提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的策略（轉(zhuǎn)載）
作者：徐順湘
數(shù)學(xué)概念不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要內(nèi)容。實(shí)踐證明，加強(qiáng)概念教學(xué)是切實(shí)提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效策略。筆者認(rèn)為，在當(dāng)前積極開展教學(xué)有效性研究的背景下，應(yīng)該努力探尋提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的策略。
一、引入要恰當(dāng)
1．引入的情境要突出概念的本質(zhì)特征。
借助直觀具體、生動形象的情境引出概念，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，有助于學(xué)生對概念的理解和掌握。但情境一定要與概念的本質(zhì)屬性相關(guān)聯(lián)，否則會因?yàn)檫h(yuǎn)離教學(xué)內(nèi)容而影響教學(xué)效果，有時(shí)甚至產(chǎn)生誤導(dǎo)作用，將學(xué)生的思維引入歧途。
有位老師為了引出“倒數(shù)”的概念，從孫悟空騰云駕霧翻跟斗講起，弄得學(xué)生一時(shí)摸不著頭腦，真令人啼笑皆非。雖然學(xué)生對此故事情境很感興趣，但由于故事內(nèi)容不能反映“倒數(shù)”的本質(zhì)特征，因而也只能是無效的教學(xué)。
另一位老師在教學(xué)“加法交換律”時(shí)，從“朝三暮四”這個(gè)成語的典故引入，卻帶來了奇特的效果。教師講完典故后，引起學(xué)生的哄堂大笑。教師問學(xué)生為什么可笑，學(xué)生說猴子太愚蠢了，其實(shí)一天吃到的桃子是一樣多的。然后教師引導(dǎo)學(xué)生列出“3+
2．引入的方式要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性。由于小學(xué)生的思維水平處于從形象思維為主逐步向抽象思維為主過渡的階段，因而理解和掌握概念有一定困難。教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合實(shí)例，聯(lián)系學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)，采用直觀操作等實(shí)踐活動的形式，自然地引出概念。
例如教學(xué)“小數(shù)的意義”，教師先通過學(xué)生熟悉的元、角、分，讓學(xué)生初步感知小數(shù)。接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)米尺上的刻度，進(jìn)一步認(rèn)識一位小數(shù)、二位小數(shù)……通過對實(shí)例的觀察、分析比較和抽象概括，使學(xué)生從具體到抽象地理解小數(shù)的概念。
又如，我們可以借助操作活動，建立“平均分”的概念。讓學(xué)生把8根小棒分成2份，交流不同的分法。然后引導(dǎo)學(xué)生將幾種分法進(jìn)行分類，觀察、比較后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“4根與4根”的分法的本質(zhì)特征是“每份的根數(shù)一樣多”，并指出這種分法叫平均分。
3．引入的路徑要體現(xiàn)概念產(chǎn)生的背景。
教師要根據(jù)概念產(chǎn)生的不同背景，因“材”施教，選定最佳的引入路徑，盡力排除非本質(zhì)屬性的干擾，讓學(xué)生盡快觸及概念的本質(zhì)特點(diǎn)，體現(xiàn)概念建立過程的高效化。
例如，在教學(xué)“質(zhì)數(shù)、合數(shù)”時(shí)，有位老師先組織學(xué)生操作學(xué)具：分別用2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)……20個(gè)小正方形去擺成一個(gè)長方形，然后引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)擺出的長方形個(gè)數(shù)與小正方形的個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系，再逐步引到質(zhì)數(shù)、合數(shù)。殊不知，教者刻意追求創(chuàng)新，不僅在擺長方形上花費(fèi)了大量的時(shí)間，還人為地增加了非本質(zhì)屬性的干擾，反而影響了對概念的直接感知，真是得不償失。其實(shí)，可以利用約數(shù)的概念直接引入質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念。讓學(xué)生先分別求出一些自然數(shù)的約數(shù)，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)有幾個(gè)約數(shù)進(jìn)行分類，從分類情況便可引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)。這才是引入質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念最簡捷的路徑。
二、感知要到位
教學(xué)中，教師要根據(jù)概念的具體特點(diǎn)，精心組織感知活動，為形成表象進(jìn)而抽象概括出概念提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
1．感知要全面。
首先，提供的感性材料要注意形式上的充足性。如教學(xué)“認(rèn)識長方體、正方體”時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀察幾組對比鮮明的長方體實(shí)物：大小懸殊的兩個(gè)長方體——藥箱和粉筆盒；空心和實(shí)心的兩個(gè)長方體——木塊和玻璃缸；質(zhì)地不同的兩個(gè)長方體；顏色不同的兩個(gè)長方體，等等。通過觀察，然后進(jìn)行抽象概括，撇開材料、 大小、顏色等非本質(zhì)屬性，而只注意它仃寸的形狀，從而明確了這些物體都是長方體。
其次，提供的感性材料要注意內(nèi)容上的完整性。如教學(xué)“認(rèn)識角”時(shí)，既要讓學(xué)生感知直角、銳角、鈍角等不同種類的角，又要注意變化角的大小和角的開口方向，這樣才能獲得對角的清晰認(rèn)識。又如教學(xué)“比的意義”，就不能在感知了兩個(gè)同類量的比以后就急于概括出比的概念，而應(yīng)該進(jìn)一步感知兩個(gè)不同類量的比，從而讓學(xué)生對比形成完整的認(rèn)識。
再次，提供感性材料時(shí)要注意方法上的多樣性。如在幾何概念教學(xué)中，可先通過實(shí)物呈現(xiàn)讓學(xué)生直觀獲得感知覺、表象的觀念，然后輔以模型，借助于著色、放大、對比、反襯、動態(tài)等手段，使本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征產(chǎn)生強(qiáng)烈對比，使學(xué)生感性認(rèn)識的范圍加以擴(kuò)大，從而突出事物的本質(zhì)特征。與此同時(shí)，通過語言的直觀描述喚起學(xué)生生動的表象，從而使感性材料的來源更豐富多樣。
2．感知要鮮明。
在引導(dǎo)學(xué)生感知的過程中，要有明確的感知目標(biāo)，并逐漸加大對概念本質(zhì)特征刺激的強(qiáng)度。如教學(xué)“比的意義”時(shí)，我從猜粉筆支數(shù)的游戲引入：第一次左手拿2支白粉筆，右手拿4支紅粉筆；第二次左手拿3支白粉筆，右手拿6支紅粉筆；第三次左手拿4支白粉筆，讓學(xué)生猜右手該拿幾支紅粉筆，并說一說是怎么想的。根據(jù)學(xué)生回答，板書出4÷2=2，2÷4=1/2；6÷3=2，3÷6=1/2；8÷4=2，4÷8=1/2這三組算式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)白粉筆與紅粉筆之間存在著倍數(shù)關(guān)系，也就是兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。再出示例1，啟發(fā)學(xué)生想一想2杯果汁和3杯牛奶是否也存在兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。由此引入果汁杯數(shù)是牛奶杯數(shù)的2/3，也可以說成果汁杯數(shù)與牛奶杯數(shù)的比是2：3，2/3和2：3都表示出2和3這兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。引入比的概念后，讓學(xué)生進(jìn)一步理解牛奶杯數(shù)與果汁杯數(shù)的比表示的就是3÷2。接著出示例2，根據(jù)路程、時(shí)間和速度之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生很容易理解路程與時(shí)間之間也存在兩個(gè)數(shù)相除關(guān)系，因而同樣可用比來表示，而時(shí)間和速度 之間存在的是兩個(gè)數(shù)相乘的關(guān)系，是不能用比來表示的。這樣，概括比的意義便水到渠成學(xué)生對比與分?jǐn)?shù)、除法之間的聯(lián)系自然就會十分清楚。
3．感知要遞進(jìn)。
學(xué)生對事物的認(rèn)識是由表及里、由淺人深遞進(jìn)式發(fā)展的。因而教學(xué)中要十分重視概念的感知過程，引導(dǎo)學(xué)生漸漸“逼近”對概念本質(zhì)特征的認(rèn)識。
如教學(xué)“認(rèn)識角”時(shí)，先出示學(xué)生熟悉的五角星、三角板，讓學(xué)生指出其中的角，憑借日常概念一般學(xué)生都以為尖的地方就是角，這時(shí)教師有意識地把三角板放在黑板上，按照學(xué)生所指的地方畫下來。當(dāng)拿去三角板，看到黑板上畫的是一個(gè)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生才恍然大悟。經(jīng)教師啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生再次指的時(shí)候不僅指出了角的頂點(diǎn)，還指出了角的兩條邊。這時(shí)，學(xué)生看著黑板上留下的圖形，就對角形成了初步的表象。在進(jìn)一步豐富感知的基礎(chǔ)上，通過求同思維，很容易獲得“角有一個(gè)頂點(diǎn)，兩條邊”的認(rèn)識。學(xué)生的感知經(jīng)歷了一個(gè)從模糊到清晰的遞進(jìn)過程。
4．感知要深刻。
感知活動不能浮于表面，而應(yīng)真正觸及并涵蓋概念的全部意義，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入對概念透徹理解的層面，使概念的建立既深刻又牢固。如教學(xué)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”時(shí)，我設(shè)計(jì)了一系列感知活動，讓學(xué)生獲得對1/2全面而深刻的認(rèn)識。(1)用圓形紙片代替蛋糕，把它平均分成2份，理解1/2的實(shí)際意義。(2)要求學(xué)生用多種材料也得到它們的1/2，拓展1/2的實(shí)際意義。(3)觀察比較大小懸殊的兩個(gè)蛋糕的1/2，幫助學(xué)生初步建立單位“1”的概念，即弄清“是誰的1/2”。(4)用自己喜歡的方式(畫圖或?qū)嶋H操作)表示出1/2，從實(shí)際意義上升到抽象意義。
三、抽象要適時(shí)
1．把握好抽象的“火候”，及時(shí)擺脫對于直觀感知的依賴。
學(xué)生由直觀感知所獲得的對于概念的認(rèn)識是粗略的、膚淺的，而且具有局限性和片面性。若能及時(shí)喚起他們頭腦中的有關(guān)表象，發(fā)揮表象的中介作用，就可以使學(xué)生逐步擺脫對于具體感知材料的依賴，克服直觀感知中的局限性。以此為基礎(chǔ)’進(jìn)行抽象概括活動，就能揭示概念的內(nèi)涵，使學(xué)生最終形成概念。因此，能否及時(shí)擺脫對直觀感知的依賴，反映出學(xué)生對概念的認(rèn)識水平。
如教學(xué)“11—20各數(shù)的認(rèn)識”，教師把握了抽象的時(shí)機(jī)，在直觀感知建立計(jì)數(shù)單位“十”以后，幫助學(xué)生及時(shí) 上升到抽象思維水平。(1)通過拿鉛筆的活動，讓學(xué)生 知道12支鉛筆可以一支一支地拿，也可以1捆帶2支地拿，感知引進(jìn)計(jì)數(shù)單位“十”的必要性。(2)舉出生活中10個(gè)一包裝成一份的例子，感受計(jì)數(shù)單位“十”的應(yīng)用價(jià)值。(3)把10根小棒捆成一捆，建立計(jì)數(shù)單位“十”，強(qiáng)化對10個(gè)一就是一個(gè)十的認(rèn)識。(4)應(yīng)用計(jì)數(shù)單位“十”，通過擺小棒抽象出對11—20各數(shù)的認(rèn)識。如用1捆帶3根小棒表示13后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生離開小棒理解13就是1個(gè)十和3個(gè)一，反之一個(gè)十和3個(gè)一就組成13。(5)認(rèn)識11～20各數(shù)的大小和順序，培養(yǎng)數(shù)感。
2．體現(xiàn)教學(xué)的層次性，逐步提高抽象程度。
由于受小學(xué)生認(rèn)知能力的制約和知識本身比較抽象的影響，有時(shí)需引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)分層次逐步抽象的過程，讓他們拾級而上，步步為營，確保達(dá)到一定的抽象程度。
例如，在學(xué)生已經(jīng)初步理解可能性的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生建立“等可能性”的概念，我安排了4個(gè)層次的教學(xué)活動。
(1)猜一猜。出示裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球的袋子，讓學(xué)生猜一猜：從中隨意摸出一個(gè)球可能會是什么顏色的球?假如把摸出的球再放人袋中，再從中隨意摸一個(gè)，如此重復(fù)40次，摸到兩種球的次數(shù)會是怎樣的?由于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和思維水平的差異，會作出不同的判斷，從而產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的需要，同時(shí)激起學(xué)生的探究興趣。
(2)摸一摸。學(xué)生分小組操作，并對摸球結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在每一組交流摸球結(jié)果后，引導(dǎo)學(xué)生說一說觀察每一組摸到兩種球的次數(shù)后的發(fā)現(xiàn)。這里只要讓學(xué)生初步感知到兩種球出現(xiàn)的次數(shù)都較接近。
(3)算一算。把兩個(gè)組、三個(gè)組……所有組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，逐次相加，并分別觀察兩種球出現(xiàn)的次數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么?至此，讓學(xué)生感知到隨著摸球次數(shù)的不斷增加，兩種球出現(xiàn)的次數(shù)越來越接近，由此抽象出“兩種球出現(xiàn)的次數(shù)差不多”。
(4)想一想。引導(dǎo)學(xué)生想象，當(dāng)摸球次數(shù)增加到無限多時(shí)，摸到兩種球的可能性大小會怎樣?“等可能性”的概念便呼之欲出。
四、鞏固要及時(shí)
1．注重概念的理解。
一方面要幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵。其主要方法有：(1)判斷。如運(yùn)用三角形概念判斷所提供的圖形是不是三角形并說明理由，讓學(xué)生進(jìn)一步明確三角形的本質(zhì)特征。(2)舉例?？梢宰寣W(xué)生舉實(shí)例進(jìn)一步解釋概念，使概念具體化，也可舉反例強(qiáng)化對概念內(nèi)涵的理解。如用足球場上的比分強(qiáng)化對比的意義的理解。(3)變式。如教垂直概念時(shí)，可運(yùn)用變式方法畫出各種不同的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，加強(qiáng)對垂直的理解。(4)比較。將相近易混的概念加以比較，更加突出它們的本質(zhì)屬性。如“周長”和“面積”可從意義、計(jì)量單位等方面進(jìn)行比較。
另一方面要幫助學(xué)生理解概念的外延。其主要方法有：(1)強(qiáng)化。如讓學(xué)生判斷15/24能否化成有限小數(shù)。教師故設(shè)疑問：這個(gè)分?jǐn)?shù)分母中含有因數(shù)3怎么也能化成有限小數(shù)呢?是不是與得到的結(jié)論相矛盾呢?由此，強(qiáng)化了一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)是在“一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)”前提下歸納出來的。(2)補(bǔ)充。概念揭示的是事物的一般性，對于特殊性必須作補(bǔ)充說明，從而獲得全面認(rèn)識。如認(rèn)識長方體后，讓學(xué)生知道有兩個(gè)相對的面是正方形的長方體以及正方體都是特殊的長方體。(3)擴(kuò)展。即對概念的適用范圍作一定的拓展和延伸。如，對于乘法分配律，可出現(xiàn)(a+b+c)d=ad+bd+cd、(a-b)c=ac-bc等形式。
2．注重概念的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)概念主要是在應(yīng)用中得到鞏固的。通過概念的應(yīng)用，除了能加深學(xué)生對概念的理解，促進(jìn)概念的鞏固外，還有利于啟迪學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。同時(shí)，通過概念應(yīng)用，可以檢驗(yàn)學(xué)生理解和掌握概念的情況，以便及時(shí)彌補(bǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用形式大致有：應(yīng)用概念進(jìn)行判斷；應(yīng)用概念分析推理；應(yīng)用概念分析數(shù)量關(guān)系，指導(dǎo)計(jì)算；概念的綜合應(yīng)用。
3．注重概念的建構(gòu)。
數(shù)學(xué)概念之間存在著種種的關(guān)系，如交叉關(guān)系、反對關(guān)系、并列關(guān)系、種屬關(guān)系等。當(dāng)人們頭腦中建立了概念間的這些聯(lián)系時(shí)，就形成了一定的概念系統(tǒng)。幫助學(xué)生逐步建立一定的概念系統(tǒng)，這是概念教學(xué)的重要組成部分。在概念的系統(tǒng)中教學(xué)概念，學(xué)生容易理解，容易掌握。比如，教某一新概念時(shí)，講清它的來龍去脈，將它納入到原有的概念系統(tǒng)中去，不但能使學(xué)生全面、深刻地理解新概念，而且還能使原有概念得到充實(shí)和發(fā)展，更加鞏固。同時(shí)，由于系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識具有良好的抗遺忘作用，所以，建立概念結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生掌握概念，鞏固概念。
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