文小剛 （麻省理工學(xué)院終身教授、格林講席教授）
藝術(shù)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造我們感知中的美?？茖W(xué)探索揭示大自然中的奧妙和神奇。而這些奧妙和神奇所產(chǎn)生美感，是科學(xué)家潛心激情作研究的動力。在這篇文章中，我們將介紹量子世界的奧妙和神奇。這些奧妙和神奇，是如此地超出我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)和感受，我們無法用日常的語言來描寫它們。我們需要引入新概念新名詞，如波粒二象性、測不準(zhǔn)原理、量子比特、玻色子費(fèi)米子、電子云等等。在這篇文章中，我們將比較詳細(xì)地介紹這些新概念新名詞，由此一窺我們這個(gè)身在其中、非常熟悉，但又如此不可思議的世界。我們希望為讀者撥開量子世界神秘的面紗，讓我們一起來體會欣賞量子世界之美。
什么是粒子?
牛頓力學(xué)的根基
物理的研究對象是世界上各種各樣的存在，而粒子是存在的基本形態(tài)。這是因?yàn)槠渌奈镔|(zhì)都可以認(rèn)為是由粒子組合的。
粒子這一存在，可以有很多狀態(tài)。如粒子可以有不同的位置，用三個(gè)數(shù)
（三個(gè)方向的坐標(biāo)）來描寫。這馬上就產(chǎn)生一個(gè)問題：這三個(gè)數(shù)是不是對一個(gè)粒子的狀態(tài)的完備描寫？是不是代表一粒子狀態(tài)的全部信息？為了回答這個(gè)問題，我們需要問，知道了這三個(gè)數(shù)，知道了粒子的位置，是不是就能確定粒子將來的運(yùn)動軌跡？答案是不能夠。所以描寫粒子位置的這三個(gè)數(shù)不是粒子狀態(tài)的全部信息，只代表部分信息。要完全的描寫一個(gè)粒子的狀態(tài)我們需要六個(gè)數(shù)：三個(gè)數(shù)是位置
，三個(gè)數(shù)是速度
（速度在三個(gè)方向上的分量）。這六個(gè)數(shù)完全描寫了粒子的狀態(tài)，決定了粒子將來的運(yùn)動軌跡。也就是說如果我們知道現(xiàn)時(shí)刻(時(shí)刻t)的粒子狀態(tài)：
，我們就可以通過牛頓定律得到下一時(shí)刻（時(shí)刻
）的粒子狀態(tài)：
其中
是粒子所受的力。上面就是牛頓力學(xué)的基本內(nèi)涵。我們看到牛頓力學(xué)是建立在對粒子存在和對其狀態(tài)描寫的基本認(rèn)知之上。加上對狀態(tài)演化的描寫(也就是對將來的預(yù)言能力)，我們就得到了一個(gè)完整的物理理論。
牛頓（左）、麥克斯韋（右）
粒子不是粒子，波不是波
可是上面對粒子存在的基本認(rèn)知，和對其狀態(tài)的描寫，僅僅是我們頭腦中的一個(gè)想象，一個(gè)模型。通過對微小粒子（如電子）的細(xì)致精確的實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)，真實(shí)的粒子完全不像上面描寫的那樣。牛頓力學(xué)并沒有描寫我們這個(gè)世界中真實(shí)存在的粒子。
名正則言順。為了區(qū)分這些不同的概念，我們把上節(jié)所描寫的粒子叫做經(jīng)典粒子，而把我們世界中真正存在的粒子叫做量子粒子。這樣我們就可以清楚地說：經(jīng)典粒子在我們這個(gè)世界中并不存在，其純粹是我們頭腦中所想象的東西。而在我們世界中真正存在的粒子是量子粒子。
普郎克（左）、愛因斯坦（右）
我們對量子粒子的認(rèn)識，始于普郎克對黑體輻射，也就是高溫物體發(fā)光光譜的研究。麥克斯韋之后，大家都認(rèn)為光是一種波。但普郎克發(fā)現(xiàn)，為了解釋高溫物體發(fā)光光譜，他必須假設(shè)光波的能量不是連續(xù)的。光波的能量只能取一些離散的值。具體地說，頻率為f的光的能量只能是hf的整數(shù)倍，其中h就是有名的普郎克常數(shù)。這相當(dāng)于要求光波的振動幅度只能取一些離散的值。為什么一個(gè)波的振動幅度只能取一些特殊的離散值，這是非常不可思議的。
圖1 光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)：把兩個(gè)金屬電極密封在抽真空的玻璃管中。在兩個(gè)電極之間加一個(gè)電壓。當(dāng)光照到一個(gè)金屬電極上，被沖出的電子要克服兩個(gè)電極之間的電壓差，才能走到另一個(gè)電極，在廻路中產(chǎn)生電流。所以調(diào)節(jié)兩電極之間的電壓，就可以測出被沖出電子的最大能量。人們發(fā)現(xiàn)電子的能量和光的強(qiáng)度無關(guān)，但和光的頻率有關(guān)。
后來愛因斯坦引入了光子的概念，來解釋這一光波能量量子化的現(xiàn)象。光子不僅能解釋黑體輻射光譜，同時(shí)也解釋了新的光電效應(yīng)。所謂光電效應(yīng)就是當(dāng)光照射在金屬表面時(shí)，會從金屬中沖出電子。人們吃驚地發(fā)現(xiàn)，被沖出電子的最高能量和光的強(qiáng)度無關(guān)，光強(qiáng)只影響被沖出電子的數(shù)量。被沖出電子的能量只和光的頻率有關(guān)（圖1）。當(dāng)我們把光的頻率增加Δf 時(shí)，被沖出電子的能量也增加hΔf 。如果我們把光看作一束粒子，其每個(gè)粒子帶的能量為hf ，我們就很容易解釋觀測到的光電效應(yīng)：金屬中的電子吸收一個(gè)光子，獲得hf 能量。光的頻率增加Δf 時(shí)，電子獲得的能量也增加hΔf ，這正是我們觀測到的現(xiàn)象。所以光電效應(yīng)告訴我們光是一束粒子，每個(gè)粒子的能量由光的頻率決定：E=hf 。通過光和電子的散射，我們甚至還能確定這些粒子的動量。我們發(fā)現(xiàn)粒子的動量p由光的波長λ唯一決定：p=h/λ。有趣的是，同一個(gè)普郎克常數(shù)h，同時(shí)出現(xiàn)在能量頻率關(guān)系中和動量波長的關(guān)系中。我們又回到早期牛頓的光的粒子說。
光到底是粒子還是波？其實(shí)波性和粒子性存于一身，正是量子粒子的特性。這之所以可能，是因?yàn)樵谖覀冞@個(gè)世界中，存在這一基本概念和我們以前的想象完全不同。下面我們就來仔細(xì)解釋一下什么是量子存在，什么是量子粒子。
什么是量子存在? 什么是量子粒子？
量子力學(xué)的根基
量子粒子這個(gè)真實(shí)的存在，也有不同的狀態(tài)。那這些不同的狀態(tài)是用什么數(shù)據(jù)來描寫的呢？首先量子粒子也有不同的位置。我們用記號
來描寫粒子在位置
這一個(gè)狀態(tài)。
但我們世界中存在的量子粒子，還允許一種不可思議的存在狀態(tài)，這就是兩個(gè)狀態(tài)的疊加態(tài)。比如說
和
是一個(gè)量子粒子兩個(gè)可能的不同狀態(tài)，一個(gè)代表粒子在位置
，另外一個(gè)代表粒子在位置
。那么這兩個(gè)狀態(tài)的疊加態(tài)
，也一定是量子粒子的一個(gè)可能的狀態(tài)。這就是量子力學(xué)中的疊加原理。在這個(gè)疊加態(tài)中，粒子又在位置
又在位置
，它又不在位置
又不在位置
。我們的世界就是這樣一個(gè)奇奇怪怪的量子世界，這種莫名其妙的疊加狀態(tài)是真實(shí)存在的。這種沒有經(jīng)典對應(yīng)不可思議的狀態(tài)，我們通常稱它為量子態(tài)。
這類莫名其妙的量子態(tài)還有很多種，除了
之外，
也是一個(gè)可能的量子態(tài)，代表了一個(gè)粒子可能存在的另一個(gè)狀態(tài)。更廣義的狀態(tài)還可以是
，其中
和
是兩個(gè)復(fù)數(shù)。
上面僅僅是講了兩個(gè)位置的疊加態(tài)。我們還可有所有不同位置的疊加態(tài)：
其中
代表對所有的位置求和。我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)量子粒子的不同的疊加態(tài)，是用不同的復(fù)函數(shù)
來描寫的。這種類型的疊加態(tài)是完備的，其代表了一個(gè)粒子所有可能的量子狀態(tài)。所以一個(gè)粒子的量子狀態(tài)，被一個(gè)復(fù)函數(shù)
來完全描寫。這種對粒子狀態(tài)的描寫，形成了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。
一個(gè)函數(shù)
描寫了一個(gè)在空間上的分布?？蛇@是對一個(gè)波的描寫。我們發(fā)現(xiàn)，由于量子理論中的疊加性，對一個(gè)量子粒子狀態(tài)的描寫，相當(dāng)于對一個(gè)波的描寫。這就是有名的波粒二象性，而復(fù)函數(shù)
也被叫做是波函數(shù)。我們看到，量子力學(xué)的真正革命之處，就在于其修改了存在這一基本概念。這也是量子力學(xué)很難理解的根本原因。量子力學(xué)的內(nèi)涵不在于量子化離散化，而在于對存在的重新識知。這樣看來，量子力學(xué)這個(gè)名字，有點(diǎn)名不正言不順，沒有抓往最關(guān)鍵的內(nèi)涵?！安▌恿W(xué)”或者“矩陣力學(xué)”這兩個(gè)名稱可能更準(zhǔn)確。
海森堡測不準(zhǔn)原理
海森堡
根據(jù)上面的描寫，我們知道，如果波函數(shù)
只在一點(diǎn)
不為零，而在其它位置都為零，那這樣一個(gè)波函數(shù)就描寫了一個(gè)處于
這個(gè)位置的粒子（圖2a）。那什么是波函數(shù)描寫速度為
的粒子呢？速度為
的粒子其動量為
，其中m是粒子的質(zhì)量。它對應(yīng)于波長為λ=h/p的波：
（圖2b）。我們注意到這個(gè)波函數(shù)處處不為零，粒子出現(xiàn)在所有地方，位置非常不確定。這就是有名的海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系：一個(gè)粒子速度確定了，其位置就不確定；一個(gè)粒子位置確定了，其速度就不確定。我們找不到一個(gè)波函數(shù)，它又有一個(gè)確定的位置，又有一個(gè)確定的速度。也就是說位置速度都確定的粒子根本就不存在。
測不準(zhǔn)關(guān)系是神奇的量子疊加原理的一個(gè)推論。一個(gè)有完全確定速度的粒子狀態(tài)，是所有不同位置的粒子狀態(tài)的一個(gè)疊加。一個(gè)有完全確定位置的粒子狀態(tài)，是所有不同速度的粒子狀態(tài)的一個(gè)疊加。所以速度的完全確定就導(dǎo)致了位置的完全不確定。而位置的完全確定又導(dǎo)致了速度的完全不確定。不管多么別扭，這就是我們的真實(shí)世界。
圖2：（a）一個(gè)位置完全確定的波函數(shù)。（b）一個(gè)速度完全確定的波函數(shù)。（c）一個(gè)位置有點(diǎn)兒不確定速度也有點(diǎn)兒不確定的波函數(shù)。這個(gè)波函數(shù)，描寫了我們?nèi)粘Ｕf的，同時(shí)有位置有速度的粒子。其實(shí)粒子的速度位置都有點(diǎn)不確定。速度位置都完全確定的狀態(tài)根本不存在。因?yàn)椴ê瘮?shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)，這里藍(lán)線是波函數(shù)的實(shí)部，紅線是波函數(shù)的虛部。
上面對一個(gè)粒子的量子描寫，好像完全是胡說。一個(gè)粒子明明可以同時(shí)有位置和速度，這不僅僅是我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)，也是實(shí)驗(yàn)的觀察。說粒子不可以同時(shí)有位置和速度，有悖于已有的實(shí)驗(yàn)觀察。其實(shí)這里并沒有矛盾。量子力學(xué)說的是，位置速度都完全確定的東西不存在。但位置有點(diǎn)不確定，速度也有點(diǎn)不確定的東西，還是可以存在的。這樣一個(gè)狀態(tài)是由圖2c中的波函數(shù)所描寫的。我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)中所謂同時(shí)有位置和速度的粒子，其實(shí)是位置和速度都有些不確定的粒子。只不過這個(gè)不確定很小，以前沒有注意到。但這個(gè)小小的不確定性徹底顛覆了經(jīng)典力學(xué)的看法。我們不能用六個(gè)數(shù)
，
來刻畫一個(gè)粒子的狀態(tài)，我們必須用一個(gè)波函數(shù)
來刻畫一個(gè)粒子的狀態(tài)。這個(gè)變化太大了，徹底改變了我們對世界的認(rèn)知。
粒子的波性和薛定諤方程
圖3 單縫和雙縫實(shí)驗(yàn)展示了我們世界中真實(shí)粒子的波動性
我們世界真實(shí)粒子的這種波動性，可以通過雙縫實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證（圖3）：我們讓一束電子通過兩個(gè)窄縫，觀察窄縫后屏幕上電子的強(qiáng)度分布，其由波函數(shù)的絕對值平方
給出。如果我們擋住一條縫，我們會觀察到一個(gè)強(qiáng)度分布，如果我們擋住另一條縫，我們會觀察到另一個(gè)強(qiáng)度分布。但如果兩個(gè)縫都打開，讓我們吃驚的是我們看到的不是上面兩個(gè)強(qiáng)度分布的和，而是一個(gè)有附加干涉條紋的強(qiáng)度分布。這和通過雙縫的水波所產(chǎn)生的干涉條紋一模一樣（圖4）。我們特別注意到，在量子世界中，兩種可能性的疊加，有時(shí)反而使可能性減少，甚至可以減少到零變成不可能。經(jīng)典粒子可能性的疊加總是概率疊加，可能性不會減少，只會增加。而量子粒子可能性的疊加是波的疊加，疊加后的可能性有時(shí)增加，有時(shí)減少，甚至有時(shí)可以變成零。
圖4 波通過雙縫后的干涉條紋
通過對干涉條紋的仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)電子所對應(yīng)的波的波長，是由電子的動量（動量就是質(zhì)量乘速度）來決定的：λ＝h/p，和光子的波長動量關(guān)系一模一樣。這樣德布羅意就猜測，所有粒子都是波，所有波都是粒子。他們的波長動量的關(guān)系都是p=h/λ。受到光的能量頻率關(guān)系的啟發(fā)，德布羅意進(jìn)一步猜測，所有粒子所對應(yīng)的波的頻率，也都是由其能量給出的f=h/E。
德布羅意（左）、薛定諤（右）
波函數(shù)
是對一個(gè)粒子狀態(tài)的完備描寫。也就是說知道現(xiàn)在這一時(shí)刻的波函數(shù)
，我們就能知道下一時(shí)刻的波函數(shù)
：
上面也可以寫成微分方程的形式：
這就是有名的薛定諤方程，它描寫了一個(gè)粒子的態(tài)（波函數(shù)）如何隨時(shí)間變化，給出了量子力學(xué)的預(yù)言能力。這一對粒子狀態(tài)及其隨時(shí)間演化的新描寫，就是所謂的量子力學(xué)理論。這種對粒子存在的新認(rèn)知，導(dǎo)致了我們對大千世界的新認(rèn)知，導(dǎo)致了一個(gè)新的量子世界觀。
一個(gè)質(zhì)量為m的粒子的能量和動量，有一個(gè)確定關(guān)系E=p2/2m。由于能量頻率關(guān)系和動量波長關(guān)系，這就導(dǎo)致了當(dāng)我們把粒子看作是波的時(shí)候，其頻率和波長也有一個(gè)關(guān)系f=h/2mλ2。由薛定諤方程所解出來的波，其頻率波長正好滿足這一關(guān)系。其實(shí)歷史上，薛定諤正是利用這一關(guān)系來湊出他的方程。
什么是量子比特？
量子疊加原理是量子力學(xué)的靈魂。這里我們用一個(gè)更簡單的系統(tǒng)來進(jìn)一步的介紹量子疊加原理。在經(jīng)典物理中，最簡單的系統(tǒng)就是一個(gè)比特。一個(gè)比特只有兩個(gè)態(tài)：0和1。而量子疊加原理告訴我們：任何兩個(gè)態(tài)的疊加也是一個(gè)可能的態(tài)。所以一個(gè)量子比特，不僅有
和
兩個(gè)態(tài)，還有它們的任意疊加態(tài)：
這里
和
是兩個(gè)復(fù)數(shù)，被稱之為疊加系數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)量子比特可以有無窮多個(gè)不同的狀態(tài)，這些狀態(tài)由兩個(gè)復(fù)數(shù)
和
來刻畫。
其實(shí)事情還沒有這么簡單。這兩個(gè)復(fù)數(shù)對量子比特狀態(tài)的刻畫不是一一對應(yīng)的，而是多對一的。兩對復(fù)數(shù)
和
其實(shí)描寫的是同一個(gè)量子態(tài)，如果它們之間有如下的關(guān)系的話
其中c是一個(gè)任意的復(fù)數(shù)。所以一個(gè)量子比特不同的態(tài)對應(yīng)于一個(gè)球面上的點(diǎn)。這就是量子比特狀態(tài)的布洛赫球表征（圖5）。經(jīng)典比特1和0兩種狀態(tài)對應(yīng)于南北兩極。而量子比特可以處在這兩種態(tài)的任意疊加態(tài)上，由球面上的其它點(diǎn)表示。這些點(diǎn)表達(dá)了這么一個(gè)又不是0又不是1，但又是0又是1的虛無縹緲的狀態(tài)。在量子世界中好像連邏輯這一基本推理工具都要被修正了。
圖5：布洛赫球：一個(gè)量子比特不同的量子態(tài)，一一對應(yīng)于一個(gè)球面上的點(diǎn)。我們可以用一個(gè)電子的兩個(gè)自旋態(tài)，來實(shí)現(xiàn)一個(gè)量子比特：自旋向上對應(yīng)于0態(tài)，自旋向下對應(yīng)于1態(tài)。那么自旋向上和自旋向下的疊加態(tài)，也就是球面上的其他點(diǎn)，對應(yīng)于自旋指向那個(gè)方向的量子態(tài)。比如
是一個(gè)指向水平x方向的自旋態(tài)
，而
是一個(gè)指向水平反x方向的自旋態(tài)
。自旋向上的態(tài)
也可以看成是
和
兩個(gè)態(tài)的疊加：
。
圖6 如何把一只可愛的貓，變成一只薛定諤貓
量子比特這不是0不是1，又是0又是1奇怪的狀態(tài)是有名的活貓死貓悖論的來源。想象在一個(gè)密封的盒子中，有一只貓、一瓶毒藥、一個(gè)榔頭，和一個(gè)量子比特探測器（圖6）。我們給探測器一個(gè)量子比特，讓其測量。如果量子比特是處于1態(tài)的話，榔頭就會落下，放出毒藥，我們就會得到一只死貓。如果量子比特是處于0態(tài)的話，榔頭就不會落下，貓還是活的。如果量子比特是處于0和1的一個(gè)疊加態(tài)，那么過了一段時(shí)間，這只貓到底是死的還是活的？按照量子理論，這只貓應(yīng)該是處于一個(gè)不死不活，又死又活的狀態(tài)。而這種狀態(tài)的貓還有一個(gè)學(xué)術(shù)名字，叫薛定諤貓（圖7）。它還有一個(gè)數(shù)學(xué)符號
。
圖7 對不死不活又死又活的薛定諤貓的藝術(shù)描寫
有人會說薛定諤貓這個(gè)東西是不可能存在的。量子力學(xué)得出它，反映了量子力學(xué)中的疊加原理是錯的?？闪硪环矫嫖覀兊拇_看到了電子束的干涉現(xiàn)象。我們必須用量子疊加原理來解釋這一干涉現(xiàn)象。也許薛定諤貓真的存在。這是一個(gè)很好的實(shí)驗(yàn)方向。我們應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)具體的實(shí)驗(yàn)，來驗(yàn)證薛定諤貓是否真的存在。當(dāng)然，人們可能不會真的用貓來做實(shí)驗(yàn)，我們可以用有不同宏觀狀態(tài)的體系來代替貓。
圖8 量子力學(xué)的平行宇宙解釋
也有人覺得，不死不活，又死又活這個(gè)概念太難接受。于是引入了一個(gè)，我個(gè)人認(rèn)為，更難接受的概念：平行宇宙?；钬埶镭埛謩e進(jìn)入了自己的平行宇宙（圖8）。是死是活就看你是處于哪個(gè)宇宙中。這就是量子力學(xué)的一個(gè)平行宇宙解釋。這不同于標(biāo)準(zhǔn)的對量子波函數(shù)的幾率解釋。
我們看到，一個(gè)最簡單的量子系統(tǒng)，量子比特，已經(jīng)是這么一個(gè)怪獸。這一怪獸，可以有無窮多個(gè)狀態(tài)，所以比經(jīng)典比特的0，1兩個(gè)狀態(tài)，有更強(qiáng)大的表達(dá)能力和計(jì)算能力。因此量子比特是強(qiáng)大量子計(jì)算的基礎(chǔ)。量子疊加原理還能導(dǎo)出量子糾纏的概念。這是強(qiáng)大量子計(jì)算的另一個(gè)基礎(chǔ)。這里我們就不細(xì)說了。
眼見為實(shí)
電子真的是波嗎？通過掃描隧穿顯微鏡（圖9第一幅），我們還真能直接“看”到電子的波。掃描隧穿顯微鏡有一個(gè)很尖的針尖，針尖頂上只有一個(gè)原子。這個(gè)針尖在金屬表面掃描，可以看到一個(gè)個(gè)原子（對應(yīng)圖9中的小尖包）。甚至可以撥動一個(gè)個(gè)原子，組成各種圖形。
仔細(xì)的讀者可以發(fā)現(xiàn)在原子的周圍，有緩緩的波形，這就是金屬中的電子波。金屬中的電子十分不安分，跑來跑去，即使在絕對溫度零度時(shí)，也停不下來。原子周圍緩緩的波形，就是運(yùn)動中的電子，碰到金屬表面的原子，所形成的的干涉現(xiàn)象（駐波）。我們可以根據(jù)駐波的波長λ，來估算金屬中電子跑動的速度：v=h/λme，其中h是普郎克常數(shù)，me=9 x1028g是電子的質(zhì)量。從圖9中，我們可以讀出λ＝14x10-8cm。我們得出電子的速度為v=5x105m/s。這比空氣中的音速快了一千五百倍。為什么即使在絕對溫度零度時(shí)，金屬中的電子還要如此瘋狂的跑來跑去，不停下來休息休息？其實(shí)這來源于電子的費(fèi)米性，電子根本停不下來！這個(gè)故事我們將在以后的文章中介紹。
圖9 掃描隧穿顯微鏡，及其“看”到金屬表面的原子，以及金屬中跑動的電子和原子干涉所形成的駐波。
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