朱俊華 吳玉國(guó)
江蘇淮安市天津路小學(xué) 江蘇南京市游府西街小學(xué)
美國(guó)現(xiàn)代著名教育家布魯納認(rèn)為:“學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)科, 就是掌握這門(mén)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！盵1]學(xué)科知識(shí)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)的排列和堆砌, 而是一個(gè)有結(jié)構(gòu)的有機(jī)整體, 學(xué)科之間存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系, 尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科, 更是一門(mén)結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科, 所有知識(shí)都存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系和內(nèi)在結(jié)構(gòu)。只有我們掌握了學(xué)科知識(shí)的關(guān)系和結(jié)構(gòu), 學(xué)生才能夠從整體上把握學(xué)科知識(shí)[2]。
一、立序:由“教材的續(xù)”走向“兒童的序”
數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性, 每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就像散落在棋盤(pán)上的一粒棋子, 它們并非是雜亂無(wú)章、相互割裂的, 相反存在著時(shí)間的先后、主次的邏輯關(guān)系且在運(yùn)動(dòng)中相互關(guān)聯(lián)[3]。也就是說(shuō)教材知識(shí)的呈現(xiàn)存在序列結(jié)構(gòu), 教材的編排序列更多是從知識(shí)體系的層面考慮, 當(dāng)然也會(huì)結(jié)合兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而實(shí)際教學(xué)時(shí), 更需要教師進(jìn)行學(xué)情調(diào)查和分析, 尤其是對(duì)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和最近發(fā)展區(qū)的分析。同時(shí), 對(duì)數(shù)學(xué)概念教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行序列化思考, 讓數(shù)學(xué)概念最大程度地與兒童認(rèn)知序列進(jìn)行匹配, 實(shí)現(xiàn)概念的理解和內(nèi)化。
教學(xué)時(shí), 教師不僅要關(guān)注知識(shí)的邏輯順序, 研究教材, 理清知識(shí)發(fā)展脈絡(luò), 更要關(guān)注兒童的認(rèn)知規(guī)律, 并將兩者有效聯(lián)結(jié)。教師在研讀教材時(shí), 要關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和連續(xù)性, 建構(gòu)能讓兒童思維自然生長(zhǎng)的知識(shí)序列, 促進(jìn)其主動(dòng)探究, 達(dá)到知識(shí)自主建構(gòu)的目的。兒童的序列或源自知識(shí)經(jīng)驗(yàn), 或源自生活體驗(yàn), 或源自活動(dòng)經(jīng)驗(yàn), 亦或是數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的遷移。只有關(guān)注兒童的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)才能理清兒童認(rèn)知序列, 找到適合兒童學(xué)習(xí)的“最佳通道”, 激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣和欲望。
在“圓的認(rèn)識(shí)”一課中, 兒童遵循著“整體-部分-整體”的認(rèn)知序列。首先是整體感知。一是從生活出發(fā)感知圓, 生活中有許多圓形的物體, 學(xué)生常常和這些圓形物體“打交道”, 勢(shì)必積累豐富的感性認(rèn)識(shí), 可能之前的認(rèn)識(shí)是散點(diǎn)狀的, 而本節(jié)課就會(huì)聚焦到圓的特征的理解上來(lái), 上升到概念的層面進(jìn)行思考和研究。二是圓與長(zhǎng)方形、平行四邊形等平面圖形的對(duì)比, 整體上感知圓的特征 (圓是由曲線圍成的平面圖形) 。其次是各部分元素認(rèn)識(shí)。先通過(guò)各種畫(huà)圓活動(dòng)分別認(rèn)識(shí)圓心、半徑、直徑等元素的含義、表示方法、性質(zhì)等等, 再通過(guò)折圓理解圓有無(wú)數(shù)條半徑和直徑, 并且同一個(gè)圓內(nèi)每一條半徑 (或直徑) 都相等, 每條直徑是半徑的2倍等特征。最后再整體感受圓的應(yīng)用價(jià)值。通過(guò)大量生活中圓形事物的研究, 組織學(xué)生討論:車輪為什么做成圓形的?為什么許多窨井蓋都是圓形的?套圈比賽站成圓形還是一字排開(kāi)公平?……學(xué)生在討論這些問(wèn)題的過(guò)程中, 再次從整體上感受圓的特征和應(yīng)用價(jià)值。
二、關(guān)聯(lián):由“碎片的點(diǎn)”走向“關(guān)聯(lián)的類”
數(shù)學(xué)是一門(mén)研究“關(guān)系”的學(xué)科。認(rèn)知心理學(xué)家布魯納認(rèn)為:“學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織, 學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何聯(lián)系的。反之, 只有抓住聯(lián)系, 才能更好地把握結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、生成意義?！盵3]元素關(guān)聯(lián)即事物的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系, 數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián), 直接觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)、關(guān)系和變化規(guī)律, 有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的探索和理解[4]。
一是畫(huà)圓活動(dòng)中體現(xiàn)元素關(guān)聯(lián)。圓的各個(gè)元素 (圓心、半徑、直徑、對(duì)稱軸……) 的學(xué)習(xí)應(yīng)該融合在學(xué)生觀圓、畫(huà)圓、折圓等活動(dòng)中, 并感受到它們之間的關(guān)聯(lián)性。比如畫(huà)圓, 在組織學(xué)生用各種方法進(jìn)行畫(huà)圓的同時(shí), 還要讓學(xué)生體會(huì)并感受圓心、半徑、直徑、對(duì)稱軸等要素之間的聯(lián)系, 進(jìn)而從整體上感知圓的特征。教學(xué)中, 筆者嘗試讓學(xué)生分別用圓形物體畫(huà)圓、用圖釘和線畫(huà)圓、用圓規(guī)畫(huà)圓、到運(yùn)動(dòng)場(chǎng)用繩子和體育器材畫(huà)圓等等, 并思考:能從不同的畫(huà)圓方法中找到共同的地方嗎?學(xué)生發(fā)現(xiàn):第一, 雖然畫(huà)圓的方法不同, 但都有固定一個(gè)點(diǎn) (圓心) , 并且圓心能確定圓的位置;第二, 無(wú)論是線的長(zhǎng)度, 還是圓規(guī)兩腳之間的距離都能夠決定圓的大小 (半徑) , 并且同一個(gè)圓內(nèi)半徑都相等 (一中同長(zhǎng)) 。學(xué)生的這些發(fā)現(xiàn)離不開(kāi)動(dòng)手操作, 更離不開(kāi)關(guān)聯(lián)性的思考。從畫(huà)圓中, 這些概念和元素自然生長(zhǎng), 自主建構(gòu)。
二是工具創(chuàng)造中感受元素關(guān)聯(lián)。為了看清數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的本來(lái)面目, 我們有必要回到起始點(diǎn), 在這條曲折的道路上再走一遍, 讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程。教學(xué)時(shí), 從學(xué)生最熟悉的作圖工具“直尺”出發(fā), 思考:這個(gè)工具能畫(huà)圓嗎?一番討論以后, 大家達(dá)成共識(shí), 直尺不能畫(huà)圓, 因?yàn)閳A是曲線圖形。追問(wèn):如何改造, 這把直尺就能畫(huà)圓了?有同學(xué)提出, 在直尺上打上兩個(gè)小孔, 加上兩支粉筆的就可以畫(huà)圓了。一只粉筆固定, 另一支粉筆旋轉(zhuǎn)一周 (圓弧) , 就可以畫(huà)出圓了。學(xué)生還發(fā)現(xiàn), 兩支粉筆之間的距離能夠決定圓的大小 (半徑) , 還可以根據(jù)需求改變兩支粉筆之間的距離畫(huà)出大小不同的圓。最后再引導(dǎo)學(xué)生把創(chuàng)造的畫(huà)圓工具和圓規(guī)進(jìn)行對(duì)比, 發(fā)現(xiàn)無(wú)論哪種工具, 都必須有“固定點(diǎn)”“兩點(diǎn)間的距離”“旋轉(zhuǎn)一周的筆尖”, 而這些分別是圓心、半徑、直徑、曲線等元素的直接體現(xiàn)。
三是折圓活動(dòng)中感悟元素關(guān)聯(lián)。課始, 出示一個(gè)正方形和一個(gè)圓形紙片, 讓學(xué)生通過(guò)折一折、比一比、畫(huà)一畫(huà)等活動(dòng), 研究這兩個(gè)圖形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。經(jīng)過(guò)研究, 學(xué)生有這樣一些發(fā)現(xiàn):第一, 正方形和圓都是平面圖形, 但正方形與圓形最大的區(qū)別是正方形有角, 而圓沒(méi)有;第二, 通過(guò)折一折, 學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓和正方形一樣都是軸對(duì)稱圖形, 但圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條, 而正方形只有四條, 感受圓的特殊性和對(duì)稱美;第三, 圓和正方形一樣對(duì)稱軸都相交于一個(gè)點(diǎn), 這個(gè)點(diǎn)位于它們的正中心, 在圓中, 這個(gè)點(diǎn)可以取名叫作“圓心”;第四, 學(xué)生還發(fā)現(xiàn)圓有無(wú)數(shù)條折痕, 進(jìn)而得出圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸, 他們還發(fā)現(xiàn)這些折痕不僅是圓里面最長(zhǎng)的線段, 而且每一條的長(zhǎng)度都相等, 直徑的認(rèn)識(shí)水到渠成;第五, 每條直徑都可以分成兩條相等的線段, 這些都是連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段, 和直徑一樣也有無(wú)數(shù)條, 并且每一條的長(zhǎng)度也相等, 在直徑的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)半徑更加自然、通透。
三、循環(huán):由“固化的知”走向“循環(huán)的智”
數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、循環(huán)上升、螺旋遞進(jìn)的過(guò)程, 循環(huán)既是對(duì)當(dāng)前知識(shí)的再度認(rèn)知, 也是對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)的心理準(zhǔn)備。循環(huán)包括知識(shí)本身的循環(huán)、學(xué)習(xí)方法的循環(huán)、實(shí)踐運(yùn)用的循環(huán)、情感價(jià)值的循環(huán)……通過(guò)循環(huán)讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)解釋與應(yīng)用, 對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸類與概括, 對(duì)方法與思想進(jìn)行提煉與內(nèi)化, 對(duì)元素與文化進(jìn)行感悟與理解, 建立完善的知識(shí)結(jié)構(gòu), 在兒童心中形成穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu), 為未來(lái)的學(xué)習(xí)作孕伏和準(zhǔn)備。
一是學(xué)習(xí)方法的循環(huán)。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都會(huì)有“近鄰”, 尤其是學(xué)習(xí)方法的遷移和循環(huán)。在認(rèn)識(shí)圓之前, 學(xué)生已經(jīng)有了豐富的平面圖形探究的方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。所以, 教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí), 教師先引導(dǎo)學(xué)生比較圓和學(xué)過(guò)圖形的異同, 并不失時(shí)機(jī)地追問(wèn):正方形有哪些特征?當(dāng)初是怎樣研究出這些特征的?正方形的這些關(guān)鍵特征都是“看得見(jiàn)”的, 圓還有很多“看不見(jiàn)”的元素和特征, 你能用量、比、折、畫(huà)等方法研究圓嗎顯然, 從“看得見(jiàn)”到“看不見(jiàn)”特征的探索又成為新的生長(zhǎng)點(diǎn)。
二是實(shí)際運(yùn)用的循環(huán)。數(shù)學(xué)知識(shí)源自生活原型, 人們從生活中抽象出數(shù)學(xué)概念、知識(shí), 形成數(shù)學(xué)模型, 最終回到生活, 解釋生活中的真實(shí)情境, 并在這個(gè)過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的價(jià)值。教學(xué)中, 教師組織學(xué)生討論圓從哪里來(lái), 體會(huì)圓與自然、各種事物、立體圖形、平面圖形的密切聯(lián)系。早期圓來(lái)源于物的描畫(huà), 如最自然的是太陽(yáng)、月亮的描畫(huà), 鉆木取火的洞口, 盛開(kāi)的鮮花的外形。圓還源自生活中物體, 如生活的球、帽、車輪, 他們的切面都是圓形, 讓學(xué)生感悟面與體的關(guān)系等等。我們的教學(xué)還需要回歸生活, 讓生活、科學(xué)與數(shù)學(xué)本質(zhì)相遇, 拓展學(xué)生探究空間, 引發(fā)思考。比如組織學(xué)生討論為什么車輪要做成圓形的?在三種車輪 (圓形、橢圓形、正方形) 的動(dòng)畫(huà)演示中, 讓學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中再一次聚焦到圓的本質(zhì), 體會(huì)到圓的“一中同長(zhǎng)”的深刻內(nèi)涵。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源自生活而又服務(wù)于生活的循環(huán)往復(fù)。
三是情感價(jià)值的循環(huán)。教學(xué)中, 教師要重視兒童的情感體驗(yàn), 重視創(chuàng)設(shè)有趣的數(shù)學(xué)情境, 激發(fā)兒童學(xué)習(xí)的外部動(dòng)機(jī)和內(nèi)在需求。課末, 組織學(xué)生交流:通過(guò)圓的探究, 你還想對(duì)它說(shuō)些什么?有人說(shuō):“那么多平面圖形中, 圓是最特別的, 因?yàn)樗乔€圖形。”有人說(shuō):“圓在生活中的應(yīng)用真廣泛啊!”有人說(shuō):“圓是最美的圖形!”還有人提出:“和其他圖形一樣, 圓的周長(zhǎng)和面積如何計(jì)算呢?”這些問(wèn)題不僅回顧了所學(xué)知識(shí), 還能有效激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探索未知的欲望, 實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的價(jià)值循環(huán)。
總之, 結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是指向?qū)W生有方向、自主性結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí), 能夠培養(yǎng)學(xué)生反思與選擇判斷的綜合能力。我們追求的不是某一知識(shí)點(diǎn)的“精耕細(xì)作”, 更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的整體思維和結(jié)構(gòu)化思維的高階能力, 使得學(xué)生的學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)科核心價(jià)值整體的關(guān)聯(lián)、動(dòng)態(tài)平衡、循環(huán)上升、協(xié)調(diào)一致。
參考文獻(xiàn)
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[3]J N.Kapur.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].王慶人, 譯.北京:北京大學(xué)出版社, 1989.
[4]席愛(ài)勇.元素關(guān)聯(lián):小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的核心[J].中小學(xué)教師培訓(xùn), 2018 (11) .
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