文字實錄
首先，我得介紹一下這個問題本身。
雖然我的論文已經(jīng)掛到aXiv上了，但還是得介紹一下：什么叫朗道-西格爾零點呢？
對于這個狄利克雷L函數(shù)，L(s,χ)的原始定義是這樣的：
分子是χ(n)這個值，分母就是n的s次方。
此時，我們只考慮s是個實數(shù)的時候，也就是說s=1的時候，它不等于0。那么s＜1的時候，就是說比1稍微小一點， 它有沒有可能等于0？
這個問題因為牽扯到很多數(shù)論的東西，所以很重要，但始終沒有人能夠解決。
只考慮L(s,χ)不等于0的情況——
如果s比1稍微小一點，這個分母是比較可控的，c是個常數(shù)
這是一個猜想，我們說這個猜想比黎曼假設要弱得多，至少是對L函數(shù)的黎曼猜想（廣義黎曼猜想）。廣義黎曼猜想是說這個S的實部大于1/2的話不等于0，但就只是很接近1的時候不等于0。
這個猜想本質(zhì)上說就是朗道-西格爾零點問題。
這個問題，就是要證明這樣的一類零點是不存在的（尤其是實零點，虛零點還容易一點）。
那么現(xiàn)在我們能做到什么程度呢？應該說本質(zhì)上我們至少證明了這樣一個東西
這個2024就像孿生素數(shù)里面的情況一樣，是可以改進的。
前兩天消息剛傳出來的時候，很多人不是做數(shù)學的，所以不理解這個朗道-西格爾零點問題解決的是什么，甚至有人以為就是證明了黎曼假設是錯的。
這個我得說一句：我可沒有這個本事（笑）。我只是在一定范圍內(nèi)部分地證明了黎曼假設應該是對的。如果說我推翻了黎曼假設，那應該是沒什么人會相信。
在這篇論文第二節(jié)的結(jié)尾，我引進了三個proposition，都是不等式。這三個不等式合在一起后，如果說朗道-西格爾零點存在的話，就可以得出一個矛盾。
而這個講起來就是一個非常非常復雜的東西，要講清楚也不容易，但是我可以講一講，這里面它的一個基本思路，講一下它最后的歸結(jié)。最后就是歸結(jié)到這樣一個事情上——
怎么會歸結(jié)到這個事情上呢？
對于一個有限的實數(shù)序列χn，怎么樣證明它并不是非負的？
這就是要去證明其中有一個（至少有一個）χn是小于0的。
說起來這個問題是什么呢？有點不著邊際。
但事實上很有意思，在數(shù)論中，特別是解析中，很多東西可以歸結(jié)到這么一個問題。
于是我們就需要發(fā)展一個技巧，來證明這個東西是不等于0的。
第一個例子，我們就說一個偶數(shù)N（一個比較大的偶數(shù)），我們用ρ(n)定義這個素數(shù)的特征函數(shù)，都是定義在正整數(shù)上。
如果n是素數(shù)，ρ(n)等于1，如果n不是素數(shù)，ρ(n)就等于0。
就可以得到
我們說這個序列會什么樣？
一般情況下，它可能等于1，也可能等于0， 但它有沒有可能是負的呢？
很明顯如果ρ(n)是負的，它必須等于-1，而且他負的充要條件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素數(shù)。這時候χn才可能是負的，正好等于-1。
很明顯，N永遠是等于n+(N-n)，也就是N就是一個素數(shù)加上另外一個素數(shù)。
就是說如果在這個序列（1＜n＜N）里，有某一個χn是小于0的話，充要條件是N是兩個素數(shù)的和。
所以哥德巴赫猜想最后就可以歸結(jié)到我們來構(gòu)建這樣一個有限序列，這里頭是不是有這么一個小于0的數(shù)？如果有的話，哥德巴赫猜想就是對的。
那么，是不是還有別的問題也是這樣呢？
其實假如我們對孿生素數(shù)猜想給出一個弱結(jié)果，那么也會是這樣的，也就是造成這么一個χn。
它這個定義也是
如果這里面有兩個是素數(shù)，那么χn就嚴格小于0；如果只有一個素數(shù)，那么就等于0；如果沒有就大于0。
所以在這樣一個序列里面，我們可以人為地把n的范圍給它確定，里面有沒有負的？這就是我們在孿生素數(shù)研究下取得的突破。我們的出發(fā)點就是這個東西。
話再說回來，怎么樣去證明某一個χn是小于0，我們就給出了一個很簡單的數(shù)列，哪怕里面有10000個數(shù)，我們也可以寫出來這里面是不是有一個是負的，這很簡單。
但我們這里考慮的都是理論性的問題，N是一個很大的數(shù)，怎么樣去定義這個東西等于0。
這是第一個例子。實際上它既包括了哥德巴赫猜想，也包括了孿生素數(shù)弱結(jié)果的研究。
第二個例子是一個純公式的例子，它跟我要做的事情是相關的。
如果有一個Assumption，我們就假定ρ(n+1)>ρn+c——
也就是說零點的間隔比c要大，那么我們也可以把它歸結(jié)成——
其中，f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。
為什么這么說呢？因為隨便一個ρn，從ρn到ρn+c之間，他一定沒有零點。而ρn+a和ρn+b一定在這段之間，因為f是連續(xù)函數(shù)，所以他們的乘積一定是大于等于0的。
所以如果我們要證明assumption是不對的，可能有零點的間隔比c要小。如果我能夠證明有一個χn是負的，只要證明它≤0，那這個assumption就錯了。
如果我想證明的話，我就得去弄。
那么究竟我們需要怎么處理這個問題呢？
要證明有限的實數(shù)序列不是非負的，里面至少有一個是嚴格小于0的，怎么去證明呢？
我們常用的處理方法是這樣：
我們找一組新的實數(shù)序列{yn}，它要滿足兩個條件。第一：yn≥0，第二個：∑xnyn＜0。只要能找到這樣一組yn，這問題就解決了。
那這里頭肯定有一項是嚴格小于0的，但yn是大于等于0，那么xn必須是小于0的。這就解決了傳統(tǒng)要去做的事情。
可是怎么去選yn呢？這就牽扯到整個篩法發(fā)展的歷史了。
最早是挪威數(shù)學家Brown在一個世紀前，應該在1917、18年的時候他找到了一組yn。這組yn的表述是很復雜的，但滿足這類條件。
然后他用這個條件能推出9+9，在當時來講是不可思議的，是一個驚人的構(gòu)造。
后來，到了20世紀40年代末，另外一個挪威數(shù)學家叫塞爾伯格，他想得就比較簡單，他說干脆我就去構(gòu)造一組實數(shù)序列zn，zn是實數(shù)就行，沒有任何限制。
然后把yn取成zn平方，于是第一個條件就自然滿足了——實數(shù)的平方必然是大于等于0的。
于是問題就變成了，能不能得出下式小于0？
這里要牽扯到孿生素數(shù)猜想最近的進步，特別是梅納德最近的貢獻（他最近得了菲爾茲數(shù)學獎）。
xn的取值與孿生數(shù)有關，我們希望這里面至少有一個是負的，然后是求和。
在我之前有三個數(shù)學家，他們找到一組zn，能夠證明這個和非常切近0，并且可以做到讓ε任意小。
但是小于0這一步他們怎么也跨不過去。
而這里的主要障礙就是，他們要用到素數(shù)在等差級數(shù)里的分布，那里頭有個限制就是有一個exponent指數(shù)，它不能超過1/2，否則余項就控制不住。
于是他們就跨在這個邊上，用他們的話來說差一根頭發(fā)絲就能跨過去了，但這個頭發(fā)絲就沒跨過去。
然后再下一步是我的工作：
我的工作從單獨意義上來講，在等差級數(shù)分布的問題上，應該是第一次突破了指數(shù)等于1/2的界限，就是說可以把這個指數(shù)取到比1/2再大一點。但我用的zn基本上還是他們引進的。
后來梅納德就把這個問題改進了一大步，他引進了一種新的zn，最后能夠證出這個孿生素數(shù)的弱形式，最后我們都是歸結(jié)到這樣一個不等式。
下面我們再回到朗道-西格爾零點，
我們也去構(gòu)造像例2中實的連續(xù)函數(shù)，如果兩個點中間沒有零點的話，它們就是同號，它們的乘積應該就是非負的。
在論文的引理2.3中，我給出了這么一個東西，那么我就是要證明這么一個事情——
如果存在朗道-西格爾零點，就推出
我想證明這個東西
是錯的，也就是說我能證明
這個里面有一個是負的話，就可以了。
我花了很長時間，去證明下面這個結(jié)果是小于0的。
我找了很多很多這樣的東西，發(fā)現(xiàn)一些非常有意思的事情：我沒能直接證明它是小于0的，但我發(fā)現(xiàn)對很多zn它接近0。
它會小于一個ε乘上一個東西，而這個ε可以盡量小，我發(fā)現(xiàn)很多這樣的zn。所以就差一點。
當孿生素數(shù)猜想出來時，有人說我是大海撈針。但實際上不太對，孿生素數(shù)實際上我沒有去撈什么針。
但是去找這個zn，我確實是在大海撈針。
我試了很多很多東西，包括用到像變分法啊，用積分方程去找最大特征根啊，最后都是有一個問題：你可以在不同角度去找zn，找出來以后都是小于一個ε乘上一個數(shù)字，但這個ε你就是跨不過去，有點像我在做孿生素數(shù)時那樣。
那最后是怎么去解決的呢？
這里我就想提到我在一開始給出的第一個公式。我的一個最初的想法，就是最關鍵的一步，我為什么能達到一個這樣的證明。
第一步，我找到兩組序列，都可以寫成是這種形式——
這兩組序列我都可以證明……（這里還是把它寫出實數(shù)形式）
這個東西我不能證明它小于0，實際上嚴格算它就是不小于0，但可以證明它非常接近于0。
同時呢，我也可以證明對于cn和dn，下面這個結(jié)果也是接近于0的。
而且呢，證明這兩個關系式雖然看起來結(jié)果是一樣的，但證明的方法是完全不一樣的，是兩種完全不同的treatment。
于是，我們又有一種方式證明這個東西接近0，但不能證明它小于0。
那么這兩組序列有沒有可能發(fā)生沖突呢？有沖突，就能給出一個矛盾。于是我就用了這樣一個關系式。
出發(fā)點我們還是假定xn大于等于0。
然后我們用這樣一個關系式，也就是一開始寫的那個。
因為這個χn是非負的，χn我們就不需要取絕對值了。
我們再用這個關系式取一個絕對值，這里可以全部都取絕對值，減號就變成加號了。
我們有這樣一個關系式，但是我們可以證明，實際上可以假定χn是非負的，我們可以用柯西不等式來估計下面這個的上界。
最后我們發(fā)現(xiàn)我們得到一個矛盾（算這個和不如用柯西不等式），我們發(fā)現(xiàn)算這個東西是不對的，左邊應該是比右邊的更大，于是用這個方式就推出矛盾來了。
大家有興趣的話可以翻譯一下我這篇文章，在第二節(jié)最后，我是用三個proposition就把它給弄下來了，然后剩下的就是去證明那三個proposition。
我們考慮一下數(shù)論的歷史，一開始我們總是有這樣的問題，要去構(gòu)造一個yn。第一個條件是，這個yn必須是非負的，或者什么樣，然后它乘以χn，加起來要小于0，要去構(gòu)造這樣一個yn。
最早是Brown在1718年 ，用默比烏斯函數(shù)的組合來構(gòu)造出這樣一個東西。
后來自從Selburg之后，yn就取成zn的平方，這個東西一直沿用下來。
當時我在做孿生素數(shù)猜想，我們也知道，yn等于zn平方，它只是一個能夠保證它大于等于0的充分條件，但不是必要條件，還有沒有別的形式 ？
有很多人想過，但目前為止沒有人想出來（yn不是這個平方的形式）。
在我在這里，似乎有一種新的辦法（更復雜），實際上我是引進了4個序列。
最后如果這些χn都是大于0，我能推出矛盾來。
今天我就先講到這兒，這個東西作為介紹性的，我也只能講得比較初等一點。
PS：如有錯誤，歡迎在留言中指正。
論文淺析
此前，張益唐教授證明朗道-西格爾零點猜想的論文已經(jīng)廣泛流傳，由于全篇涉及解析數(shù)論等硬核知識，對于廣大網(wǎng)友的理解門檻還是相當高的。
論文公布之后，來自知乎、B站、微博等媒體平臺的各路專業(yè)人士和UP主的解讀也為數(shù)不少了。
比如B站知識區(qū)UP「鈺子一」對這篇論文結(jié)論的初步解讀：
他的看法是，在假定張益唐教授的證明是正確的情況下（因為論文目前尚未經(jīng)同行評議），這篇論文確實是距離證明真正的「零點猜想」最近的一次突破性成果。
下面是真正的「朗道-西格爾零點猜想」：
注意非零域的范圍，最后一項的指數(shù)為-1。
張益唐教授這次在論文中成功證明的定理1和定理2，其中2是1的推論：
可以看到，定理2的最后一項的指數(shù)為-2024，而原始的「零點猜想」的指數(shù)為-1。
換句話說，這是目前關于朗道-西格爾零點猜想問題上，已證結(jié)論和待證的「終極目標」之間，距離最近的一次。
張益唐教授在文末表示，這個-2024的指數(shù)值，可以取得更大一些，但目前按照論文中的思路，可能取不到-1。
除了熱心網(wǎng)友的粗淺解析，來自山東大學的解析數(shù)論專家在「張益唐教授談朗道-西格爾零點猜想研究的新突破」中，也對張益唐教授這次的工作進行了專業(yè)角度的解析。
朗道-西格爾零點猜想
特別鳴謝：
普林小虎隊「千呼萬喚始出來，張益唐公布證明朗道-西格爾零點猜想的論文」
https://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA
山東大學「張益唐教授談朗道-西格爾零點猜想研究的新突破」
https://mp.weixin.qq.com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg
鈺子一科普張益唐關于朗道-西格爾零點猜想的文章！「他取得了突破性的進展，結(jié)論十分漂亮！」
https://www.bilibili.com/video/BV1y24y1f7Tg/?vd_source=eecf800392d116d832e90ad1c9ae70f6
聯(lián)系客服
