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【例題】已知：A（a，y1）．B（2a，y2）是反比例函數y＝k/x（k＞0）圖象上的兩點．
（1）比較y1與y2的大小關系；
（2）若A、B兩點在一次函數y=4/3x b第一象限的圖象上（如圖所示），分別過A、B兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，且S△OAB=8，求a的值；
（3）在（2）的條件下，如果3m=﹣4x 24，3n=32/x，求使得m＞n的x的取值范圍．
【圖文解析】
（1）先根據反比例函數的解析式判斷出函數的圖象所在的象限，再根據函數的增減性及a的符號討論y1與y2的大??；
根據圖象，不難得到：當a＞0時，y1＞y2，當a＜0時，y1＜y2；
（2）如下圖示：
∵A（a，y1）、B（2a，y2）在反比例函數y=k/x（k＞0）的圖象上，
∴AC=y1=k/2a，BD=y2=k/2a，∴y1=2y2．
又∵A（a，y1）、B（2a，y2）在一次函數y=﹣4/3a b的圖象上，
∴y1=﹣4/3a b，y2=﹣8/3a b，
∴﹣4/3a b=2(﹣8/3a b)，∴b=4a，
∵S△AOC S梯形ACDB=S△AOB S△BOD，
又∵S△AOC=S△BOD，∴S梯形ACDB=S△AOB，
（3）由（2）得，一次函數的解析式為y=﹣4/3x 8，反比例函數的解析式為：y=32/(3x)，
A、B兩點的橫坐標分別為2、4，且m=﹣4/3x 8、n=32/(3x)，因此使得m＞n的x的取值范圍就是反比例函數的圖象在一次函數圖象下方時的橫坐標的取值范圍，如下圖示，從圖象可以看出2＜x＜4或x＜0．
【反思】綜合運用了一次函數及反比例函數圖象上點的坐標特點，用數形結合的方法求不等式的解集．
【練習】閱讀以下材料并填空：
問題：當x滿足什么條件時，x＞1/x？
解：設y1=x，y2=1/x則在同一直角坐標系中畫出這兩個函數的草圖．
聯立兩個函數的解析式得：
∴兩個圖象的交點為（1，1）和（﹣1，﹣1）
∴由圖可知，當﹣1＜x＜0或x＞1時，x＞1/x（1）上述解題過程用的數學思想方法是_____；
（2）根據上述解題過程，試猜想x＜1/x時，x的取值范圍是____________；
（3）試根據上述解題方法，當x滿足什么條件時，x2＞1/x．（要求畫出草圖）
【圖文解析】（1）根據題意可知上述解題過程用的數學思想方法是數形結合法；
（2）直接根據（1）可知x＜﹣1或0＜x＜1；
（3）作反比例函數和二次函數y=x2的圖象，如下圖示。從圖象知：當反比例函數的圖象在拋物線的下方時，對應的x的范圍即為所求．
∴當x＞1或x＜0時，x2＞1/x．
【反思】再次體會數形結合思想在函數相關的試題中運用．
【上期答案】
【原題呈現】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=k/x的圖象和矩形ABCD在第二象限，AD平行于x軸，且AB=2，AD=4，點C的坐標為（﹣2，4）．
（1）直接寫出A、B、D三點的坐標；
（2）若將矩形只向下平移，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數的圖象上，求反比例函數的解析式和此時直線AC的解析式y=mx n．并直接寫出滿足k/x<mx n的x取值范圍．
（1）A（﹣6，6），B（﹣6，4），D（﹣2，6）．
（2）矩形ABCD向下平移后得到矩形，設平移距離為a，則B′（﹣6，4﹣a），D′（﹣2，6﹣a）∵點B′，點D′在y=k/x的圖象上，
∴﹣6（4﹣a）=﹣2（6﹣a），解得a=3，
∴A′（﹣6，3），B′（﹣6，1），C′（﹣2，1），D′（﹣2，3），
將點B′（﹣6，1）代入y=k/x得：k=﹣6，
∴反比例函數的解析式為y=-6/x．
將A′（﹣6，3），C′（﹣2，1）點代入y=mx n中,并解得：m=0.5,n=0.
所以所求的解析式為：y=0.5x.
如下圖示，滿足k/x<mx n的x取值范圍即是-6/x<0.5x的取值范圍，即：x<－2×根號3.
【反思】要注意數形結合思想在解題中的正確運用．
相關鏈接：
九下尖子生培優(yōu)系列(70) ——反比例函數（3）
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