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0 引言

結(jié)構(gòu)的可靠性往往與時間密切相關(guān)，主要涉及強度退化、累積損傷等因素，近年來國內(nèi)外學(xué)者紛紛從概率、模糊及非概率的角度揭示其演變過程。王新剛等[1]研究了變幅隨機載荷和強度退化下結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠性問題。秦大同等[2]建立隨機風(fēng)引起的系統(tǒng)外部載荷激勵作用下的風(fēng)力發(fā)電機傳動系的動態(tài)可靠性模型。方永鋒等[3]運用Turkstra方法分析了4種隨機應(yīng)力組合作用，以及結(jié)構(gòu)強度不退化和退化下的動態(tài)可靠性。徐芳等[4]對外部隨機風(fēng)載、內(nèi)部齒輪時變嚙合剛度、軸承時變剛度及綜合傳遞誤差等耦合進(jìn)行研究，并得出失效相關(guān)性和強度退化對可靠度的影響規(guī)律。HAJIALIZADEH等[5]研究了載荷的空間以及剩余強度變化下橋梁的動態(tài)可靠性評估。王磊等[6]將模糊變量進(jìn)行等概率當(dāng)量轉(zhuǎn)換，建立了模糊動態(tài)可靠性分析模型。高明君等[7]提出了一種模糊動態(tài)可靠性的建模方法。概率或模糊動態(tài)可靠性模型的求解主要基于Monte Carlo方法、靜態(tài)轉(zhuǎn)換和跨越率方法。張宇貽等[8]運用Monte Carlo方法計算了平穩(wěn)二項動載和隨機恒載聯(lián)合作用下的時變可靠度。HU等[9]對時變可靠度問題進(jìn)行時不變轉(zhuǎn)換和求解，提高了計算效率。MOURELATOS等[10]結(jié)合隨機振動理論、總概率定理及使用向上跨越和接合點向上跨越率積分方程進(jìn)行振動梁的動態(tài)可靠性研究。

概率或模糊方法均需依賴大量的原始數(shù)據(jù)。工程實際中往往難以獲得參數(shù)的精確值，但其界限較易確定。近年來，區(qū)間方法成為處理有界不確定問題的有效途徑。姜潮等[11]針對概率與區(qū)間混合不確定問題，構(gòu)造一種含區(qū)間變量的動態(tài)可靠性分析方法。魏宗平等[12]提出了隨載荷作用次數(shù)而變化的區(qū)間動態(tài)可靠性指標(biāo)計算方法。方永鋒等[13]研究了階梯型、等幅交變型和任意時變型三種載荷作用下結(jié)構(gòu)的區(qū)間動態(tài)可靠性。張德權(quán)等[14]基于PHI2提出了一種求解算法，可獲得設(shè)計周期內(nèi)的可靠性區(qū)間。

考慮到可靠性隨載荷作用次數(shù)的影響，人們進(jìn)行了進(jìn)一步研究。方永鋒等[15]對多次區(qū)間載荷進(jìn)行當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化處理，將區(qū)間隨機可靠性問題轉(zhuǎn)化為隨機可靠性問題求解。王正等[16]運用概率微分方程和全概率公式建立了隨機載荷反復(fù)作用下的動態(tài)可靠性模型，為準(zhǔn)確評估可靠性提供了方法，但計算的是最大載荷下的可靠度。以上研究均未考慮不同級別的載荷作用次序而導(dǎo)致的非線性疲勞損傷對可靠性影響的差異，因此預(yù)測結(jié)果存在較大誤差[17]。

本文在現(xiàn)有動態(tài)可靠性理論的基礎(chǔ)上，研究不同級別載荷的不同作用次序而導(dǎo)致不同疲勞累積損傷的等效轉(zhuǎn)化問題，為多級載荷累積損傷下結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠性分析提供模型和方法。

1 剩余強度的描述及其退化模型

當(dāng)強度指標(biāo)(如疲勞強度)在載荷作用的整個過程中不斷變化時，系統(tǒng)的可靠性建模應(yīng)當(dāng)考慮強度退化的影響。以疲勞失效問題為例，強度指標(biāo)隨著載荷作用次數(shù)的增加而逐漸減小，即剩余強度不斷減小。通常，強度退化與載荷幅值、作用次數(shù)以及加載順序等因素有關(guān)。

材料的強度在實際工作中有一個隨時間或載荷作用次數(shù)的增加而下降的非線性過程，即強度退化過程。剩余強度不僅與結(jié)構(gòu)服役的時刻t有關(guān)，還與加載的應(yīng)力水平有關(guān)，即

r(t)=f(t,sp,R) 0≤t≤T

(1)

式中,T為服役周期(周期壽命)；r(t)為結(jié)構(gòu)在t時刻的剩余強度，r(0)表示t=0時刻結(jié)構(gòu)的強度即初始強度，r(T)表示結(jié)構(gòu)服役周期T時刻的強度；sp為疲勞應(yīng)力峰值；R為載荷的應(yīng)力比。

載荷應(yīng)力比R即為工作應(yīng)力的最小值smin與最大值smax之比，其表達(dá)式如下：

(2)

載荷應(yīng)力比R與服役周期T直接相關(guān)。當(dāng)實際載荷的應(yīng)力比變化時，根據(jù)Goodman疲勞極限圖將實際載荷轉(zhuǎn)化為實驗載荷，再用實驗s-N曲線進(jìn)行疲勞壽命評估。載荷應(yīng)力比R對材料的強度退化系數(shù)γ(γ>0)也產(chǎn)生直接影響，姚衛(wèi)星[18]對相同材料在不同載荷應(yīng)力比R下強度退化系數(shù)γ的變化情況進(jìn)行了研究。顯然，載荷應(yīng)力比R對剩余強度的影響可納入服役周期T及材料強度退化系數(shù)γ兩個參數(shù)中。

根據(jù)熱力學(xué)的觀點，損傷是不可逆的，對疲勞過程中強度的退化模型來說，剩余強度是單調(diào)遞減的函數(shù)。SCHAFF等[19]提出在常幅載荷作用下，剩余強度按冪指數(shù)規(guī)律變化，其關(guān)系表達(dá)式如下：

(3)

對于不同材料，其剩余強度退化規(guī)律不同，強度退化系數(shù)γ的取值就存在差異。當(dāng)γ取不同值時，剩余強度曲線也不同，如圖1所示。由圖1可以看出，當(dāng)γ=1時，式(3)退化成線性規(guī)律形式；當(dāng)γ>1時，r(t)呈現(xiàn)開始階段退化較慢，后期迅速下降的特點；當(dāng)γ→∞時，r(t)退化成折線式規(guī)律形式。對于金屬材料，從疲勞機理上看，在疲勞加載初期，元件在疲勞載荷作用下產(chǎn)生的缺陷如位錯、滑移、空洞等對元件強度的影響較小，剩余強度衰減得較慢，但在后期其缺陷如裂紋將使元件強度迅速減小，從而產(chǎn)生破壞現(xiàn)象,故金屬材料的強度退化系數(shù)γ>1。

2 多級載荷下疲勞損傷累積規(guī)律與剩余強度

累積損傷規(guī)律是疲勞研究中的關(guān)鍵問題之一。線性疲勞累積損傷理論認(rèn)為，對于任一應(yīng)力水平，不論在壽命的前期或后期，每次循環(huán)的疲勞損傷量應(yīng)是相等的。但事實上，疲勞損傷不是線性的，要想較好地反映結(jié)構(gòu)件的真實可靠性，需合理考慮非線性疲勞損傷累積規(guī)律。

有限壽命設(shè)計法主要基于疲勞累積損傷理論?？梢宰C明，式(3)必定滿足下列兩個邊界條件：

r(0)=σb

(4)

r(T)=sp

(5)

式中，σb為材料的靜拉伸強度。

由損傷的物理含義，可將強度的退化量

與材料的初始強度r(0)之比定義為結(jié)構(gòu)服役時間t后的疲勞損傷量，即

(6)

可以驗證：

D(0)=0

(7)

(8)

可見上述定義符合損傷的一般意義,能夠反映損傷演化的非線性特性。

圖2中，OA和OBC分別為在應(yīng)力峰值sp1和sp2作用下，材料發(fā)生的損傷量隨作用時間的變化曲線，其對應(yīng)的服役周期分別為T1和T2。對于金屬材料，當(dāng)sp1>sp2時，T1T2(圖2a)。圖2a中,曲線OABC表示高-低載荷順序下材料產(chǎn)生的疲勞損傷量隨時間的變化情況，材料先在sp1下作用時間t1(對應(yīng)曲線OA)，此時材料剩余壽命為T1-t1，然后應(yīng)力峰值由sp1變換到sp2(對應(yīng)曲線AB，即應(yīng)力峰值由大變小),材料再在sp2下作用時間t2后斷裂。AB為一水平線段，即疲勞損傷量相等。而曲線OB表示材料在sp2下作用時間從0增加到T2-t2的過程中所產(chǎn)生疲勞損傷量的變化情況。當(dāng)作用時間達(dá)到T2-t2時，剩余壽命為t2。圖2b中,曲線OABC表示的材料產(chǎn)生疲勞損傷量情況，與上述情況類似，不同之處在于載荷變換順序造成了損傷速率差異。

由圖2可以看出，材料在sp1下作用時間t1和在sp2下作用時間T2-t2的疲勞損傷量相等。根據(jù)式(8)可得

(9)

可簡化為

(10)

金屬材料的強度退化系數(shù)γ>1，同時又有

根據(jù)式(10)可知，對于同一種金屬材料，在r(0)相同且相同的情況下，要使較大的sp對應(yīng)的強度退化量較大，則需要所對應(yīng)的強度退化系數(shù)γ較小，反之則較大，即當(dāng)sp1>sp2時，有γ1γ2;而當(dāng)sp1sp2時，γ1>γ2。下面對高-低順序加載和低-高順序加載兩種情形進(jìn)行討論。

(1)高-低順序加載時，有sp1>sp2，γ1γ2,故

(11)

結(jié)合式(10)，則

(12)

故

(13)

因為γ2>1，所以

即

(14)

顯然，高-低順序加載時，在二級加載下，有

上述推導(dǎo)可任意推廣，對于高-低載荷順序，均有即金屬材料按照高-低順序加載時壽命比的累積和小于1。說明在高-低加載時存在“過載效應(yīng)”，最初施加的高載荷導(dǎo)致材料的疲勞強度減小，使得后續(xù)施加低載荷造成的損傷加劇，故不同加載順序?qū)κＳ嗥趶姸犬a(chǎn)生影響。

(2)同理，低-高順序加載時，在二級加載下，有

同理，上述推導(dǎo)也可任意推廣，因此對于低-高載荷順序，均有即金屬材料按照低-高順序加載時壽命比的累積和大于1。說明在低-高順序加載下，由于低應(yīng)力的鍛煉作用，產(chǎn)生了低載強化效果，因此載荷作用的次序?qū)Y(jié)構(gòu)疲勞強度會產(chǎn)生影響。這個結(jié)論適用于兩級或多級加載時，滿足高-低加載的壽命比累積和小于1，而低-高加載的壽命比累積和大于1的原則，且與文獻(xiàn)[18,20]中的結(jié)論一致。

假設(shè)結(jié)構(gòu)承受兩級載荷，在一級應(yīng)力sp1作用時間t1后，根據(jù)疲勞損傷量等效等值壽命原則，可換算成二級應(yīng)力sp2的等效作用時間t21，推導(dǎo)如下：

因為

所以

(15)

顯然，結(jié)構(gòu)受一級應(yīng)力和二級應(yīng)力作用之后，產(chǎn)生的損傷量等效于原結(jié)構(gòu)在二級應(yīng)力下連續(xù)作用時間t21+t2產(chǎn)生的總損傷量，即

(16)

則結(jié)構(gòu)受一級應(yīng)力和二級應(yīng)力作用之后，轉(zhuǎn)化為二級應(yīng)力下的剩余壽命為

(17)

在二級應(yīng)力下作用時間t2后，根據(jù)疲勞損傷量等效等值壽命原則，可換算成三級應(yīng)力的等效作用時間t32，推導(dǎo)如下：

因為

所以

(18)

同理，可推算出第i級應(yīng)力spi的等效作用時間ti(i-1)為

(19)

i=1,2,…，n

式中，ti-1為第i-1級應(yīng)力sp(i-1)的等效作用時間;t(i-1)(i-2)為第i-1級應(yīng)力的等效作用時間;Ti-1為結(jié)構(gòu)在應(yīng)力sp(i-1)作用下的生命周期。

根據(jù)式(3)，可計算出第i級應(yīng)力的等效作用時間下的剩余強度為

(20)

同理，根據(jù)式(3)，也可計算出整個多級加載過程等效作用下(第i級應(yīng)力spi下連續(xù)作用時間

=ti(i-1)+ti)產(chǎn)生的總損傷和總剩余強度分別為

(21)

(22)

3 基于區(qū)間分析的動態(tài)非概率可靠性指標(biāo)

設(shè)T是結(jié)構(gòu)的服役周期，以t表示結(jié)構(gòu)服役的時刻，t∈[0,T]。x={x1,x2,…,xn}表示與結(jié)構(gòu)有關(guān)(如結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、物理參數(shù)、作用載荷等)的變量的集合。將實數(shù)集R上區(qū)間數(shù)的全體記為I，當(dāng)x以區(qū)間的形式表達(dá)，

在實際服役過程中，受結(jié)構(gòu)自身的材料性能、使用時間、荷載效應(yīng)以及所處環(huán)境等因素影響，強度r和應(yīng)力s都是一個動態(tài)的過程，隨時間與結(jié)構(gòu)參數(shù)變化，且強度和應(yīng)力為區(qū)間變量，同時因強度和應(yīng)力還隨著疲勞載荷作用的次數(shù)或時間而變化，故強度和應(yīng)力的區(qū)間范圍也在不斷變化。強度r和應(yīng)力s可表示為t與x的函數(shù)：

r=r(x,t)∈rI(x,t)=[rl(x,t),ru(x,t)]

(23)

s=s(x,t)∈sI(x,t)=[sl(x,t),su(x,t)]

(24)

式中,ru(x,t)、rl(x,t)、su(x,t)、sl(x,t)分別表示結(jié)構(gòu)時變強度r(x,t)和時變應(yīng)力s(x,t)的上下界。

圖3所示為考慮結(jié)構(gòu)抗力與荷載效應(yīng)的時變性，用區(qū)間模型來描述不確定性變量的結(jié)構(gòu)時變非概率可靠性分析的輸入和輸出過程。

當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)荷載效應(yīng)與抗力的時變性時，基于應(yīng)力-強度干涉理論，以應(yīng)力極限狀態(tài)表示的結(jié)構(gòu)動態(tài)功能函數(shù)為

M=f(x,t)=g(r(x,t),s(x,t))=r(x,t)-s(x,t)

(25)

由區(qū)間非概率可靠性定義式，可推導(dǎo)得出在t時刻結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)即M>0的非概率可靠性指標(biāo)為

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中，rc(x,t)、rr(x,t)分別為時變強度區(qū)間變量的中心和半徑；sc(x,t)、sr(x,t)分別為時變應(yīng)力區(qū)間變量的中心和半徑。

當(dāng)僅考慮強度隨作用時間衰減時，時變強度r(x,t)可以用r(t)代替,式(26)可簡化為

(31)

根據(jù)SCHAFF等[19]提出的強度退化模型(式(3))，設(shè)結(jié)構(gòu)的初始強度r(0)的變化區(qū)間為[rl(0),ru(0)]，載荷應(yīng)力峰值sp的變化區(qū)間為

則結(jié)構(gòu)剩余強度的變化區(qū)間為

(32)

結(jié)構(gòu)剩余強度的中心和半徑分別為

(33)

式中,rc(0)、rr(0)分別為初始強度區(qū)間變量的中心和半徑

分別為載荷應(yīng)力峰值區(qū)間變量的中心和半徑。

則非概率可靠性指標(biāo)η為

(34)

當(dāng)γ→∞時，

sp，則結(jié)構(gòu)動態(tài)功能函數(shù)式(25)可表示為

M=sp-s(x,t)

(35)

在t時刻結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)即M>0的非概率可靠性指標(biāo)η為可表示為

(36)

根據(jù)非概率可靠性指標(biāo)的概念[21]，η的值越大，結(jié)構(gòu)安全程度越高。當(dāng)η>1時，結(jié)構(gòu)安全可靠；當(dāng)η<>η<>η為1和-1時，結(jié)構(gòu)分別處于必定安全可靠和必定失效的臨界狀態(tài)。

4 多級載荷作用下結(jié)構(gòu)動態(tài)非概率可靠性

預(yù)測模型

考慮結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)承受的區(qū)間多級載荷，設(shè)第i級載荷作用時間ti內(nèi)的載荷應(yīng)力峰值spi(i=1,2,…,m)為區(qū)間變量，其變化區(qū)間為

基于應(yīng)力-強度干涉理論，以應(yīng)力極限狀態(tài)表示的結(jié)構(gòu)在ti時刻的動態(tài)功能函數(shù)為

M=g(r(x,t),s(x,t))=r(x,t)-s(t)=
r(ti(i-1)+ti)-spi

(37)

(38)

因為

=ti(i-1)+ti，將式(38)代入式(37)，則M可表示為

(39)

則非概率可靠性為

(40)

式中,rc(

)、rr()分別為第i級應(yīng)力的等效作用下強度區(qū)間的中心與半徑分別第i級應(yīng)力峰值區(qū)間的中心和半徑。

5 算例

算例研究材料為45鋼拉伸樣件在三級載荷作用下的疲勞拉伸動態(tài)可靠性。為便于對本文提出的多級載荷作用下結(jié)構(gòu)動態(tài)非概率可靠性預(yù)測模型與方法進(jìn)行對比分析與評估，選用文獻(xiàn)[18,22]中部分?jǐn)?shù)據(jù)，對結(jié)構(gòu)在一、二、三級載荷下的服役周期T1、T2、T3的區(qū)間寬度進(jìn)行設(shè)置，根據(jù)“常見通用設(shè)備經(jīng)濟(jì)壽命參考年限表”中經(jīng)濟(jì)壽命上下界關(guān)系[23]，區(qū)間上界值約為下界值的125%。具體如下：r(0)=[791.92,875.28]MPa，先在第一級載荷應(yīng)力區(qū)間[301.15,332.85]MPa下作用t1=640次循環(huán)，T1=[29 025,35 722]，γ1=4.092。再在第二級載荷應(yīng)力區(qū)間[285,315]MPa下作用t2=1 000次循環(huán)，T2=[64 116,80 812]，γ2=4.121。最后在第三級載荷應(yīng)力區(qū)間[264.1,291.9]MPa下作用t3=6 000,18 000,30 000,42 000,54 000,66 000次循環(huán)，直至達(dá)到安全臨界狀態(tài)，T3=[145 971,185 607]，γ3=4.186。

5.1 第一級載荷作用

根據(jù)式(6)，在第一級載荷應(yīng)力區(qū)間[301.15,332.85]MPa下作用t1=640次循環(huán)，產(chǎn)生損傷量：

[3.732 6×10-8，1.206 6×10-7]

(41)

則在第一級載荷作用時間t1=640次循環(huán)后，剩余強度為

r(0)×(1-D(t1))=[791.919 9,875.280 0]

(42)

由式(27)～式(30)，計算可得rc(t1)=833.599 9、sc(x,t)=317，rr(t1)=41.680 0、sr(x,t)=15.85，根據(jù)式(26)，非概率可靠性指標(biāo)為

η=8.979 7

(43)

5.2 第二級載荷作用

根據(jù)式(15)，將一級應(yīng)力sp1作用時間t1等效換算成二級應(yīng)力sp2的等效作用時間t21：

t21=[1 111.8,1 899.7]

(44)

本文計算的區(qū)間結(jié)果t21=[1 111.8,1 899.7]，該區(qū)間上下界的幾何平均數(shù)為1 453.3。而文獻(xiàn)[22]模型計算的t21=1 454次。顯然1 454∈[1 111.8,1 899.7]，且1 454與1 453.3非常接近，證明了本文區(qū)間模型的正確性。從區(qū)間寬度來看，參考統(tǒng)計學(xué)區(qū)間估計的計算，若對于樣本均值為1 454、標(biāo)準(zhǔn)差為100的樣本，要求置信度達(dá)到99.87%，則對應(yīng)的區(qū)間估計值為[1 154,1 754]，與本文運算的區(qū)間[1 111.8,1 899.7]接近程度在可接受的范圍之內(nèi)，表明本文運算的區(qū)間精確度可接受，在工程應(yīng)用中有切實的指導(dǎo)價值。

顯然，結(jié)構(gòu)受一級應(yīng)力和二級應(yīng)力作用之后，產(chǎn)生的損傷量等效于原結(jié)構(gòu)在二級應(yīng)力sp2下連續(xù)作用時間t21+t2產(chǎn)生的損傷量，即總時間為

=t21+t2=[2 111.8,2 899.7]

(45)

(46)

即

[0.029 8,0.039 3]

(47)

此時，

的均值為的均值為的均值小于的均值,印證了前面所述的在高-低加載時存在“過載效應(yīng)”，即最初施加的高載荷導(dǎo)致材料的疲勞強度減小，加劇了后續(xù)施加低載荷造成的損傷，也就是說在不同加載順序時結(jié)構(gòu)剩余疲勞強度的大小將會產(chǎn)生影響。

結(jié)構(gòu)受一級應(yīng)力和二級應(yīng)力作用之后，產(chǎn)生的總損傷量為

[1.688 5×10-7,2.144 0×10-6]

(48)

剩余強度為

r(

)=r(0)(1-D())=[791.918 3,875.279 9]

(49)

由式(27)～式(30)計算可得

根據(jù)式(40)，結(jié)構(gòu)受一級應(yīng)力和二級應(yīng)力作用之后的非概率可靠性指標(biāo)為

(50)

5.3 第三級載荷作用

第三級載荷[264.1,291.9]MPa，T3=[145 971,185 607]，γ3=4.186。根據(jù)式(18)，可得三級應(yīng)力等效作用時間t32：

[3 833.8，9 163.8]

(51)

本文計算的區(qū)間結(jié)果t32=[3 833.8,916 3.8]，該區(qū)間上下界的幾何平均數(shù)為5 927.24。而文獻(xiàn)[22]模型計算的t21=5 878次。顯然5 878∈[3 833.8,9 163.8]，且5 878與5 927.24非常接近，證明了本文區(qū)間模型的正確性。從區(qū)間寬度來看，參考統(tǒng)計學(xué)區(qū)間估計的計算，若對于樣本均值為5 878、標(biāo)準(zhǔn)差為570的樣本，要求置信度達(dá)到99.98%，則對應(yīng)的區(qū)間估計值為[3 826,7 930]，與本文運算的區(qū)間[3 833.8,9 163.8]接近程度在可接受的范圍之內(nèi)，表明本文運算的區(qū)間精確度可以接受，在工程應(yīng)用中有切實的指導(dǎo)價值。

當(dāng)t3=6 000時

=t32+t3=[9 833.8，15 163.8]

(52)

(53)

[0.058 6,0.090 5]

(54)

此時，

的均值為的均值為的均值小于的均值,進(jìn)一步印證了前面所述的在高-低加載時存在“過載效應(yīng)”，即不同加載順序下對結(jié)構(gòu)造成的損傷量是不同的。

結(jié)構(gòu)受一、二級應(yīng)力和三級應(yīng)力作用之后，產(chǎn)生的總損傷量為

[2.606 4×10-6,5.898 3×10-5]

(55)

剩余強度為

r(

)=r(0)(1-D())=[791.873 3,875.277 7]

(56)

由式(27)～式(30)，計算可得

根據(jù)式(40)，結(jié)構(gòu)受一、二、三級應(yīng)力作用之后的非概率可靠性指標(biāo)為

(57)

同理，計算出t3=18 000，30 000，42 000，54 000，66 000次循環(huán)直至達(dá)到安全臨界狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)受一、二、三級應(yīng)力作用之后的非概率可靠性指標(biāo)。結(jié)構(gòu)受多級載荷應(yīng)力作用下指標(biāo)的變化情況見表1。圖4所示為本文算法與文獻(xiàn)[22]算法的剩余強度值對比。

由表1和圖4可以看出，本文算法與文獻(xiàn)[22]算法的結(jié)果接近，文獻(xiàn)[22]算法的結(jié)果均處于本文運算的區(qū)間內(nèi)，證明了在進(jìn)行多級載荷累積損傷下結(jié)構(gòu)的剩余強度計算中，用區(qū)間數(shù)表達(dá)變量，經(jīng)區(qū)間運算以獲得區(qū)間范圍，包含了計算結(jié)果所有可能的取值，這正是區(qū)間數(shù)學(xué)的特點之一。同時還可發(fā)現(xiàn)本文算法所得剩余強度均值略大于文獻(xiàn)[22]算法的結(jié)果，表明文獻(xiàn)[22]算法相對本文區(qū)間算法更偏于保守。

圖5所示為直接運算與等效轉(zhuǎn)化計算的壽命比累積和對比。由表1和圖5可以看出，在高-低加載順序下，等效轉(zhuǎn)化計算所得壽命比累積和(ti(i-1)+ti)/Ti的均值大于直接運算所得壽命比累積和

且等效轉(zhuǎn)化所得壽命比累積和區(qū)間包含了直接運算所得壽命比累積和區(qū)間，表明采用高-低加載順序時，等效轉(zhuǎn)化運算對剩余壽命的預(yù)測將更偏于保守。

圖6所示為本文計算的非概率動態(tài)可靠性指標(biāo)與文獻(xiàn)[22]計算的可靠度對比。由表1和圖6可知，本文計算的非概率動態(tài)可靠性指標(biāo)與文獻(xiàn)[22]計算的可靠度，在第三級載荷作用下，均隨著作用時間的推移呈減小趨勢。由于兩者的度量尺度不同(文獻(xiàn)[22]是基于剩余強度滿足正態(tài)分布的假設(shè)，根據(jù)一次二階矩法計算出結(jié)構(gòu)元件的疲勞可靠度)，無法直接比較,但仍然可以對兩個結(jié)果進(jìn)行對比分析，了解不同度量尺度下對結(jié)構(gòu)可靠度的判斷以及疲勞可靠度隨時間推移變化趨勢上的差異。本文計算的非概率動態(tài)可靠性指標(biāo)反映出，在第三級載荷作用時間達(dá)到129 972次循環(huán)時，非概率可靠性指標(biāo)η=1，疲勞試樣件處于安全臨界狀態(tài)；當(dāng)載荷作用時間小于129 972次循環(huán)時，結(jié)構(gòu)處于絕對安全狀態(tài)。由文獻(xiàn)[22]計算的可靠度結(jié)果可知，當(dāng)?shù)谌壿d荷作用時間小于90 000次循環(huán)時，結(jié)構(gòu)的可靠度達(dá)到1.00，結(jié)構(gòu)處于絕對安全狀態(tài)；而當(dāng)載荷作用時間大于90 000次循環(huán)時，結(jié)構(gòu)的可靠度持續(xù)減小，在載荷作用時間達(dá)到129 972次循環(huán)時，可靠度僅為0.85，這也印證了文獻(xiàn)[22]的算法對結(jié)構(gòu)的可靠度判斷偏于保守。此外，本文及文獻(xiàn)[22]的結(jié)果均認(rèn)為，當(dāng)?shù)谌壿d荷作用時間小于90 000次循環(huán)時，結(jié)構(gòu)處于絕對安全狀態(tài)，而當(dāng)載荷作用時間大于90 000次循環(huán)時，疲勞可靠度快速減小。兩者在對結(jié)構(gòu)可靠度的判斷以及疲勞可靠度隨時間推移變化趨勢上具有一致性，說明用本文建立的多級載荷累積損傷下結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠性模型與方法是行之有效的。

6 結(jié)論

(1)不同級別的載荷不同加載順序下對結(jié)構(gòu)的剩余疲勞強度將產(chǎn)生影響。金屬材料在高-低加載時存在“過載效應(yīng)”，最初施加的高載荷導(dǎo)致了材料的疲勞強度減小，加劇了后續(xù)施加低載荷造成的損傷，壽命比累積和將小于1；在低-高順序加載下，由于低應(yīng)力的鍛煉作用，產(chǎn)生低載強化效果，壽命比累積和將大于1。可根據(jù)損傷等效等值壽命原則，在不同次序施加于結(jié)構(gòu)的不同級別應(yīng)力之間，對作用時間進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，采用高-低加載順序時，等效轉(zhuǎn)化運算對剩余壽命的預(yù)測將更偏于保守，低-高順序加載則相反。

(2)利用區(qū)間理論，建立了動態(tài)非概率可靠性預(yù)測模型，解決了工程實際中樣本數(shù)據(jù)不足條件下多級載荷累積損傷作用的結(jié)構(gòu)動態(tài)可靠性預(yù)測問題，對概率與模糊的動態(tài)可靠性模型與方法進(jìn)行了有益的補充。

(3)在結(jié)構(gòu)的剩余強度的預(yù)測中，本文采用區(qū)間數(shù)表達(dá)變量，經(jīng)區(qū)間運算以獲得的剩余強度區(qū)間范圍，包含了文獻(xiàn)[22]的計算結(jié)果；同時本文運算得到的剩余強度均值略高于文獻(xiàn)[22]的計算結(jié)果。相比文獻(xiàn)[22]，本文的結(jié)果更偏于樂觀。

(4)由于度量尺度不同，無法直接比較本文計算的非概率動態(tài)可靠性指標(biāo)與文獻(xiàn)[22]計算的可靠度，但本文算法認(rèn)為，算例中，當(dāng)載荷作用時間小于129 972次循環(huán)時，結(jié)構(gòu)處于絕對安全狀態(tài)；而文獻(xiàn)[22]算法認(rèn)為在載荷作用時間達(dá)到129 972次循環(huán)時，可靠度僅為0.85。本文算法對結(jié)構(gòu)的可靠性判斷偏于樂觀。

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