【題記】
什么是深刻？所謂深刻就是面對真問題，堅(jiān)持答案不標(biāo)新立異，而在于合情合理，這就是我眼中的深刻。一句話，簡單即深刻。
以當(dāng)下把握未來，以課程超越課堂。我們要做的是豐富學(xué)生學(xué)習(xí)過程的知識(shí)；對學(xué)生的需求里當(dāng)下的困難保持敏感性；在互動(dòng)中產(chǎn)生豐富的細(xì)節(jié)和故事；對詩和遠(yuǎn)方的追求。
德行即知識(shí)。——蘇格拉底
多年前，華應(yīng)龍老師在杭州舉辦大型公開教學(xué)活動(dòng)中執(zhí)教的是《神奇的莫比烏斯圈》，很多拿到會(huì)議材料的老師（當(dāng)然包括我）都感到詫異：這是一節(jié)什么課？莫比烏斯圈是什么？它又神奇在哪兒呢？
帶著這樣的心情，我們一同欣賞了這節(jié)課。以下是幾個(gè)實(shí)錄片斷：
片斷一：做紙圈
師：同學(xué)們喜歡看魔術(shù)嗎？今天老師就給大家表演一個(gè)小魔術(shù)。（表演）
師：怎么樣？今天我們也一起來玩一個(gè)魔術(shù)。請同學(xué)們拿出桌上的一張紙條，說說這張紙條有幾個(gè)面？幾條邊？
生：有兩個(gè)面，4條邊。
師：現(xiàn)在，我們能把它變成兩個(gè)面，兩條邊嗎？請?jiān)谛〗M中討論，并嘗試操作一下。（小組活動(dòng)后交流）
生：我們只要把這張紙條對接起來，用膠水粘好，就變成兩個(gè)面，兩條邊了。（邊說邊比劃，做成了如下圖所示的樣子）
師：請同學(xué)們摸一摸兩條邊和兩個(gè)面……這里的兩條邊有什么特點(diǎn)？兩個(gè)面是平面還是曲面呢？
生：兩條邊都變成曲線了。
生：兩個(gè)面都是曲面，一個(gè)在里面，一個(gè)在外面。
師：（又拿出一張同樣的紙條）現(xiàn)在我這里有一張同樣的紙條，我先扭一扭，旋轉(zhuǎn)180°，再對接粘貼起來（教師的操作如下圖所示）。
請同學(xué)們想一想，這里的紙圈會(huì)是幾條邊、幾個(gè)面呢？
（同學(xué)們思考片刻）
生：還是兩條邊，兩個(gè)面。
生：我想，可能是兩條邊，一個(gè)面。
生：既然老師要我們猜想，說明可能和原來完全不一樣。我想可能是一條邊、一個(gè)面吧。
（這時(shí)下面聽課的老師也禁不住撕下記錄本上的一頁紙，做成紙圈，比劃著，議論著，場上場下議論紛紛。）
師：好，現(xiàn)在請同學(xué)們跟我做一個(gè)這樣的紙圈，然后沿著它的曲面的中線位置用筆畫一條線，請大家試試，你發(fā)現(xiàn)什么啦？
（同學(xué)們做成莫比烏斯圈，并沿著中線畫線）
生：我發(fā)現(xiàn)這條線一直畫下去，與起點(diǎn)匯合了，說明它只有一個(gè)面。
生：我還發(fā)現(xiàn)我把這個(gè)紙圈的邊上做了一個(gè)記號(hào)，并從這個(gè)記號(hào)開始一直用手摸下去，繞了一圈又到了做記號(hào)的地方，說明這個(gè)紙圈只有一條邊。
師：為什么這個(gè)紙圈會(huì)變成一條邊、一個(gè)面呢？
生：因?yàn)榘鸭垪l扭轉(zhuǎn)180°后，兩條邊對接上了，正反兩個(gè)面也連在一起了。
師：對!我們把原來沒有扭轉(zhuǎn)而對接起來的曲面叫做雙側(cè)面。而把這種扭轉(zhuǎn)后對接的曲面叫做單側(cè)面，這種單側(cè)面的紙圈，叫做“莫比烏斯圈”，是由法國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的。你可別小瞧這個(gè)紙圈，它的奇妙之處可不少喲。下面就一起來研究……
片斷二：剪紙圈
師：現(xiàn)在，如果用剪刀沿莫比烏斯圈的中線剪開，猜一猜將變成什么樣呢？
生：我想它會(huì)變成兩個(gè)紙圈吧。
生：可能會(huì)變得一張長紙條了。
生：我想也是兩個(gè)紙圈，而且兩個(gè)紙圈套在一起。
生：是一個(gè)紙圈。
師：同學(xué)們很積極地進(jìn)行猜想，值得表揚(yáng)?，F(xiàn)在大家一起剪一剪，看看到底是什么樣子？
（學(xué)生早已躍躍欲試了，迫不及待地開始剪起來。下面的聽課老師也饒有興趣地嘗試著。））
師：發(fā)現(xiàn)了什么？有什么感受？
生：我猜對了！原來真是變成了一個(gè)更大的紙圈！
生：不可思議，怎么會(huì)是這樣的呢？！
……
師：好玩吧，還有更奇妙的呢。大家想不想試一試？
生：老師，快說吧，怎么玩呢？
師：好，今天我們就來上一堂瘋狂的數(shù)學(xué)課！現(xiàn)在同學(xué)們的桌子還有一個(gè)紙條，現(xiàn)在我們把它沿縱向三等分，并把中間的一格涂上不同的顏色。（如下圖）
然后像剛才一樣，把它做成一個(gè)“莫比烏斯圈”。如果沿著它的其中一條等分線剪開，請你們猜一猜，要剪幾次？結(jié)果會(huì)是怎樣的呢？
……
（同學(xué)們又一次被激發(fā)，結(jié)果變成了大小兩個(gè)紙圈，而且套在一起！意料之外，匪夷所思！?。⊥瑢W(xué)們始終沉浸在猜想與探求的快樂中，并數(shù)學(xué)的神奇魔力深深吸引著，不知不覺一堂課就這樣過去了。）
數(shù)學(xué)課原來可以這樣上！這是我聽完課的第一感受。
這是一堂不同尋常的課！整堂課中，學(xué)生在“猜想―驗(yàn)證―驚奇―猜想―驗(yàn)證－驚奇……”中一次又一次感受著數(shù)學(xué)的神奇魅力。
這是一次大膽的嘗試！把這樣的內(nèi)容設(shè)計(jì)成一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課，我佩服華老師敢于挑戰(zhàn)新課程、新課堂、新教學(xué)的勇氣!
英國教育家帕梅拉．利伯克所說：“人們偏愛數(shù)學(xué)是因?yàn)樗浅Ｓ杏?，然而更重要是，對于我們特別是對于孩子來說其吸引力在于智力或美學(xué)上的滿足?！?/span>
學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在智力上或美學(xué)上真正理解了數(shù)學(xué)，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)，保持對數(shù)學(xué)的濃烈興趣，不斷增強(qiáng)學(xué)習(xí)探索的內(nèi)驅(qū)力。整堂課中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)了，我們可以試想一下，學(xué)生感興趣了，有欲罷不能的探求欲望了，我們還用發(fā)愁學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)，在課堂沒有什么收獲嗎？
于是我想說：“沒有學(xué)不好的學(xué)生，只有不好的教學(xué)設(shè)計(jì)！”
透過這堂課，它還告訴我們這樣的信息；新課程、新教學(xué)、新課堂對教師提出了更高的要求，要求教師們廣聞博覽，用文化學(xué)的思想來觀照數(shù)學(xué)教學(xué)，以心理學(xué)的思想來把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，用“以人為本”的教育理念重視審視課堂，同時(shí)又要與新課程理念相吻合，這樣才能設(shè)計(jì)出令學(xué)生喜歡、驚奇的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，讓學(xué)生徜徉其中，收獲多多。
由于對此課比較感興趣，禁不住它的誘惑，我就華老師的教學(xué)進(jìn)行一些小的改進(jìn)和充實(shí)，并進(jìn)行了教學(xué)嘗試。
我改進(jìn)的部分有開始部分、中間部分和結(jié)尾部分。開始部分是這樣的：
①把那個(gè)長紙條的兩面分別分成12個(gè)格子，正面從左到右依次寫上：“從前有座山，山上有座廟，”。
②保持紙條下沿不離開桌面，手持紙條上沿將它從上面翻下來，在它的背面依次寫：“廟里有個(gè)老和尚，他在講：”。如下圖：
正面：
背面：
③把這張紙條扭轉(zhuǎn)180°，然后首尾對接，粘成莫比烏斯圈。如下圖：
④把紙圈套在右手的食指上，向左邊捋一捋，念一念，就成了：
“從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)老和尚，他在講：從前有座山，山上有座廟……”
師：請告訴我,你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：我發(fā)現(xiàn)：順著紙條上的字念下去，永遠(yuǎn)也念不完。
師：這說明什么？
生：這說明原來紙條的正面和反面連接起來了，就成了一個(gè)面！
師：對，以上所做的這個(gè)紙圈，是數(shù)學(xué)家名字命名的“莫比烏斯圈”?？蓜e小看這個(gè)小小的紙帶，雖然制作起來十分簡單，卻奇特得叫人不可思議。例如，放一只螞蟻到紙帶上，讓它沿著圖中紙帶上所寫字的路線爬行（不經(jīng)過紙的邊沿），這只螞蟻就可以一起爬遍紙帶的兩個(gè)面，而在普遍的沒有旋轉(zhuǎn)180度而粘貼的紙帶上是不可能做到的。現(xiàn)在卻可以輕而易舉地做到了。請同學(xué)們重新做一個(gè)“莫比烏斯圈”，拿起筆，用筆尖代表螞蟻，先在紙圈上做一個(gè)記號(hào)，再沿著紙圈的中線一直畫下去，畫完后告訴老師，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：（操作后）我發(fā)現(xiàn)螞蟻兜了一圈，又回到了原來做記號(hào)的地方，也就是起點(diǎn)。
師：如果沿著這條中線剪下來，又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么奇妙之處呢？請同學(xué)們先猜想一下，再剪一剪……
中間部分我補(bǔ)充了一個(gè)探究性操作：
按下圖一在紙上剪下兩個(gè)十字形，紙帶寬約3厘米，長可15厘米左右，再在十字上分別畫上兩條虛線，并在有陰影的部分涂上膠水。然后，把兩個(gè)十字形分別粘成圖二、圖三形狀。注意圖三中有一個(gè)紙圈扭了180°。如果把它們沿虛線剪開，想想看會(huì)是 什么樣子，然后再剪剪看。
結(jié)束部分，華老師讓學(xué)生說說“莫比烏斯圈”在日常生活中有哪些應(yīng)用，同學(xué)們在課堂上說了不少，如有學(xué)生說可以利用它來做過山車，這樣兜了一圈又會(huì)回到起點(diǎn)了；有的說……最后是華老師介紹了中國科學(xué)院門前的三葉結(jié)。
我要補(bǔ)充的是——
現(xiàn)在，這一成果已經(jīng)在科技上得到了應(yīng)用。如有一種電腦打印機(jī)（如AR－3200＋）用來打印文稿的色帶就是根據(jù)這一原理做成的，這種色帶是經(jīng)過180度旋轉(zhuǎn)后進(jìn)行對接，這樣可以使色帶在打印中兩面都得到充分利用，從而成倍地延長其使用壽命，大大節(jié)省了耗材（用實(shí)物投影儀展示的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，突出顯示扭轉(zhuǎn)對接的部分）。你看它的設(shè)計(jì)多么巧妙?。?/span>
有興趣的同學(xué)可以自行猜想“莫比烏斯圈”的用途，再大膽設(shè)計(jì)，說不定還可以申請到專利呢。（本文曾發(fā)表于國家級刊物《中小學(xué)教材教學(xué)》）
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