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《廣猛說題系列之記述幾道折疊小題的精彩》(下集)



如圖3,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處,連接CF,求CF的長.

簡析:這是一道中考真題,原題是選擇壓軸題,題目給人以眼前一亮之感,小巧精致,下面提供筆者對這道題目的一些思考,先呈上此題最簡單的解法;

思考一(利用“折痕垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線段”得垂直平分,進(jìn)而識別中位線模型):

第一步:如圖3-1-1,連接BF交AE于點(diǎn)G,由折疊問題中“折痕垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線段”得BF⊥AE且BG=FG;

第二步:如圖3-1-2,由點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)知EB=EC,從而有EG是△BCF的中位線,故CF=2EG;

第三步:如圖3-1-2,識別到基本圖形“射影型”,由射影定理“BE^2=EG*EA”可口算得出EG,進(jìn)而CF可求,如圖3-1-3所示,此題得解;

值得一提的是,關(guān)于這里“CF=2EG”結(jié)論的得出還有一些思考方式,雖然繞了些彎路,但作為解題后反思的習(xí)慣還是很有必要的,至少可以鞏固些常見的基本圖形的積累:

由折疊問題中邊的不變性知EB=EF,從而有EB=EF=EC,識別到基本圖形“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一常用的逆命題,可得BF⊥FC,進(jìn)而有EG∥FC,再加上點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),再結(jié)合相似比,也可得到CF=2EG;

另外,若由折疊問題中角的不變性可知∠BEA=∠FEA,還可識別到圖3-1-2中有一個“角平分線+等腰三角形→平行”這一“鐵三角”結(jié)構(gòu)!所謂“鐵三角”結(jié)構(gòu)是指“角平分線、等腰三角形、平行”這三個條件中“知二推一”,即任意兩個成立,第三個一定存在,是一個很實用的結(jié)論,強(qiáng)烈建議學(xué)生認(rèn)真體悟!

思考三(見等腰,作“三線合一”,造相似,比例口算):

第一步:如圖3-3-1,由題易知EF=EC,即△EFC是等腰三角形,作EG⊥FC于點(diǎn)G,則由等腰三角形“三線合一”知∠FEG=∠CEG且CF=2CG;

第二步:由折疊問題中角的不變性知∠AEB=∠AEF,從而有∠AEG=90°,則易知Rt△ABE∽Rt△EGC,從而Rt△EGC的三邊之比為3:4:5;

第三步:利用EC=3,可比例算出CG的長,進(jìn)而得到CF的長,此題得解;

這一方法也是很不錯的,抓住題目中給定一些角相等,利用這些角相等,進(jìn)行比例分析口算,進(jìn)而得解;其實筆者想到這種方法的思路還是基于“確定性思想”分析想到的,即要求CF的長,將CF鎖定在等腰△EFC中,只要解這個三角形即可,其腰長為3,進(jìn)而想到求其角(或三角函數(shù)值,即比例),進(jìn)而想到作三線合一解決問題!思路自然流暢,值得同學(xué)們用心體會!在很大范圍內(nèi),“確定性思想”都是我們處理所謂綜合性問題的基礎(chǔ)性分析方法!

解題后反思:上面提供了解決題3的三種方法,都很漂亮!法一最簡單,利用“折痕垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線段”得垂直平分,進(jìn)而識別中位線模型,借助射影定理口算答案;法二見“斜”直角構(gòu)造“一線三直角”結(jié)構(gòu),再利用相似比進(jìn)行巧設(shè),最后勾股計算,求邊長的最重要兩大神奇都有涉及,即勾股法或相似法,而且其間構(gòu)造的“一線三直角”模型應(yīng)用極其廣泛,是中考??嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容;法三中,基于“確定性思想”分析計算,是很大范圍內(nèi)的分析問題的手法,也是最自然的想法,但很多學(xué)生都比較容易忽視這種最基礎(chǔ)的想法,甚至部分老師可能也未必意識到,然后鎖定一個確定的等腰△EFC,利用“三線合一”巧抓相等角,進(jìn)行比例口算,也極其簡單易懂!

這道中考真題是筆者在qq教研群里見到的,當(dāng)時就有老師提了一個變式問題:求DF的長!這也是一個難得的、值得深挖的好問題!下面也提供幾種思考,甚至最后給出一個一般結(jié)論直接口算秒殺!

思考一(見“斜”直角構(gòu)造“一線三直角”結(jié)構(gòu),比例巧設(shè),勾股計算):

在原題法二構(gòu)造“一線三直角”模型的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步勾股計算即可;

如圖3-4-1所示,利用Rt△EFN∽Rt△FAM解出x后,MF、MD均可求,從而鎖定最終的Rt△FMD進(jìn)行勾股計算,問題得解!

也就是說,這里構(gòu)造“一線三直角”的解題策略既可求出CF,又可求出FD, 是很多直角問題中的通解通法,應(yīng)引起高度重視!其本質(zhì)思想其實是“斜化直”思想,亦可趣稱為“改斜歸正”大法,應(yīng)用廣泛,詳見本人相關(guān)作品!

思考二(利用折疊問題中“角平分線+平行線→等腰三角形”這一重要結(jié)論,構(gòu)造等腰三角形,再結(jié)合比例分析解三角形):

第一步:如圖3-5-1,延長EF交AD于點(diǎn)M,識別等腰△AEM,從而AM=EM;

第二步:如圖3-5-2,設(shè)FM=x,則AM=EM=3+x,鎖定Rt△AFM利用勾股定理可求出x的值,即FM、AM的長可求,故∠FAM確定,即其三角函數(shù)值確定,或者說其所在的直角三角形三邊之比確定;

第三步:如圖3-5-3,由第二步中∠FAM確定,再結(jié)合AF、AD確定,由“SAS”知目標(biāo)FD所在的△ADF是確定的,既然是確定的,肯定是可解的!而且就利用判定的方法“SAS”進(jìn)行求解,這就是吾所謂的“基于確定性思想的因果關(guān)系分析法”,即抓住∠FAM(∠FAD)這個“特殊角”,過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,利用比例結(jié)合AF=4,口算出FG、AG的長,進(jìn)而DG可求,最后在Rt△FGD中利用勾股定理計算FD的長,問題得解;

上面解法中涉及的“基于確定性思想的因果關(guān)系分析法”及比例分析口算法,都是同學(xué)們分析問題、解決問題的重要手段,值得認(rèn)真推敲,并能熟練應(yīng)用!

值得一提的是,要想確定∠FAM,只需求出AM或FM的長后鎖定Rt△AFM即可;而AM的長還可以借助上面第一步構(gòu)造的△AEM,比例口算得出,仍然是基于“確定性思想”的考慮,如圖3-5-6所示,添加等腰問題中最重要的輔助線“三線合一”,再抓住確定的∠EAM(等于∠AEB,其對應(yīng)比例為3:4:5),比例口算AM,從而確定∠FAM,下略!

上面兩種思考方式是一些折疊問題或者說綜合問題中常見的解題策略,下面再提供此變式“最牛解法”,這一招也是“學(xué)自于群,學(xué)自于于(常州于新華特級大師)”,后面也還會有于特的精彩“語錄”,我只是一個勤勞的“搬運(yùn)工”而已!

上面的變式問題,本質(zhì)上就是圖3-6-1中的“矩形問題”:

矩形內(nèi)部有一個點(diǎn)F,且點(diǎn)F到此矩形三個頂點(diǎn)的距離已知,求點(diǎn)F到第四個頂點(diǎn)的距離.

關(guān)于這個“矩形問題”,“高觀點(diǎn)”視角下,一些大師直接秒殺,他們是如何做到的呢?原來,他們的法寶是一個有趣的結(jié)論,即FA^2+FC^2=FB^2+FD^2,知道這個結(jié)論可不就“秒”了嘛!

下面重點(diǎn)講一講這個結(jié)論的由來,其實也沒有什么高深的知識,就是“四次勾股定理”,而且這個方法我們還在曾經(jīng)遇到過的中考真題“垂美四邊形”中使用過,可以說手法一模一樣,下文也會提及,便于大家類比、理解、記憶!

第一步:如圖3-6-2,過題目涉及的關(guān)鍵點(diǎn)F作“水平—豎直”輔助線MN、PQ,這一步依然是“斜化直”思想之“改斜歸正”大法的操作應(yīng)用,設(shè)FM=a,F(xiàn)N=b,F(xiàn)P=c,F(xiàn)Q=d,這里的“設(shè)元”為接下來的計算說理奠定基礎(chǔ)“設(shè)施”;

第二步:在圖3-6-2中的兩個陰影直角三角形中,用兩次勾股定理后再相加可得:FA^2+FC^2=a^2+b^2+c^2+d^2;

第三步:在圖3-6-3中的兩個陰影直角三角形中,再用兩次勾股定理后再相加可得:FB^2+FD^2=a^2+b^2+c^2+d^2;

從而有一般結(jié)論FA^2+FC^2=FB^2+FD^2成立,從而問題得“秒”!

值得一提的是,這里的點(diǎn)F可以是矩形ABCD內(nèi)部的任意一點(diǎn)!

其實點(diǎn)F不光光可以是矩形ABCD內(nèi)部的任意一點(diǎn),甚至于可以是矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),上面的結(jié)論依然成立!

當(dāng)點(diǎn)F落在了矩形ABCD的某條邊上或者其所在的直線上時,畫圖即可解,不再贅述!

下面再談一談點(diǎn)F落在矩形外部且不在任意邊所在的直線上的一般情況:

第一步:如圖3-7-1,先畫出符合題意的圖形,鎖定四個目標(biāo)線段;

第二步:過題目涉及的關(guān)鍵點(diǎn)F作“水平—豎直”輔助線MN、PQ,這一步依然是“斜化直”思想之“改斜歸正”大法的操作應(yīng)用,設(shè)FM=a,F(xiàn)N=b,F(xiàn)P=c,F(xiàn)Q=d,這里的“設(shè)元”為接下來的計算說理奠定基礎(chǔ)“設(shè)施”;

在圖3-7-2中的兩個陰影直角三角形中,用兩次勾股定理后再相加可得:FA^2+FC^2=a^2+b^2+c^2+d^2;

第三步:在圖3-7-3中的兩個陰影直角三角形中,再用兩次勾股定理后再相加可得:FB^2+FD^2=a^2+b^2+c^2+d^2;

從而有一般結(jié)論FA^2+FC^2=FB^2+FD^2成立!值得一提的是,這里的點(diǎn)F可以是矩形ABCD外部的任意一點(diǎn)!

細(xì)心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)F落在矩形外部時的解法與點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部的解法一模一樣,從頭到尾甚至可以說“連一個字母都沒有改變”,包括輔助線的做法,勾股定理使用的直角三角形等,都是一模一樣!筆者之所以重復(fù)一遍,最重要的目的就是讓學(xué)生體會此處的“圖形變了,方法未變”的意識,認(rèn)識到方法的“不變統(tǒng)一性”,包括輔助線的做法、證明過程的思路方法等都不變,這是我們解決很多圖形變換綜合性問題的常用手法,屢試不爽!

通過上面的證明,我們得出了一個有趣的結(jié)論:(同一平面內(nèi)的)任意一點(diǎn)到矩形兩對角線端點(diǎn)的距離的平方和相等;或者說(同一平面內(nèi)的)任意一點(diǎn)到矩形相對的兩個頂點(diǎn)的距離的平方和相等!

于特精彩語錄(筆者靠記憶重述,未必準(zhǔn)確):(同一平面內(nèi)的)任意一點(diǎn)到矩形任意一條對角線兩端點(diǎn)的距離的平方和等于其到矩形四條邊所在直線的距離的平方和!

為什么專門提及上面的精彩語錄?我想表達(dá)的就是,大師就是大師!于特的總結(jié)相比于上面的表述,最大的優(yōu)勢就是能體現(xiàn)出“過程性”,用極其精簡的語言凝練地表達(dá)出相同的結(jié)論,同時還能體現(xiàn)出過程,這真是妙、精、好!

現(xiàn)在的學(xué)生,表達(dá)能力可以說是“爛到極點(diǎn)”,筆者甚至在公開課上試驗過學(xué)生的語言表達(dá)能力,真是“差到爆”,這給我們很大的提醒,需要在平時的教學(xué)中重視學(xué)生語言表達(dá)能力的培養(yǎng)!表達(dá)同一個意思,如何變成自己的語言,如何精煉化,都值得我們認(rèn)真思考!于特的魅力就在于此,希望引起同學(xué)們及教師的關(guān)注與重視!

下面再看看一個有趣的模型,即“對角線互相垂直的四邊形,其對邊的平方和相等”!這個模型在同學(xué)們曾經(jīng)做過的中考真題中叫“垂美四邊形”,當(dāng)時也是讓同學(xué)們探索結(jié)論,并用文字語言總結(jié)結(jié)論,可以說做的“慘不忍睹”,看語言表達(dá)多重要??!

圖3-8-1給出了符合題意的圖形;

圖3-8-2中,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,這里的“設(shè)元”為接下來的計算說理奠定了基礎(chǔ)“設(shè)施”;

在圖3-8-2中的兩個陰影直角三角形中,用兩次勾股定理后再相加可得:AD^2+BC^2=a^2+b^2+c^2+d^2;

在圖3-8-3中的兩個陰影直角三角形中,再用兩次勾股定理后再相加可得:AB^2+CD^2=a^2+b^2+c^2+d^2;

從而有結(jié)論AD^2+BC^2=AB^2+CD^2成立,即對角線互相垂直的四邊形,其兩組對邊的平方和相等!

上述兩個有趣的結(jié)論及證明方法一模一樣,是一次無意中的偶然,還是明明之中的必然呢?同學(xué)們?nèi)羰抢^續(xù)反思、琢磨下去,會發(fā)現(xiàn)更有趣的現(xiàn)象,上面兩個有趣的結(jié)論其實是“一家人”??!不信你看:

在第一個“矩形性質(zhì)”的一般性結(jié)論證明過程中,當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時,如上面的圖3-6-2,若是連接QM、MP、PN、NQ,如圖3-8-4所示,先識別到四個矩形,利用矩形的對角線相等,可將目標(biāo)的四條線段啊轉(zhuǎn)化為QM、MP、PN、NQ,再隱去一些不必要的線條,如圖3-8-5所示!

唉,這不變成了第二個所謂“垂美四邊形”的一般結(jié)論了嘛!兩個結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化,無疑再次讓我們驚嘆于數(shù)學(xué)的神奇、精妙,回味無限,趣味橫生!

再來最后一道折疊趣題,為突出筆者想表達(dá)的方法之精妙處,這里只提供一種方法,其他方法同學(xué)們可自行探討,肯定可以“一題多解”的,而且都是上面已經(jīng)提及的好方法,也算作一道“作業(yè)題”吧!

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