分式的應(yīng)用
一、分式方程組的解法。
1、解分式方程組的指導(dǎo)思想
解分式方程時用轉(zhuǎn)化思想采用去分母的方法將分式方程的分母去掉化為整式方程，再解整式方程，最后驗根，完成了解分式方程的過程。解分式方程組也是用解分式方程的思想將分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解。
2、解分式方程組
例1，解方程組：
分析：此題是分式方程組，可采用去分母的方法將方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解。
解：去分母：將方程（1）兩邊同乘以xy，得：4y+5x=0（3）
將方程（2）兩邊同乘以(x+4)(y-3)得：x(y-3)-(y+3)(x+4)=0
整理方程：xy-3x-(xy+4y+3x+12)=0
xy-3x-xy-4y-3x-12=0∴6x+4y=-12（4）
∴原方程組化為：
解方程組：(4)-(3)得：x=-12
把x=-12代入(3)，5×(-12)+4y=0 ∴y=15
∴ 將
∴原方程組的解為
例2，解方程組
分析：按常規(guī)想法將兩個分式方程去分母后變形為整式方程組，去解即按例1方法去解此方程組，會出現(xiàn)高次方程，目前我們還不會解。因此觀察特點，特別是反復(fù)出現(xiàn)的字母形式，再利用換元思想（或叫整體代換）去解這個方程組。
解：設(shè)x+y=m,
則原方程組變形為
化簡整理方程組：將方程(1)兩邊同乘以6，得：2m-18n=-1 (3)
將方程（2）兩邊同乘以2得：m+4n=6 (4)
∴原方程組化為
解方程組：(3)-(4)×2
∴n=
把n=
∴
再解方程組：（5）+（6）得：2x=6 ∴x=3
將x=3代入 （5）得：3+y=4
∴y=1 ∴
經(jīng)檢驗：
2、“換元”是求原方程未知數(shù)的值的一種手段，不是目的。目的是求原來未知數(shù)（如x,y）的值。所以當(dāng)求得輔助未知數(shù)（如m,n）的值以后，一定要把原來未知數(shù)（x,y）的值求出來。
3、由以上兩個例題可以看出，把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組，可以用去分母的方法，也可以用換元法。究競用哪種方法合適，要具體問題具體分析。
二、列分式方程（組）解應(yīng)用題
1、列分式方程解應(yīng)用題能進一步培養(yǎng)理論聯(lián)系實際和分析問題，解決問題的能力。它也是本章的一個難點。但是只要我們仔細審題，認真分析題目中所給數(shù)量關(guān)系，再聯(lián)系到一元一次方程解應(yīng)用題的一些方法和步驟，這個難點也是可以突破的。
2、列分式方程解應(yīng)用題的步驟與列整式方程解應(yīng)用題的步驟基本相同，其主要區(qū)別是量與量之間數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式可以是整式，也可以是分式，分式方程需要驗根。
3、列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟可歸納為五個字：設(shè)、找、列、解、答。即：
?。?）審題，設(shè)——“設(shè)”
（2）根據(jù)題意找等量關(guān)系：——“找”
?。?）列代數(shù)式，列方程——“列”
（4）解方程并檢驗——“解”
?。?）寫答案——“答”
4、分類介紹一些應(yīng)用題
（1）追及問題
在解“追及問題”時，常需依時間列方程來解決問題。
例3，某校師生到距學(xué)校20千米的公路旁植樹，甲班師生騎自行車先走，45分鐘后，乙班的師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果兩班學(xué)生同時到達，已知汽車的速度是自行車速度的2.5倍，求兩種車的速度各是多少？
分析：這個題目是個行程問題的“追及”問題，那么基本量距離，速度，時間存在著距離=速度×時間的基本關(guān)系。在找相等關(guān)系時，要按基本數(shù)量關(guān)系去檢查，看是否表示同一種量。
解法一：設(shè)自行車的速度是x千米/時，則汽車的速度是2.5x千米/時，45分鐘=
由題意可列：
化簡為：
解方程：去分母，兩邊同乘以4x得：80-32=3x
∴x=16
經(jīng)檢驗x=16是分式方程解，并符合題意
∴2.5x=2.5×16=40
答：自行車的速度是16千米/時，汽車速度是40千米/時。
解法2：設(shè)自行車的速度為x千米/時，汽車的速度為y千米/時。
根據(jù)題意，得
消去y，得
解之，得
答：自行車的速度是16千米/時，汽車的速度是40千米/時。
注：1、設(shè)未知數(shù)時要有單位，速度單位不要設(shè)成長度單位。2、列方程時單位一定要統(tǒng)一，如例題中的45分鐘一定要化為
（2）相向而行問題：
解“相向而行問題”時，也需要依時間列方程解之。
例4，甲、乙兩人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后，二人繼續(xù)前進，乙的速度不變，甲每小時比原來多走1千米，結(jié)果到達B地后乙還需30分鐘才能到達A地，求乙每小時走多少千米。
解：設(shè)乙每小時走x千米，則相遇后甲每小時走(x+1)千米。
因為甲乙兩人同時同速出發(fā)，則相遇時路程各走了一半，為10公里。
依題意得：
去分母：方程兩邊同乘以2x(x+1)，20(x+1)=20x+x(x+1)
化簡整理方程：x2+x-20=0
∵x2+x-20=(x-4)(x+5)
∴(x-4)(x+5)=0 ∴x-4=0或x+5=0
∴x1=4或x2=-5
經(jīng)檢驗，x1=4，x2=-5都是原方程的解，但速度為負數(shù)不合題意，∴舍去。∴x=4
答：乙每小時走4千米。
說明：整理方程后雖然是個一元二次方程：x2+x-20=0，我們可用因式分解法將左邊：x2+x-20=(x-4)(x+5)，進行因式分解，再應(yīng)用ab=0則a=0或b=0的結(jié)論來解。
（3）合作工程問題：
解合作工程問題，也常常需要依時間列方程來解應(yīng)用題。
例5．甲、乙兩個小組合修一臺機器，2小時完成。已知甲小組單獨修需要3小時，求乙組單獨修需幾小時？
分析：工程問題常常把全部工作看成1（有時也可以看成a），那么工作效率=
解：設(shè)乙小組單獨修需x小時，則乙小組每小時的工作量（又稱工作效率）為
由題意得：
∴x=6
經(jīng)檢驗：x=6是原方程的解且符合題意
答：乙小組單獨修需要6小時。
工程問題常用關(guān)系式為：工作量=工作效率×工作時間
例6．要定期完成一件工程，甲單獨做正好按期完成，乙單獨做要超期3天才能完成，現(xiàn)甲乙合作2天，余下的由乙單獨做，剛好按期完成，求甲乙單獨做全部工程所需天數(shù)。
解：設(shè)甲單獨完成需要x天，則乙單獨完成需(x+3)天，
依題意：2(
化簡整理方程：
去分母：方程兩邊同乘以x(x+3)：2(x+3)+x2=x(x+3)
化簡整理方程：2x+6=3x，∴x=6
經(jīng)檢驗x=6是原方程的解且符合題意，
∴x+3=6+3=9
答：甲單獨作需要6天，乙單獨作需要9天。
注：本題的關(guān)鍵量在于尋找工作量。甲的工作量為：甲的工作效率×甲的工作時間，即2·
例7．打印一份稿件，甲打30分鐘后由乙繼續(xù)再打25分鐘就完成。第二次再打這份稿件，乙打30分鐘后由甲繼續(xù)再打24分鐘就完成。問甲、乙二人單獨打這份稿件各需多少分鐘。
解：設(shè)甲、乙單獨打這份稿件需要的分鐘數(shù)分別為x, y
由題意可得
設(shè)
則原方程組為
(1)-(2)：2A=
將A=
∴
經(jīng)檢驗，x=60, y=50是原方程組解且符合題意，
答：甲乙單獨打這份稿件的時間分別為60分鐘和50分鐘。
合作工作問題基本數(shù)量是時間，總工作量、效率。它們之間的關(guān)系為效率×時間=總工作量。工作問題中常常把總工作量看做1。特別要注意工作的時間與工作量的表示，如果一件工程要x天完成，則一天就能完成
（4）流速問題：
流速問題是特殊的行程問題，較一般行程問題特殊在速度的合成上。
例8．船航行于相距32千米的兩個碼頭之間，逆水比順?biāo)嘤?2小時，若水流速度比船在靜水中的速度少2千米/時，求水流速度及船在靜水中速度。
解：設(shè)船在靜水中速度是x千米/時，則水流速度為(x-2)千米/時，則船在順?biāo)俣葹閇x+(x-2)]千米/時，船在逆水中速度為[x-(x-2)]千米/時，
由題意得：
化簡整理得：
∴x-1=4，∴x=5，
經(jīng)檢驗：x=5是原方程解且符合題意，
∴x-2=5-2=3
答：水流速度為3千米/時，船在靜水中速度為5千米/時。
（5）整數(shù)問題：
例9．一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，若將十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來兩位數(shù)的比是4：7，求原來的兩位數(shù)。
解：設(shè)個位數(shù)為x，則兩位數(shù)為10×6+x，易位后的數(shù)為10x+6
由題意可得：
經(jīng)檢驗 x=3是原方程的解且符合題意。
∴10×6+x=10×6+3=63
答：原來的兩位數(shù)為63。
例10．一個分數(shù)的分子和分母各加上1，得
解：設(shè)這個分數(shù)的分子為x，分母為y，則分數(shù)為
由題意可得：
經(jīng)檢驗x=5, y=17是原方程組的解且符合題意，∴
答：這個分數(shù)為
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