2009年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)分類指導(dǎo)
一、集合與簡(jiǎn)易邏輯
1.集合元素具有確定性、無序性和互異性.
（1）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}，
（答：8） Q?{1,2,6}，則P+Q中元素的有________個(gè)。
（2）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且滿足“若a?S，則6?a?S”，這樣的S共有_____
個(gè)（答：7）
2. “極端”情況否忘記A??：集合A?{x|ax?1?0}，B?x|x?3x?2?0，且
A?B?B，則實(shí)數(shù)a＝______.（答：a?0,1,
2
1） 2
3.滿足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______個(gè)。 （答：7）
4.運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，
(CUA)?(CUB)?{1,5}，則A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）
，集合N＝?y|y?x2,x?M?，則
(1,?2?)(?3?,4R)，,）M?N?___（答：[4??,)；（2）設(shè)集合M?{a|a
N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，則M?N?_____（答：{(?2,?2)}）
5.集合的代表元素：（1）
設(shè)集合M?{x|y?
6.補(bǔ)集思想：已知函數(shù)f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在區(qū)間[?1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)?0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。 （答：(?3,）
7.復(fù)合命題真假的判斷：在下列說法中：⑴“p且q”為真是“p或q”為真的充分不必要條件；⑵“p且q”為假是“p或q”為真的充分不必要條件；⑶“p或q”為真是“非p”為假的必要不充分條件；⑷“非p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件。其中正確的是____答：⑴⑶）
8.充要條件：（1）給出下列命題：①實(shí)數(shù)a?0是直線ax?2y?1與2ax?2y?3平行的充要條件；②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要條件；③已知x,y?R，“若；④“若a和b都是xy?0，則x?0或y?0”的逆否命題是“若x?0或y?0則xy?0”
偶數(shù)，則a?b是偶數(shù)”的否命題是假命題 。其中正確命題的序號(hào)是_______（答：①④）；
2
（2）設(shè)命題p：|4x?3|?1；命題q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要
1
而不充分的條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （答：[0,]）
2
9. 一元一次不等式的解法：已知關(guān)于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集為1
(??,?)，則關(guān)于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集為_______（答：{x|x??3}）
3
2
10. 一元二次不等式的解集：解關(guān)于x的不等式：ax?(a?1)x?1?0。
11
（答：當(dāng)a?0時(shí)，x?1；當(dāng)a?0時(shí)，x?1或x?；當(dāng)0?a?1時(shí)，1?x?；當(dāng)a?1
aa
1
時(shí)，x??；當(dāng)a?1時(shí)，?x?1）
a
2
2
32
11. 對(duì)于方程ax2?bx?c?0有實(shí)數(shù)解的問題。（1）?a?2?x?2?a?2?x?1?0對(duì)一切
2
x?R恒成立，則a的取值范圍是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)
2
根滿足等式cos2x2x?k?1，則實(shí)數(shù)k的范圍是_______.（答：[0,1)）
12.一元二次方程根的分布理論。
（1）實(shí)系數(shù)方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則取值范圍是_________（答：（
2
b?2
的a?1
1
，1）） 4
2
（2）不等式3x?2bx?1?0對(duì)x?[?1,2]恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____（答：?）。
二、函 數(shù)
1.映射f: A?B的概念。
（1）設(shè)f:M?N是集合M到N的映射，下列說法正確的是 A、M中每一個(gè)元素在
N中必有象 B、N中每一個(gè)元素在M中必有原象 C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點(diǎn)(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，則在f作用下點(diǎn)(3,1)的原象為點(diǎn)________（答：（2，－1））；（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，則A到B的映射有個(gè)，B到A的映射有個(gè)，
；（4）設(shè)集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射A到B的函數(shù)有81,64,81）
，這樣的映射f有____個(gè)（答：f:M?N滿足條件“對(duì)任意的x?M，x?f(x)是奇數(shù)”
12）
2.函數(shù)f: A?B是特殊的映射。若函數(shù)y?
12
x?2x?4的定義域、值域都是閉區(qū)間2
[2,2b]，則b＝2）
3.若解析式相同，值域相同，但其定義域不同的函數(shù)，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為y?x，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有__個(gè)（答：9）
4.研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）： （1）函數(shù)
y?
2
lgx?3的定義域是____(答：(0,2)?(2,3)?；（2）設(shè)函數(shù)(3,)4)
f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（答：①a?1；②0?a?1）
（2）復(fù)合函數(shù)的定義域：（1）若函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)?,2?，則f(log2x)的定義
2域?yàn)開_________（答：x|2?x?4）；（2）若函數(shù)f(x?1)的定義域?yàn)閇?2,1)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_______（答：[1,5]）．
5.求函數(shù)值域（最值）的方法：
（1）配方法―（1）當(dāng)x?(0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2時(shí)取得最大值，則a的取值范圍是___（答：a??
2
1???
2
1
）； 2
（2）換元法（1）y?2sinx?3cosx?1的值域?yàn)開____（答：[?4,
2
17
；（2
）]）8
y?2x?1?的值域?yàn)開____（答：(3,??)）
t，t?0。運(yùn)用換元法時(shí)，要
1
特別要注意新元t的范圍）；3）y?n的值域?yàn)開___
（答：；isxocs?nisxocs?x?x[?1,）
2
（4
）y?x?4?的值域?yàn)開___
（答：4]）；
3x2sin??12sin??1
（3）函數(shù)有界性法―求函數(shù)y?，y?，的值域（答： y?
1?3x1?sin?1?cos?
13（0,1）、(??； (??,]、,）22
192
（4）單調(diào)性法――求y?x?(1?x?9)，y?sinx?的值域?yàn)開_____（答：
x1?sin2x
8011
； (0,)、[,9]）
92
y22
（5）數(shù)形結(jié)合法――已知點(diǎn)P(x,y)在圓x?y?1上，求及y?2x的取值范圍
x?2
（答：[?
； 、[）
33
(a1?a2)2
（6）不等式法―設(shè)x,a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則的取值
b1b2
范圍是____________.（答：(??,0]?[4,??)）。
32
（7）導(dǎo)數(shù)法―求函數(shù)f(x)?2x?4x?40x，x?[?3,3]的最小值。（答：－48）
2
(x?1).(x?1)
6.分段函數(shù)的概念。（1）
設(shè)函數(shù)f(x)??，則使得f(x)?1的自變量x的
4x?1)
(x?0)?1
取值范圍是____（答：(??,?2]）；（2）已知f(x)??，則不等式?[0,10]
(x?0)??1
3
x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___（答：(??,]）
2
7.求函數(shù)解析式的常用方法：
（1）待定系數(shù)法―已知f(x)為二次函數(shù)，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?
12
x?2x?1） 2
2
x)?sinx,求fx2的解析式___（答
：（2）配湊法―（1）已知f(1?cos
112
f(x2)??x4?2x2,x?[）；（2）若f(x?)?x?2，則函數(shù)f(x?1)=___（答：
xx
x2?2x?3）；
2
（3）方程的思想―已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；
3
8. 反函數(shù)：
（1）函數(shù)y?x?2ax?3在區(qū)間[1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是
A、a????,1? B、a??2,??? C、a?[1,2] D、a????,1???2,??? （答：D）
（2）設(shè)f(x)?(
2
x?12
)(x?0).求f(x)的反函數(shù)f?
1(x)（答：f?1(x)?x
． x?1)）
1
（3）反函數(shù)的性質(zhì)：
①單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿足條件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函數(shù)f定義域?yàn)?,? ，則f(x)的定義域是____________（答：[4,7]）.
aa
(x)的
14???
2x?3
，若函數(shù)y?g(x)與y?fx?17
稱，求g(3)的值（答：）；
2
②已知函數(shù)f(x)?
③（1）已知函數(shù)f(x)?log3(
1
(x?1)的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)
4
； ?2)，則方程f?1(x)?4的解x?______（答：1）
x
④已知f?x?是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A??1,1?,B?1,3?在它的圖象上，f?1?x?是它的反函數(shù)，那
么不等式f?1?log2x??1的解集為________（答：（2,8））；
9.函數(shù)的奇偶性。
（1
）①定義法：判斷函數(shù)y?
____（答：奇函數(shù)）。
11
②等價(jià)形式：判斷f(x)?x(x?)的奇偶性___.（答：偶函數(shù)）
2?12
③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。 （2）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：若f(x)為偶函數(shù)，則f(?x)?f(x)?f(|x|).
1
若定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(??,0)上是減函數(shù)，且f()=2，則不等式f(log1x)?2
38
的解集為______.（答：(0,0.5)?(2,??)）
a·2x?a?2
④f(0)?0若f(x)?為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝____（答：1）.
2x?1
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
⑤設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， F(x)?，G(x)?。①
22
x
判斷F(x)與G(x)的奇偶性； ②若將函數(shù)f(x)?lg(10?1)，表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一
1
個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，則g(x)＝____（答：①F(x)為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù)；②g(x)＝x）
2
10.函數(shù)的單調(diào)性。
（1）若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，則f?(x)?0，已知函數(shù)f(x)?x?ax在區(qū)間
3
[1,??)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是____(答：(0,3]）)；
（2）若函數(shù)f(x)?x?2(a?1)x?2 在區(qū)間（－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______(答：a??3）)；
2
（3）已知函數(shù)f(x)?
ax?1
在區(qū)間??2,???上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_____（答：x?2
1
(,??)）； 2
2
（4）函數(shù)y?log1??x?2x?的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：（1,2）)。
2
（5）已知奇函數(shù)f(x)是定義在(?2,2)上的減函數(shù),若f(m?1)?f(2m?1)?0，求實(shí)數(shù)
12
m的取值范圍。（答：??m?）
23
11. 常見的圖象變換
①設(shè)f(x)?2,g(x)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于直線y?x對(duì)稱，h(x)的圖像由g(x)的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則h(x)為__________(答： h(x)??log2(x?1))
②函數(shù)f(x)?x?lg(x?2)?1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2)
x
b
a的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象如果與x?a
原圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱,那么
(A)a??1,b?0 (B)a??1,b?R (C)a?1,b?0 (D)a?0,b?R (答：
③將函數(shù)y?C)
1
得到a1
的。如若函數(shù)y?f(2x?1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y?f(2x)的對(duì)稱軸方程是_______(答： x??)．
2
④函數(shù)y?f?ax?(a?0)的圖象是把函數(shù)y?f?x?的圖象沿x軸伸縮為原來的12. 函數(shù)的對(duì)稱性。
①已知二次函數(shù)f(x)?ax?bx(a?0)滿足條件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x
2
12
x?x)； 2
x?33
②己知函數(shù)f(x)?,(x?),若y?f(x?1)的圖像是C1,它關(guān)于直線y?x對(duì)稱
2x?32
圖像是C2,C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為C3,則C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是_______（答：
x?2
）； y??
2x?1
2
③若函數(shù)y?x?x與y?g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，則g(x)＝______（答：
有等根，則f(x)＝_____(答：?
x2?7x?6）
13. 函數(shù)的周期性。
（1）類比“三角函數(shù)圖像”已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程
f(x)?0在[?2,2]上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）
（2）由周期函數(shù)的定義
(1) 設(shè)f(x)是(??,??)上的奇函數(shù)，f(x?2)??f(x)，當(dāng)0?x?1時(shí)，f(x)?x，則f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)已知f(x)是偶函數(shù)，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函數(shù)，求f(2005)的值(答：993)；（3）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，
S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5
都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0 （答：B）
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225） （2）在等差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.
設(shè){an}與{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若么
Sn3n?1
，那?
Tn4n?3
an6n?2
） ?___________（答：
bn8n?7
（3）等差數(shù)列{an}中，a1?25，S9?S17，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：
前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1?0,a2003?a2004?0，
a2003?a2004?0，則使前n項(xiàng)和Sn?0成立的最大正整數(shù)n是4006） 4.等比數(shù)列的有關(guān)概念： （1）等比數(shù)列的判斷方法：（1）一個(gè)等比數(shù)列{an}共有2n?1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)
項(xiàng)之積為120，則an?1為____（答：
5
）；（2）數(shù)列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若6
bn?an?1?2an ，求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。
（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n項(xiàng)和Sn＝
1
或2） 2
（3）等比數(shù)列的前n和：（1）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）；
126，求n和公比q. （答：n?6，q?（2）
(?C
n?1
k?0
10n
k
n
； )的值為__________（答：2046）
（4）等比中項(xiàng)：已知兩個(gè)正數(shù)a,b(a?b)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大
小關(guān)系為______（答：A＞B）
有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為?，
aa
,,a,aq,aq2?（公比為q）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為?2
aa32
,,aq,aqq，?，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。 3
5.等比數(shù)列的性質(zhì)：
（1）在等比數(shù)列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整數(shù)，則a10=___（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5?a6?9，則log3a1?log3a2???log3a10? （答：10）。
gxn1loxgn(n?N*)，且（1）已知a?0且a?1，設(shè)數(shù)列{xn}滿足loa?1??a
x1?x2???x
100
；（2）在等比?100，則x101?x102???x200?（答：100a100）
數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若S30?13S10,S10?S30?140，則S20的值為______（答：40）
若{an}是等比數(shù)列，且Sn?3n?r，則r＝（答：－1）
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差數(shù)列，則q的值為-_____（答：－2）
設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn（n?N）， 關(guān)于數(shù)列?an?有下列三個(gè)命題：①若
an?an?1
b?R?，則(n?N)，則?an?既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若Sn?an2?bn?a、
an?是等差數(shù)列；③若Sn?1???1?n，則?an?是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是
（答：②③）
6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：
已知數(shù)列3
1111
,5,7,9,?試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：__________（答：481632
an?2n?1?
1
） 2n?1
①已知{an}的前n項(xiàng)和滿足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：an?滿足
11114,n?1
） a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?1
2,n?2222
2
3,n?1
）；②數(shù)列{an}
2n,n?2
數(shù)列{an}中，則a3?a5?______（a1?1,對(duì)所有的n?2都有a1a2a3?an?n，已知數(shù)列{an}滿足a1?1，an?an?1?
61
） 16
1n?1?n
2
(n?2)，則an=________（答
：
an?1）
已知數(shù)列{an}中，a1?2，前n項(xiàng)和Sn，若Sn?nan，求an（答：an?
4
）
n(n?1)
n
3n?1?1）①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?；②已知a1?1,an?3an?1?2，
n?1
3求an（答：an?5?
2n?1）；
an?11
①已知a1?1,an?，求an（答：an?）；②已知數(shù)列滿足a1=1
，
3an?1?13n?2
1
，求an（答：an?2）
n54,n?1
數(shù)列{an}滿足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an（答：an?） n?1
3?4,n?23
7.數(shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：（1）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sｎ＝2－１，則a1?a2?a3???an＝
ｎ
2222
4n?1
_____（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，
3
如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是1?23?1?22?0?21?1?20?13，那么將二
進(jìn)制(111?11)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_______（答：2
2005
2005個(gè)1
1）
n
（2）分組求和法： Sn??1?3?5?7???(?1)(2n?1)（答：(?1)?n）
n
n?1)Cn?n(??1)2（3）倒序相加法：①求證：Cn?3Cn?5Cn???(2；②已知
012nn
x21117
，則＝______（答：） f(x)?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()2
1?x2342
（4）錯(cuò)位相減法：（1）設(shè){an}為等比數(shù)列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，
T2?4，①求數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式.（答：①a1?1，q?2；
②Tn?2
n?1
2
n?2）；（2）設(shè)函數(shù)f(x)?(x?1)，g(x)?4(x?1)，數(shù)列{an}滿足：
a1?2,f(an)?(an?
an?1)g(an)(n?N?)，①求證：數(shù)列{an?1}是等比數(shù)列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2
888
(an?1)xn，求函數(shù)h(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)h?()，并比較h?()與2n2?n的大小。
333
88
（答：①略；②h?()?(n?1)?2n?1，當(dāng)n?1時(shí)，h?()＝2n2?n；當(dāng)n?2時(shí)，
33
88
h?()<2n2?n；當(dāng)n?3時(shí)，h?()>2n2?n） 33
n111
（5）裂項(xiàng)相消法：（1）求和：）；?????1?44?7(3n?2)?(3n?1)3n?11
（2）在數(shù)列{an}中，an?，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；
n?n?1
2n111
（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：求和：1?） ?????1?21?2?31?2?3???nn?1
四、三角函數(shù)
的終邊關(guān)于直線y?x對(duì)稱，則?＝_____。（答：2k??,k?Z） 63
若?是第二象限角，則是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，
2
2
該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2cm） 2、三角函數(shù)的定義：（1）已知角?的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5，－12)，則sin??cos?
72m?3 T 的值為＿＿。（答：?）；（2）設(shè)?是第三、四象限角，sin??， B S
4?m13
3
則m的取值范圍是_______（答：（－1，)）； O M x 2
3.三角函數(shù)線（1）若????0，則sin?,cos?,tan?的大小關(guān)系為
8
_____(答：tan??sin??cos?)；（2）若?為銳角，則?,sin?,tan?的大
1、?的終邊與
小關(guān)系為_______ （答：sin????tan?）；（3）函數(shù)y??2cosx?lg(2sinx?3)的
2?
](k?Z)）
33
m?34?2m?
4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）已知sin??，cos??則t(????)，an?
m?5m?52
5tan?nsi??3cos?
sin2??sin?cos??2＝____（答：；（2）已知?jiǎng)t＝____；?）??1，
tan??1nsi??cos?12
定義域是_______（答：(2k??
,2k??
513?；）；（3）已知f(cosx)?cos3x，則f(sin30)的值為______（答：－1）。 35
9?7?
5.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（1）cos）；??tan(?)?sin21?的值為________
（答：
46
4?
（2）已知sin540(?270)?______，若?為第二象限角，則(???)??，則cos?
5
[sin(180???)?cos(??360?)]243
________。（答：；） ???
tan(180??)5100
＝___（答：?
6、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值為
1
的是 A、sin15?cos15? B、cos2?sin2 C、1212
tan22.5? D（答：C）； 2?
1?tan22.5
（2）命題P：tan(A?B)?0，命題Q：tanA?tanB?0，則P是Q的 A、充要條件 B、
充分不必要條件 C、必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件（答：C）；（3）已知
37
）；（4）sin(???)cos??cos(???)sin??，
那么cos2?的
值為____（答：
525
100
的值是______（答：4）；(5)已知tan110?a，求tan50的值（用a表示）?sin101?a2
，乙求得的結(jié)果是，對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是
2a______（答：甲、乙都對(duì)）
7. 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明
2?
1?
，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____5444
33
（答：）；（2）已知?,?為銳角，sin??x,cos??y，cos(
)??，則y與x的
225
43
函數(shù)關(guān)系為______（答：y?x(?x?1)）
55
(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，（1）求值sin50(1
)（答：1）；（2）已知sin?cos?21
1,tan(???)??，求tan(??
2?)的值（答：）
1?cos
2?38
(3)公式變形使用設(shè)?
ABC中，tanA?tanB?AtanB，sinAcosA?（1）巧變角：（1）已知tan(???)?則此三角形是____三角形（答：等邊）
(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升函數(shù)f(x)?5sinxcosx?x增區(qū)間為___________（答：[k??
2
x?R)的單調(diào)遞?
12
,k??
5?
](k?Z)） 12
sin??tan?
（答：sin?）；（2）求證：
cot??csc?
11?tan2cos4x?2cos2x?
1?sin?；（答：1cos2x） （3）化簡(jiǎn)：?
21?2sin21?tan2tan(?x)sin2(?x)2244
322
(6)常值變換主要指“1”的變換已知tan??2，求sin??sin?cos??3cos?（答：）.
5
t2?1
(7)“知一求二”（1）若 sinx?cosx?t，則sinxcosx? __（答：?)，特別提醒：
2
4?這里t?[；（2）若??(0,?),sin??cos??，求tan?的值。
（答：?）；
23
8、輔助角公式中輔助角的確定：（1）
若方程sinxx?c有實(shí)數(shù)解，則c的取值范圍是___________.（答：[－2,2]）；（2）當(dāng)函數(shù)y?2cosx?3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是
3
______(答：?)；（3）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函數(shù)，則tan?答：－
2
312
2)；（4）求值：??64sin20??________(答：32) 22
sin20?cos20?
9、正弦函數(shù)y?sinx(x?R)、余弦函數(shù)y?cosx(x?R)的性質(zhì)：
31
（1）若函數(shù)y?a?bsin(3x?)的最大值為，最小值為?，則a?__，b?＿（答：
226
1??
；（2）函數(shù)f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____（答：a?,b?1或b??1）
222
[－1, 2]）；（3）若2?????，則y?cos??6sin?的最大值和最小值分別是____ 、_____
(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（1）tan?(cos??sin?) ?
（答：7；－5）；（4）
函數(shù)f(x)?2cosxsin(x??x?sinxcosx的最小值是_____，
2
3
此時(shí)x＝__________（答：2；k??
12
；（5）己知sin?cos??(k?Z)）
1
，求t?sin?cos?2
122222
最小值（答：ymax?1，ymin?22?2）。
x
（3）周期性： (1)若f(x)?sin，則f(＝___（答：0）；1)?f(2)?(3)f???(200f3)
3
44
(2) 函數(shù)f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx的最小正周期為____（答：?）；(3) 設(shè)函數(shù)
的變化范圍（答：[0,]）；（6）若sin??2sin??2cos?，求y?sin??sin?的最大、
f(x)?2x?)，若對(duì)任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，則|x1?x2|的最小
25
值為____（答：2）
5??
2x?的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；（2）2??
3
已知函數(shù)f(x)?ax?bsinx?1(a,b為常數(shù)），且f(5)?7，則f(?5)?______（答：－5）；
（4）奇偶性與對(duì)稱性：（1）函數(shù)y?sin?
個(gè)單位，即得到函數(shù)y?2cos2x的圖像。其中正確結(jié)論是_______（答：12
②④）；（5）已知函數(shù)f(x)?2sin(?x??)圖象與直線y?1的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距
離為，那么此函數(shù)的周期是_______（答：?）
3
，而y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx?cosx的周期為2
1?
，(y3?|tanx)|的周期不變； y?|2sinx??)?y|,?|?sin2|
626
ABC中，若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C，判斷?ABC的形狀（答：直角
④圖像向左平移三角形）。
（1）?ABC中，A、B的對(duì)邊分別是a、
b，且A=60, a? b?4，那么滿足條件的
；（2）在?ABC?ABC A、 有一個(gè)解 B、有兩個(gè)解 C、無解 D、不能確定（答：C）
中，A＞B是sinA?sinB成立的_____條件（答：充要）；（3）在?ABC中，
1
；(4)在?ABC中，a,b,c分別(1?tanA)(1?tanB)?2，則log2sinC＝_____（答：?）2
是角A、B、C所對(duì)的邊，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，則?C＝____（答：222?
；（5）在?ABC中，
若其面積S?，則?C=____（答：30）；（6）在?ABC60）
中，A?60, b?1，
則?ABC外接圓的直徑是_______
（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C
的對(duì)邊，a?A?的最大值為 （答：
；1B?C
b2?c2,則cos2
32
19
；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是;）32
6
． ?AOB,?BOC,?
COA的面積滿足關(guān)系式S?AOB?S?BOC??COA，求?A（答：45?）
答：0?C?
）；（9）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若?C?75，且
19.求角的方法（1）若?,??(0,?)，且ant的值______（答：
則求???tan?是方程x2?5x?6?0的兩根，?、
3?
）；（2）?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1，則?C＝4?
_______（答：）；（3）若0???????2?且sin??sin??sin??0，
3
2?）. cos??cos??cos??0，求???的值（答：3
（1）向量的概念：已知A（1,2），B（4,2），則把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得
到的向量是_____（答：（3,0））
五、平面向量
1、向量有關(guān)概念：
下列命題：（1）若a?b，則a?b。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，
終點(diǎn)相同。（3）若A，則A是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則BD?CAB?DC。BCDABCD
（5）若a?b,b?c，則a?c。（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是_______（答：（4）（5））
1?3?
2、向量的表示方法：（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，則c?______（答：a?b）；
22?????
（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. ???????????????13
e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）；（3）
24????????????????????????
已知AD,BE分別是?ABC的邊BC,AC上的中線,且AD?a,BE?b,則BC可用向量a,b表示
2?4?
為_____（答：a?b）；（4）已知?ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD?2DB，
33
CD?rAB?sAC，則r?s的值是___（答：0）
4、實(shí)數(shù)與向量的積
5、平面向量的數(shù)量積：
（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，則AB?BC?_________（答：－9）；
1?1???
（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c與d的夾角為，則k等于____（答：1）；
224????????
b??3，則a?b等于____
（3）已知a?2,b?5,a?；（4）已知a,b是兩個(gè)非零向
量，且a?b?a?b，則a與a?b的夾角為____（答：30?）
已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，則向量a在向量b上的投影為______（答：
12） 5
（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a與b的夾角為銳角，則?的取值范圍是______
41（答：???或??0且??）；（2）已知?OFQ的面積為S，且OF?FQ?1，若
33
1??
S?，則OF,FQ夾角?的取值范圍是_________（答：(,)）；（3）已知2243
a?(cosx,sixnb)?,?????
(cyos,syian與b之間有關(guān)系式ka?b??kb,其中k?0，①用k表
k2?1??
示a?b；②求a?b的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角?的大?。ù穑孩賏?b?(k?0)；②
4k
最小值為
1?
，??60） 2
6、向量的運(yùn)算： （1）幾何運(yùn)算：
（1）化簡(jiǎn)：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；
③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)
為1，AB?a,BC?b,AC?c，則|a?b?c|＝_____
（答：；（3）若O是?ABC所在
平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OB?OC?OB?OC?2OA，則?ABC的形狀為____（答：直角三角
形）；（4）若D為?ABC的邊BC的中點(diǎn)，?ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足
且OA?OB?CO?0，則△ABC的內(nèi)角C為____（答：120）；
（2）坐標(biāo)運(yùn)算：（1）已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，則當(dāng)?
|AP|
，則?的值為___（答：2）；（5）若點(diǎn)O是△ABC的外心，PA?BP?CP?0，設(shè)|PD|
＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：
1）；（2）已知2
1??????
；A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，則x?y?（答：或?）
22262?
（3）已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，則合力F?F1?F2?F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1））
1???????????
設(shè)A(2,3),B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是__________（答：
3
11
； (1,),(?7,9)）
3
已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝量、的夾角；（2）若x∈[?
，求向3
3??1
,]，函數(shù)f(x)???的最大值為，求?的值（答：842
1
； (1)150?
;(2)或1）
2???????
已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|＝_____
； ??????????????
OP?xe?yee,e這樣定義的：若12，其中12分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜
坐標(biāo)為(x,y)。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓
心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x?y?xy?1?0）；
7、向量的運(yùn)算律：下列命題中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；
如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，?xOy?60，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是
22
③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，則a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,則
2?2?2??2?2???2?2?2a?bb
a?c；⑥a?a；⑦2?；⑧(a?b)?a?b；⑨(a?b)?a?2a?b?b。其中正確的
2
2
2
a
是______（答：①⑥⑨）
a
知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，則x＝______（答：4）；（3）設(shè)????????????
PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線（答：－2或11）
3
(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，則m? （答：）；（2）以原點(diǎn)
(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，當(dāng)x＝_____時(shí)a與b共線且方向相同（答：2）；（2）已
2
O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，?B?90?，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________ （答：
(1,3)或（3，－1））；（3）已知n?(a,b),向量n?m，且n?m，則m的坐標(biāo)是________ （答：
(b,?a)或(?b,a)）
10.線段的定比分點(diǎn)：
37
若點(diǎn)P分AB所成的比為，則A分BP所成的比為_______（答：?）
43
1
（2）已知A(a,0),B(3,2，直線y?ax與線段AB交于M，且AM?2MB，則a等于?a)
2
_______（答：２或－４）
11.平移公式：（1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，則按向量a把點(diǎn)(?7,2)平移到點(diǎn)______
（答：（－８，３））；（2）函數(shù)y?sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是
1???7（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP??MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______（答：(?6,?)）；
33
y?cos2x?1，則a＝________（答：(?
4
,1)）
12、向量中一些常用的結(jié)論：
若⊿ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______（答：(?
24
； ,)）
33
平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(?1,3),若點(diǎn)C滿足
OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,則點(diǎn)C的軌跡是_______（答：直線AB）
六、不等式 1、不等式的性質(zhì)：
（1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：①若a?b,則ac?bc②若ac?bc,則a?b；③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則
2
2
2
2
2
2
；
11
；ab
baab
⑤若a?b?0,則?； ⑥若a?b?0,則a?b；⑦若c?a?b?0,則；?
abc?ac?b11
⑧若a?b,?，則a?0,b?0。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；
ab
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______（答：1?3x?y?7）；
2. 不等式大小比較的常用方法：比較1+logx3與2logx2(x?0且x?1)的大小（答：當(dāng)
444
1+logx3＞2logx2；當(dāng)1?x?時(shí)，1+logx3＜2logx2；當(dāng)x?時(shí)，0?x?1或x?時(shí)，333
1+logx3＝2logx2）
3. 利用重要不等式求函數(shù)最值
21
（1）下列命題中正確的是A、y?x?的最小值是2 B
、y?的最小值是2
x44
C、y?2?3x?(x?
0)的最大值是2? D、y?2?3x?(x?
0)的最小值是
xx
xy
2?C）；（2）若x?2y?1，則2?4的最小值是______
（答：；（3）正數(shù)
11
； x,y滿足x?2y?1，則?的最小值為______
（答：3?xy
4.常用不等式有：如果正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是_____（答：
9,???）
5、證明不等式的方法：
（1）已知a?b?c，求證：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；(2) 已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；（3）已知a,b,x,y?R，且證：
2
2
2
2
2
2
222222
11
,x?y，求ab
xy222222
；(4)已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)； ?
x?ay?b
2
6.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：{x|x?1或
；（2）
不等式(x??0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；（3）x??2}）
設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)?0的解集為{x|1?x?2}，g(x)?0的解集為
；（4）要使?jié)M足關(guān)于x的?，則不等式f(x)?g(x)?0的解集為____（答：(??,1)?[2,??)）
不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式
2
x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.（答：[7,
7.分式不等式的解法：（1）解不等式
81
)） 8
5?x
； ??1（答：(?1,1)?(2,3)）
x2?2x?3
ax?b
（2）關(guān)于x的不等式ax?b?0的解集為(1,??)，則關(guān)于x的不等式?0的解集
x?2
為____________（答：(??,?1)?(2,??)）.
8.絕對(duì)值不等式的解法：解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）；若不等式
4
（答：}） |3x?2|?|2x?a|對(duì)x?R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______。
3
22
9、含參不等式的解法：（1）若loga?1，則a的取值范圍是_____（答：；a?1或0?a?）
33
ax21
x(a?R)（答：a?0時(shí)，{x|x?0}；a?0時(shí)，{x|x?或x?0}；（2）解不等式
ax?1a1
；（3）關(guān)于x的不等式ax?b?0 的解集為(??,1)，則不a?0時(shí)，{x|?x?0}或x?0}）
a
x?2等式（－1,2）） ?0的解集為__________（答：
ax?b
22
11.恒成立問題（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x?(y?1)?1，當(dāng)x?y?c?0時(shí)，c的取值范圍是______
（答：1,??）；（2）不等式x?4?x?3?a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a2
的取值范圍_____（答：a?1）；（3）若不等式2x?1?m(x?1)對(duì)滿足m?2的所有m都成
7?13?1(?1)n?1n立，則x的取值范圍_____（答：（,））；（4）若不等式(?1)a?2?對(duì)
22n
點(diǎn)P關(guān)于直線x?y?0對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_______（答：(b,a)）；（2）已知直線l1與l2的夾角平分線為y?x，若l1的方程為ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________（答：；（3）點(diǎn)Ａ（４，５）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Ｂ(－2,7)，則l的方程是_________bx?ay?c?0）（答：y=3x＋3）；（4）已知一束光線通過點(diǎn)Ａ（－３，５），經(jīng)直線l:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點(diǎn)Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________（答：；18x＋y?51?0）（5）已知ΔABC頂點(diǎn)A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程（答：2x?9y?65?0）；（6）直線2x―y―4=0上有一點(diǎn)Ｐ，它與兩定點(diǎn)Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標(biāo)是______（答：（5,6））；（7）已知A?x軸，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周長(zhǎng)的最小值為______
。
9、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃： 已知點(diǎn)A（—2，4），B（4，2），且直線l:y?kx?2與線段AB恒相交，則k的取值范圍是__________（答：?－?，－3???1，＋??）
（1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2x－y在線性約束條件
1
||xy||??1
下，取最小值的最優(yōu)解是____（答：
（－1，1））；（2）點(diǎn)（－２，t）在直線2x－3y+6=0的上方，則t的取值范圍是_________（答：
2
）；（3）不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面區(qū)域的面積是_________（答：8）；（4）如3
x?y?2?0
果實(shí)數(shù)x,y滿足?x?y?4?0，則z?|x?2y?4|的最大值_________（答：21）
2x?y?5?0t?
10、圓的方程：
（1）圓C與圓(x?1)?y?1關(guān)于直線y??x對(duì)稱，則圓C的方程為____________（答：
2
2
x2?(y?1)2?1）；（2）圓心在直線2x?y?3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
__________（答：(x?3)?(y?3)?9或(x?1)?(y?1)?1）；（3）
已知P(?是圓
2
2
2
2
x?rcos?（?為參數(shù)，0???2?)上的點(diǎn)，則圓的普通方程為________，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的?值
y?rsin?
2?
22
為_______，過P點(diǎn)的圓的切線方程是___________（答：x?y＝4；；x?4?0）；
3
（4）如果直線l將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是____
1２
（答：[0，2]）；（5）方程x2+y－x+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為____（答：；k?）
2
x?3cos?（?為參數(shù)，0????)}，N??(x,y)|y?x?b?，若
（6）若M?{(x,y)|
y?3sin?
M?N??，則b的取值范圍是_________
（答：－）
11、點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x－１)＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：|a|?
２
1
） 13
12、直線與圓的位置關(guān)系：（1）圓2x?2y?1與直線xsin??y?1?0(??R,??
22
2
22
；（2）若直線ax?by?3?0與圓x?y?4x?1?0切k?z)的位置關(guān)系為____（答：相離）
k?，
于點(diǎn)P(?1,2)，則ab的值____（答：2）；（3）直線x?2y?0被曲線x?y?6x?2y?15?0所截得的弦長(zhǎng)等于
（答：；（4）一束光線從點(diǎn)A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是4）；（5）已知M(a,b)(ab?0)是圓O:x?y?r
2
22
222
內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以M為中點(diǎn)的弦所在直線m和直線l:ax?by?r，則A．m//l，且l與圓相交 B．l?m，且l與圓相交 C．m//l，且l與圓相離 D．l?m，且l與圓相離（答：
22
C）；（6）已知圓C：x?(y?1)?5，直線L：mx?y?1?m?0。①求證：對(duì)m?R，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②設(shè)L與圓C交于A、B
兩點(diǎn)，若AB?L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程. （答：②60?或120? ③最長(zhǎng)：y?1，最短：x?1）
13、圓與圓的位置關(guān)系
x2y2
雙曲線2?2?1的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別
ab
以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切）
14、圓的切線與弦長(zhǎng)：
設(shè)A為圓(x?1)?y?1上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為__________（答：(x?1)?y?2）； （2）弦長(zhǎng)問題： 八、圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩個(gè)定義：
（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：（1）已知定點(diǎn)F1(?3,0),F2(3,0)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是 A．PF1?PF2?4 B．PF1?PF2?6 C．PF1?PF2?10 D．PF1
2
22
22
PF2
2
12（答：C）
程
表8示的曲線是_____（答：雙曲線的左支） 2?
x2
（2）第二定義已知點(diǎn)Q(22,0)及拋物線y?上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是
4
_____（答：2）
2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
x2y2
（1）橢圓：（1）已知方程??1表示橢圓，則k的取值范圍為____（答：
3?k2?k
1122
；（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，則x?y的最大值是____，x?y(?3,?)?(?,2)）
22
的最小值是___
2）
x2y25
（2）雙曲線：（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓??1有公共焦點(diǎn)，則該雙曲
942
x2
線的方程_______（答：；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，?y2?1）
4
離心率e?2的雙曲線C過點(diǎn)P(4,?)，則C的方程為_______（答：x2?y2?6）
（3）拋物線：
3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷：
x2y2
1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__（答：橢圓：已知方程
m?12?m
3
(??,?1)?(1,)）
2
4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：
25x2y2（1）橢圓（1）若橢圓，則m的值是__（答：3或）；（2）??1的離心率e?
35m5
以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為__（答：22）
（2）雙曲線（1）雙曲線的漸近線方程是3x?2y?0，則該雙曲線的離心率等于______
（答：
122或）；（2）雙曲線ax?by?
1a:b4或）；2
34
x2y2
（3）設(shè)雙曲線2?2?1（a>0,b>0）中，離心率e∈[2,2],則兩條漸近線夾角θ的取值
ab
范圍是________（答：[
； ,]）
32
2
（3）拋物線；設(shè)a?0,a?R，則拋物線y?4ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________（答：(0,
1
； )）16a
x2y2
5、點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓2?2?1（a?b?0）的關(guān)系：
ab
6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：
22
（1）若直線y=kx+2與雙曲線x-y=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______
x2y2??1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍（答：(-,-1)）；（2）直線y―kx―1=0與橢圓
35m
x2y2
是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）過雙曲線??1的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于
12
A、B兩點(diǎn)，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（答：3）；
x2y2
（2）過雙曲線2?2＝1外一點(diǎn)P(x0,y0)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：
ab
①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲
線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；
（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。（1）過點(diǎn)(2,4)作直線與拋物線y?8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有______
2
x2y2
（答：2）；（2）過點(diǎn)(0,2)與雙曲線??1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為
916
y2?42
______
（答：??,；（3）過雙曲線x??1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B）
32????
兩點(diǎn)，若AB?4，則滿足條件的直線l有____條（答：3）；（4）對(duì)于拋物線C：y2?4x，我們稱滿足y0?4x0的點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：
2
（答：相離）；（5）過拋物線y?4x的焦點(diǎn)Fy0y?2(x?x0)與拋物線C的位置關(guān)系是_______
2
作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q，則
11
_______（答：pq
x2y2
1）；（6）設(shè)雙曲線??1的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，設(shè)某直線m交其左支、右支和右
169
準(zhǔn)線分別于P,Q,R，則?PFR和?QFR的大小關(guān)系為___________(填大于、小于或等于) （答：
等于）；（7）求橢圓7x2?4y2?28上的點(diǎn)到直線3x
2y?16?0的最短距離（答：
2
2
）；（8）13
直線y?ax?1與雙曲線3x?y?1交于A、B兩點(diǎn)。①當(dāng)a為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：
①；②a??1）；
x2y2
7、焦半徑（1）已知橢圓??1上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線
2516
352
）；（2）已知拋物線方程為y?8x，若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于3
5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于____；（3）若該拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)M
x2y2
的坐標(biāo)為_____（答：7,(2,?4)）；（4）點(diǎn)P在橢圓??1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到
259252
右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_______（答：）；（5）拋物線y?2x上的兩點(diǎn)A、
12
x2y2
B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為______（答：2）；（6）橢圓??1
43
內(nèi)有一點(diǎn)P(1,?1)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使MP?2MF 之值最小，則點(diǎn)M的坐
的距離為____（答：標(biāo)為_______（答：(
26
； ,?1)）
3
8、焦點(diǎn)三角形（1）短軸長(zhǎng)為5，離心率e?
2
的橢圓的兩焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作直線3
交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則?ABF2的周長(zhǎng)為________（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線
x2?y2?a2(a?0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，則該雙曲線
x2y2
1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓的方程為 （答：x?y?4）；（3）橢圓94
→→
）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PF2 ·PF1 <0時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是
（答：(；（4）6
雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e＝，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支
2
交于A、B兩點(diǎn)，且AB是AF2與BF2等差中項(xiàng)，則AB＝__________
（答：；（5）
2
2
已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且?F1PF2?60，
S?PF1F2
x2y2
123．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：??1）；
412
2
9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)： 10、弦長(zhǎng)公式：（1）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）過拋物線y?2x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_______（答：3）；
x2y2
11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：（1）如果橢圓??1弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這
369
條弦所在的直線方程是 （答：x?2y?8?0）；（2）已知直線y=－x+1與橢圓x2y2
2?1(a?b?0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢2ab
x2y2
圓的離心率為_______
（答：）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓??1上有不
243
同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y?4
x?m對(duì)稱（答：?；
）??
特別提醒：因?yàn)??0是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)??0！
12．你了解下列結(jié)論嗎？
x2y2
與雙曲線??1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(?3,23)的雙曲線方程為_______（答：
916
4x2y2
1） 94
13．動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線x?3的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：
y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3)）；
線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0）(m?0)，端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以
x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為（
答：
y2?2x）；
(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓x?y?1作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=60，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
2
2
2
2
2
（答：x?y?4）；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它
2
22
到直線l：x?5?0的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ （答：y?16x）；(3) 一動(dòng)圓與兩圓⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）；
動(dòng)點(diǎn)P是拋物線y?2x?1上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為A(0,?1),點(diǎn)M分PA所成的比為2，則M的
1
軌跡方程為__________（答：y?6x2?）；
3
（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)使|OP||?MN|P，
，求點(diǎn)P的軌跡。（答：x?y?a|y|）；（2）若點(diǎn)P(x1,y1)在圓x?y?1
2
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2
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上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(x1y1,x1?y1)的軌跡方程是____（答：y?2x?1(|x|?)）；（3）過拋物
1
2
果ａ、ｂ是異面直線，P是不在ａ、ｂ上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①過點(diǎn)P一定可以作直線l與ａ、ｂ都相交； ②過點(diǎn)P一定可以作直線l與ａ、ｂ都垂直；③過點(diǎn)P一定可以作平面α與ａ、ｂ都平行； ④過點(diǎn)P一定可以作直線l與ａ、ｂ都平行。其中正確的結(jié)論是_____（答：②）；（5）如果兩條異面直線稱作一對(duì)，那么正方體的十二條棱中異面直線的對(duì)數(shù)為_____（答：
24）；（6）已知平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a,求證：b、c是異面直線．
5、異面直線所成角?的求法：（1）正四棱錐P?ABCD的所有棱長(zhǎng)相等，E是PC的中點(diǎn)，那么異面直線BE與PA所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方體AC1中，3
M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為____（答：90°）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有____條（答：2）；（4）若異面直線a,b所成的角為?
3，且直線c?a，則異面直線b,c所成角的范圍是____（答：[??； ,]）62
6、異面直線的距離的概念：（1）ABCD是矩形，沿對(duì)角線AC把ΔADC折起，C1D使AD⊥BC，求證：BD是異面直線AD與BC的公垂線；（2）如圖，在正方體BABCD—A1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)A1
所連接的直線中，與EF平行的直線有____條（答：1）； DC7直線與平面的位置關(guān)系：（1）下列命題中，正確的是 Ａ、若直線a平行于平
F面?內(nèi)的一條直線b , 則 a// ? Ｂ、若直線a垂直于平面?的斜線b在平面?內(nèi)AB的射影，則a⊥b Ｃ、若直線a垂直于平面?,直線b是平面?的斜線，則a與
b是異面直線 Ｄ、若一個(gè)棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐（答：D）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是___________（答：線段B1C）。
10、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：
（1）α、β表示平面，a、b表示直線，則a∥α的一個(gè)充分不必要條件是 A、α⊥β，a⊥β B、α∩β＝b，且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且a?β（答：D）；
（2）正方體ABCD-A１B１C１D１中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥面AA1B1B。
11、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）如果命題“若x?y,y∥z，則x?z”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_____（答：x、y是直線，z是平面）；（2）已知a，b，c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線a⊥平面α的是 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ?α，ｃ?α B、a⊥b ，ｂ∥α C、α⊥β，ａ∥β D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：
D）；（3）AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求證：BD⊥平面AEF。
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