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利用基本不等式求函數(shù)最值

12 (2)①已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值； x

4②已知x<3，求f(x)＝x的最大值． x－3

“配湊法”求最值

4例 （1）已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值． x－3

3(2)設(shè)0<><，求函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值；><="" p=""><，求函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值；>

9．若a＞1，則a＋

A．0

C.a a－1

11＝a－1＋＋1 a－1a－11的最小值是( ) a－1B．2 D．3 解析： a＋

∵a＞1，∴a－1＞0

∴a－1＋1＋1≥2＋1＝3. a－11a＝2時取等號． a－1當且僅當a－1＝

答案： D

(2)常值代換

這種方法常用于

11①“已知ax＋by＝m(a、b、x、y均為正數(shù))，求xy

ab②“已知x＋y＝1(a、b、x、y均為正數(shù))，求x＋y的最小值”兩類題型．

“1”的代換技巧．

19（1）已知x>0，y>0，且＋1，求x＋y的最小值； xy

變式1：設(shè)x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．變式2．設(shè)正數(shù)a，b滿足：a+4b=2

，則的最小值為．

xy5．已知x，y∈R＋，且滿足341，則xy的最大值為________．

xy解析： 由3＋4＝1為定值知

xy3＋42xyxy＝3412(2)＝3.

xy∴當且僅當3＝4時xy有最大值3.

答案： 3xy解析： 由3＋4＝1為定值知

xy3＋42xyxy＝3412(2)＝3.

xy∴當且僅當＝時xy有最大值3. 34

答案： 3

考點： 基本不等式．

專題： 不等式的解法及應(yīng)用．

分析： 由題意可得=（a+4b）

（）=（

5++），由基本不等式可得． 解答： 解：∵正數(shù)a，b滿足a+4b=2， ∴=（a+4b）

（

+）≥（5+2） ）

=， =（5+當且僅當=即

xy5．已知x，y∈R＋，且滿足341，則xy的最大值為________．a=且注意與此題的對比：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )

8.若正實數(shù)x,y滿足x?y?1?xy，則x?2y的最小值是

A. 3 B.5 C.7 D.8

(3)構(gòu)造不等式

當和與積同時出現(xiàn)在同一個等式中時，可“利用基本不等式構(gòu)造一個不等式從而求出和或積的取值范圍”．

例 “已知a，b為正數(shù)，a＋b＝ab－3，求ab的取值范圍”．

分析：可構(gòu)造出不等式2ab≤a＋b＝ab－3，即(ab)2－2ab－3≥0. 例3 若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，求：

b=時取等號， ∴所求的最小值為， 故答案為：(1)ab的取值范圍； (2)a＋b的取值范圍

變式：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )

9A．3 B．4 C.2

x＋2y?2 解析： ∵2xy≤??2?

x＋2y?2 ∴8－(x＋2y)≤??2?

即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0

∴x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍)．

答案： B

2．對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且要掌握它的變形及公式的

a＋b2a2＋b2a＋b逆用等，例如ab≤(2≤2ab≤2

Ax2＋Bx＋Cx總結(jié)形如y＝或y＝的一類函數(shù)的值域或最值的求xAx＋Bx＋C

法．

a＋b2(a>0，b>0)等． 112

(2)已知

x＋1x>－1，求函數(shù)y＝x>－1)的最大值為 x＋5x＋6

x6．若對任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________． x＋3x＋1

（3）若a,b?R?，滿足ab?a?b?3，求ab的取值范圍；

3）由基本不等式a?b?2ab,(a,b?R?)得

ab?a?b?3?2?3?ab?2ab?3?0?(ab?3)(ab?1)?0 所以ab?3或ab??1（舍去），因此ab?9，當且僅當a?b?3時取等號，即ab的取值范圍為[9,??).