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高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1. 元素與集合的關(guān)系

, .

2.德摩根公式

.

3.包含關(guān)系

2．集合 的子集個(gè)數(shù)共有  個(gè)；真子集有 –1個(gè)；非空子集有  –1個(gè)；非空的真子集有 –2個(gè).

3.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式 ;

(2)頂點(diǎn)式 ;

(3)零點(diǎn)式 .

4.充要條件

（1）充分條件：若 ，則 是 充分條件.

（2）必要條件：若 ，則 是 必要條件.

（3）充要條件：若 ，且 ，則 是 充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

5.若將函數(shù) 的圖象右移 、上移 個(gè)單位，得到函數(shù) 的圖象；若將曲線 的圖象右移 、上移 個(gè)單位，得到曲線 的圖象.

6.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

(1) （ ，且 ）.

(2) （ ，且 ）.

7．根式的性質(zhì)（1） ；（2）當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， ；

當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， .

8．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)  .

(2) .

(3) .

9.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式    _.

10.對(duì)數(shù)的換底公式

 ( ,且 , ,且 , ).

推論 ( ,且 , ,且 , , ).

11．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

(1) ;

(2) ;

(3) .

12.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

( 數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ).

13.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式  ；

其前n項(xiàng)和公式為 .

14.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式  ；

其前n項(xiàng)的和公式為  或 .

15.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式     ； = 。

16.和角與差角公式

； ；

。

= (輔助角 所在象限由點(diǎn) 的象限決定,  ).

17.二倍角公式  

； ；

.

18.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù) ，x∈R及函數(shù) ，x∈R(A,ω, 為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期 ；函數(shù) ， (A,ω, 為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期 .

19.正弦定理    .

20.余弦定理

； ； .

21.三角形面積定理

（1） （ 分別表示a、b、c邊上的高）.

（2） .

22.三角形內(nèi)角和定理 

在△ABC中，有

。

23.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

24.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1) a·b= b·a （交換律）;

(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;

(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

25．向量平行的坐標(biāo)表示  

設(shè)a= ,b= ，且b 0，則a b(b 0) .

26. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)  a·b=|a||b|cosθ．

27.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a= ,b= ，則a+b= .

(2)設(shè)a= ,b= ，則a-b= . 

(3)設(shè)A ，B ,則 .

(4)設(shè)a= ，則 a= .

(5)設(shè)a= ,b= ，則a·b= .

28.兩向量的夾角公式   (a= ,b= ).

29.平面兩點(diǎn)間的距離公式

= (A ，B ).

30.向量的平行與垂直

設(shè)a= ,b= ，且b 0，則

A||b b=λa .

a b(a 0) a·b=0 .

31.常用不等式：

（1） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

（2） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

（3）柯西不等式    

（4） .

32.最值定理

已知 都是正數(shù)，則有

（1）若積 是定值 ，則當(dāng) 時(shí)和 有最小值 ；

（2）若和 是定值 ，則當(dāng) 時(shí)積 有最大值 .

33.斜率公式     （ 、 ）.

34.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式  (直線 過點(diǎn) ，且斜率為 )．

（2）斜截式 (b為直線 在y軸上的截距).

（3）兩點(diǎn)式 ( )( 、  ( )).

(4)截距式  ( 分別為直線的橫、縱截距， )

（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).

35.兩條直線的平行和垂直

(1)若 ，

① _;

② .

(2)若 , ,且A₁、A₂、B₁、B₂都不為零,

① ；

② ；

36.點(diǎn)到直線的距離

(點(diǎn) ,直線 ： ).

37. 圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .

（2）圓的一般方程 ( ＞0).

38.橢圓 的參數(shù)方程是 .

39．橢圓的的內(nèi)外部

（1）點(diǎn) 在橢圓 的內(nèi)部 .

（2）點(diǎn) 在橢圓 的外部 .

40.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或

（弦端點(diǎn)A ，由方程  消去y得到 ， , 為直線 的傾斜角， 為直線的斜率）.

41.雙曲線 的焦半徑公式

， .

42.雙曲線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn) 在雙曲線 的內(nèi)部 .

(2)點(diǎn) 在雙曲線 的外部 .

43.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1）若雙曲線方程為 漸近線方程： .

    (2)若雙曲線與 有公共漸近線，可設(shè)為 （ ，焦點(diǎn)在x軸上， ，焦點(diǎn)在y軸上）.

44.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律

(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

45.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 )，a∥b 存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．

46.共面向量定理

向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的 存在實(shí)數(shù)對(duì) ,使p＝xa＋yb．

47.空間向量基本定理  

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

48.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a＝ ，b＝ 則

(1)a＋b＝ ；

(2)a－b＝ ；

(3)λa＝  (λ∈R)；

(4)a·b＝ ；

49.設(shè)A ，B ，則 = 。

50．空間的線線平行或垂直

設(shè) ， ，則 ；

.

51.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A ，B ，則

= .

52.球的半徑是R，則

其體積 ,

其表面積 ．

53．柱體、錐體的體積

    柱體的體積V=

（ 是錐體的底面積、 是錐體的高）.

54.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）   .

55.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）   .

56.排列數(shù)公式

= = .( ， ∈N^*，且 )．

注:規(guī)定 .

57.組合數(shù)公式

= = = ( ∈N^*， ，且 ).

58.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

(1) =  ；(2) + = 。

注:規(guī)定 .

59.二項(xiàng)式定理   ；

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 .

60.等可能性事件的概率   .

59.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和   P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

60. 個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

61.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率   P(A·B)= P(A)·P(B).

62.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率 

63.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)

（1） ；（2） .

64.數(shù)學(xué)期望  

65.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)  .

66.方差  

67.方差的性質(zhì)    ；

68.標(biāo)準(zhǔn)差   = .

69. 函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)是曲線 在 處的切線的斜率 ，相應(yīng)的切線方程是 .

70.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1) （C為常數(shù)）。(2) 。(3) 。

(4) 。(5) ； 。

(6) ; .

71.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

（1） .（2） .（3） .

72.判別 是極大（?。┲档姆椒?span lang="EN-US">

當(dāng)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)時(shí)，

（1）如果在 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 是極大值；

（2）如果在 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 是極小值.

73.復(fù)數(shù)的相等  .（ ）

74.復(fù)數(shù) 的模（或絕對(duì)值） = = .

75.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

76．幾個(gè)統(tǒng)計(jì)常量

（1）樣本均值. ;

（2）樣本方差. ;