的生平說起。

斐波那契是一位數(shù)學(xué)家，生于公元1170年，籍貫大概是比薩，卒于1240年后。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。斐波那契數(shù)列因他解決兔子繁殖的應(yīng)用題而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。除此之外，他對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的另一大貢獻(xiàn)就是引進(jìn)阿拉伯?dāng)?shù)字，從而取代了復(fù)雜的羅馬計(jì)數(shù)法。

對(duì)于程序員而言，或許它是僅次于Hello World，最常見的一道編程題。簡(jiǎn)單易懂，多數(shù)人可以很快的明白它的定義并嘗試寫出它的編碼。但這個(gè)數(shù)列就是為了考試而生？是數(shù)學(xué)家編造出來故意玩弄程序員，還是隱藏著某個(gè)宇宙的終極奧秘，它生冷的公式下面又蘊(yùn)藏著哪些數(shù)學(xué)之美。

先賣一個(gè)關(guān)子，我們先看它在現(xiàn)實(shí)的意義，然后再分析其中的數(shù)學(xué)原理。上面這張圖是一個(gè)樹干的簡(jiǎn)化圖。確實(shí)像一顆樹，而且樹干也是分層的。推理能力不錯(cuò)，可以去當(dāng)砍樹工了。如果你還能從中看出每一層樹干個(gè)數(shù)（1,2,3,5,8,13）都是斐波那契數(shù)列中的元素，只需要早產(chǎn)一千年，斐波那契就只能是個(gè)砍樹工了。

也許這個(gè)例子并不充分，我們?cè)诳纯创笞匀恢凶畛Ｒ姷拿馈▋?，?shù)一數(shù)每一層花瓣的數(shù)目，是否也是斐波那契數(shù)列中的一個(gè)元素。

首先是花瓣數(shù)目最少的百合，下面是一張百合的圖片。

可以看到百合花分為2層，每層都是3個(gè)花瓣，而3確實(shí)是該數(shù)列的第四個(gè)元素。如果你覺得百合的花瓣數(shù)太少，數(shù)的不盡興，那我們?cè)賮砜纯淳栈ǖ幕ò陻?shù)目。慢著，菊花是什么（脫口而出：一男一女一菊花）。好吧，居然也是斐波那契的第六個(gè)元素：8。

嚴(yán)肅點(diǎn)，人家正在討論數(shù)學(xué)問題呢，笑什么笑?？纯凑嬲木栈ㄊ嵌嗌賯€(gè)花瓣，果然還是斐波那契數(shù)列的第八個(gè)元素：21。

你開始懷疑，現(xiàn)實(shí)世界中也許真的有一種力量，似乎對(duì)自然的美賦予了一個(gè)看不見的數(shù)學(xué)公式：斐波那契數(shù)列。那美女呢？我只喜歡看美女。好吧，作為男人，我懂i你們的需求，上妹子~

這下大家滿意了吧。腦海里面瞬間想起了王力宏那首《美》，查了一下，原來歌詞里Mei這個(gè)音重復(fù)的次數(shù)都是1，2，3，5。原來歌聲中也能發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的美?？赡苣氵€納悶，美女甩頭跟斐波那契數(shù)列有什么關(guān)系？其實(shí)，在數(shù)學(xué)上，這稱為斐波那契螺旋線，比如向日葵，颶風(fēng)圖，還有宇宙星云圖中都會(huì)看到類似的軌跡，而這個(gè)軌跡中隱藏著這個(gè)數(shù)列。如下圖，脖子不要拉傷。

終于你相信，自然的美，總能找到斐波那契數(shù)列的規(guī)律了，可這里面的數(shù)學(xué)原理又是什么呢？”打破砂鍋問到底”是一個(gè)好的態(tài)度。你有沒有發(fā)現(xiàn)，美女那么多，看多了會(huì)審美疲勞，會(huì)覺得都是一個(gè)模子出來的。而丑的話卻各有千秋？這TMD也是數(shù)學(xué)管的？恩，你可能知道我要說什么了——黃金分割。

早在古希臘，就有人發(fā)現(xiàn)了黃金分割，似乎在1.618這個(gè)比例是最美的，建筑物的比例，雕塑的比例，然后再到美女的比例，都在這個(gè)值的區(qū)間內(nèi)。這也就解釋美女為什么看上去都差不多的原因。實(shí)際上，黃金分割和斐波那契數(shù)列本質(zhì)上是一種概念的兩種外在形式。下圖是七位數(shù)的斐波那契數(shù)列，我們讓相鄰的兩個(gè)分別相除，則會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字越大，這個(gè)值越接近黃金分割值。

在極限的情況下，我們認(rèn)為相鄰兩個(gè)元素的商等于黃金分割值，我們假設(shè)值為△，則有如下等式：

而該數(shù)列又滿足X(n) = X(n-1) + X(n-2),我們替換X(n)后，等式轉(zhuǎn)換為：

是不是一切都明了了，我們把X(n-1)/X(n-2)記為△，則X(n-2)/X(n-1)則是它的倒數(shù)1/△,這樣，該等式就是△（黃金分割值）的一元二次方程1 + 1/△ = △:

套用二次方程公式，我們可以得到△ =(1 + √5)/2，約等于1.618。終于，我們用數(shù)學(xué)，證明了這個(gè)美的存在和公式下的數(shù)學(xué)之美。

其實(shí)，這不是斐波那契數(shù)列的全部，數(shù)學(xué)家并不甘于到此為止，而是進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)了更本質(zhì)的規(guī)律，只要數(shù)列滿足X(n) = X(n-1) + X(n-2)，無論前兩個(gè)值是多少，都滿足黃金分割的條件，這就是Brady Number。而斐波那契數(shù)列是最簡(jiǎn)單的特例：前兩個(gè)元素均為1。

再后來，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)了費(fèi)馬大定理和這個(gè)數(shù)列的關(guān)系(費(fèi)馬大定理的證明歷時(shí)三百五十年)，并應(yīng)用到諸多領(lǐng)域（比如加密）。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不只是為了考試，雖然數(shù)學(xué)的美是隱蔽的，也是純粹的，永恒的。