一名學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)高低，不僅僅是體現(xiàn)在掌握多少數(shù)學(xué)知識(shí)上，更加體現(xiàn)在一個(gè)人運(yùn)用知識(shí)解決問題能力水平上面。同時(shí)，數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)高的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)思想也有一定程度的領(lǐng)悟，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決生活實(shí)際當(dāng)中的問題。
中考和高考可以說是大家最關(guān)心兩場(chǎng)考試，幾乎很多人的一生都要經(jīng)歷這兩場(chǎng)重要考試。數(shù)學(xué)作為其中重要一門科目，很多時(shí)候都起到拉分的作用，年年都受到考生、家長(zhǎng)、社會(huì)等普遍的關(guān)注。加上數(shù)學(xué)能很好考查一個(gè)人運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，為高一級(jí)學(xué)校選拔人才的時(shí)候能很好體現(xiàn)區(qū)分度，自然也受到命題老師“特殊照顧”。
中高考數(shù)學(xué)考查考生能力的題型非常多。如有動(dòng)點(diǎn)綜合問題、分類討論綜合問題、函數(shù)綜合問題、幾何綜合問題、函數(shù)幾何綜合問題、數(shù)列綜合問題、圓錐曲線綜合問題、方案設(shè)計(jì)問題、操作試驗(yàn)問題等等。這些大家耳熟能詳?shù)慕?jīng)典題型，除了能考查一個(gè)人知識(shí)掌握情況，更能考查一個(gè)人數(shù)學(xué)綜合水平高低。
因此，無論是平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是在中高考沖刺階段，我們都需要花一定時(shí)間去學(xué)習(xí)，去研究，最起碼做到心中有數(shù)，一邊考試時(shí)候不至于不知所措。
今天我們就一起來講講中考數(shù)學(xué)當(dāng)中，操作試驗(yàn)類問題中的折疊類綜合問題，希望能幫助到大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。
折疊類綜合問題，題型多樣、變化靈活、知識(shí)點(diǎn)多，蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)思想方法。折疊類綜合問題不僅能是考查學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，而且能直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是出現(xiàn)在一些地方的中考數(shù)學(xué)壓軸題上。
解決折疊問題時(shí)，首先要對(duì)圖形折疊有一準(zhǔn)確定位，把握折疊的實(shí)質(zhì)，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面入手，發(fā)現(xiàn)其中變化的和不變的量。
典型例題分析1：
如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．
（1）求MP的值；
（2）在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??？
（3）若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）
考點(diǎn)分析：
幾何變換綜合題；綜合題．
題干分析：
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可計(jì)算出MP=5；
（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)F即為所求，過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，則AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再證明ME=MP=5，接著利用勾股定理計(jì)算出MN=3，所以NM′=11，然后證明△AFM′∽△NEM′，則可利用相似比計(jì)算出AF；
（3）如圖2，由（2）知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計(jì)算出M′R的值，就可以求得四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值。
解題反思：
本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題；會(huì)運(yùn)用相似比和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)。
折疊操作，說的簡(jiǎn)單點(diǎn)就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折1800，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，我們一定要弄清楚的是：其中“折”是過程，“疊”是結(jié)果。
折疊問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊更突出了軸對(duì)稱問題的應(yīng)用。所以在解決有關(guān)的折疊問題時(shí)可以充分運(yùn)用軸對(duì)稱的思想和軸對(duì)稱的性質(zhì)。
折疊類綜合問題考查的著眼點(diǎn)日趨靈活，突出考查能力的“主體地位”意圖日漸明顯。因此，我們?nèi)绻肽玫秸郫B類綜合問題的分?jǐn)?shù)，就需要提高識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力等等。
解決折疊類綜合問題，我們要學(xué)會(huì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系；其次要把握折疊的變化規(guī)律，充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將其中的基本的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)合理、有序、全面的解決問題。
折疊類綜合問題一般體現(xiàn)以下三個(gè)方面的折疊：
1、利用點(diǎn)的對(duì)稱
對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，連結(jié)兩對(duì)稱點(diǎn)既可以得到相等的線段，也可以構(gòu)造直角三角形，本題把折疊問題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中去處理。
2、利用線段的對(duì)稱性質(zhì)
利用對(duì)稱的思想來證明線段的相等比用其他方法快捷而且靈活。
3、利用面對(duì)稱的性質(zhì)
在折疊問題中,利用面的對(duì)稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積。
典型例題分析2：
考點(diǎn)分析：
折疊（軸對(duì)稱）——軸對(duì)稱的性質(zhì)、特殊平行四邊形——矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)——三角函數(shù)的求法、勾股定理。
題干分析：
折疊矩形，可以得到“軸對(duì)稱”的圖形，對(duì)于線段相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)的三角形全等；由銳角的正切值可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直角三角形的直角邊之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解決問題。
折疊類綜合問題蘊(yùn)含軸對(duì)稱性質(zhì)，那么我們就要掌握好軸對(duì)稱相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，如根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，我們可以得到以下這些內(nèi)容：
1、折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸；
2、互相重合兩點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)）之間的連線必被折痕垂直平分；
3、對(duì)稱兩點(diǎn)與對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)連結(jié)所得的兩條線段相等；
4、對(duì)稱線段所在的直線與對(duì)稱軸的夾角相等。
因此，如果你想能很好解決折疊類綜合問題，要想使解題思路更加清晰，解題步驟更加簡(jiǎn)潔。就需要在解題過程中充分運(yùn)用以上這些抽對(duì)稱相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容，借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等等知識(shí)內(nèi)容來解決有關(guān)折疊類綜合問題。
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