張景中老師一直努力使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得容易些，提出的觀點(diǎn)對(duì)我有很大的啟發(fā)。今碰到百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)問題，希望能得到指導(dǎo)。
聽到這樣一個(gè)提問：百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)嗎。
初次聽到這個(gè)問題，直觀感覺很奇怪：百分?jǐn)?shù)就是分母為100的 分?jǐn)?shù)，怎么可能不是分?jǐn)?shù)呢。
學(xué)生展開的作業(yè)，再次讓我感到吃驚。題目要求：說(shuō)出分母為100的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的區(qū)別。學(xué)生寫出的答案共有5點(diǎn)不同。問一句答案的依據(jù)，學(xué)生說(shuō)不清，也不愿意在這上面花費(fèi)時(shí)間。有些觀點(diǎn)，說(shuō)的好像有理，可又找不出依據(jù)。例如學(xué)生列出的一點(diǎn)是：百分?jǐn)?shù)的分子可以為小數(shù)，而分母為100的分?jǐn)?shù)的分子不能為小數(shù)。
對(duì)這一點(diǎn)，查教科書、詞典等工具書，沒有一本書明確的說(shuō)分?jǐn)?shù)的分子不能為小數(shù)。而是說(shuō)分?jǐn)?shù)中的/號(hào)等同于除號(hào)。這真如張老師所說(shuō)，書淺而題深。對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生是如何建立起這樣的概念的呢。應(yīng)該是有這樣的學(xué)習(xí)參考資料。從看到 一些資料，可以看出一點(diǎn)觀點(diǎn)形成的脈絡(luò)。
一、人教版三年級(jí)教材培訓(xùn)有如下內(nèi)容
1從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次擴(kuò)展，因此要利用學(xué)生熟悉的生活情境幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。
2……教材直接說(shuō)明像這樣的數(shù)都是分?jǐn)?shù)，這兒并沒有對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行文字性的定義。教學(xué)時(shí)不要拔高要求。
我們理解：“從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次擴(kuò)展”，在我們現(xiàn)在的教學(xué)編排次續(xù)是先教分?jǐn)?shù)再教小數(shù)，在這之前，學(xué)生只學(xué)了整數(shù)，所以說(shuō)從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次擴(kuò)展。對(duì)分?jǐn)?shù)的分子分母能否為小數(shù)，這里并沒有規(guī)定。因?yàn)檎J(rèn)定的基點(diǎn)是學(xué)生不認(rèn)識(shí)小數(shù)，對(duì)小數(shù)問題，在這里也不可能提及。
從2“教材直接說(shuō)明像這樣的數(shù)都是分?jǐn)?shù)，這兒并沒有對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行文字性的定義。教學(xué)時(shí)不要拔高要求。”這一條來(lái)看，也只是說(shuō)分子、分母為整數(shù)的數(shù)是分?jǐn)?shù)，至于其他形式是不是分?jǐn)?shù)，并沒有說(shuō)。
二、五年級(jí)分?jǐn)?shù)教材培訓(xùn)內(nèi)容節(jié)選
1．分?jǐn)?shù)的意義
分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生
通過測(cè)量與分物，引入分?jǐn)?shù)，使學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)是適應(yīng)客觀需要而產(chǎn)生的。
分?jǐn)?shù)的意義
（1）單位“1”既可以表示一個(gè)物體，也可以表示一些物體，體現(xiàn)了部分與整體的關(guān)系。同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示不同的具體量，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的抽象性。
（2）分?jǐn)?shù)單位的概念。
分?jǐn)?shù)與除法
（1）體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)來(lái)源：計(jì)算時(shí)往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，常用分?jǐn)?shù)來(lái)表示?？蓮臄?shù)系的擴(kuò)展角度來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。
（2）分?jǐn)?shù)與除法的統(tǒng)一點(diǎn)：對(duì)一個(gè)整體進(jìn)行平均分。
（3）為后面的假分?jǐn)?shù)以及把假分?jǐn)?shù)改寫成整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)做準(zhǔn)備。
（1）把許多物體（3塊月餅）平均分成4份，求每份是多少。用除法的意義列出除法算式3÷4，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義得到每份是
（2）通過圖示得到分?jǐn)?shù)結(jié)果，方法多樣：一、用操作或圖示法。二、推理：1塊月餅平均分給4人，每人分得
到了五年級(jí)，問題就有點(diǎn)復(fù)雜了，因?yàn)檫@時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過小數(shù)了，所有的表述是否含有
小數(shù)，是分?jǐn)?shù)的分子能否為小數(shù)的關(guān)鍵。
從分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生：“通過測(cè)量與分物，引入分?jǐn)?shù)，使學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)是適應(yīng)客觀需要而產(chǎn)生的”。被測(cè)物或者被物，能否為小數(shù)?
從分?jǐn)?shù)的意義：“（1）單位“1”既可以表示一個(gè)物體，也可以表示一些物體，體現(xiàn)了部分與整體的關(guān)系。同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示不同的具體量，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的抽象性”。在這里多了一個(gè)對(duì)單位“1”的理解問題，和“一些”物體的表示問題，能為小數(shù)嗎？
從分?jǐn)?shù)與除法：
（1）體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)來(lái)源：計(jì)算時(shí)往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，常用分?jǐn)?shù)來(lái)表示?？蓮臄?shù)系的擴(kuò)展角度來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。
（2）分?jǐn)?shù)與除法的統(tǒng)一點(diǎn)：對(duì)一個(gè)整體進(jìn)行平均分。
（3）為后面的假分?jǐn)?shù)以及把假分?jǐn)?shù)改寫成整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)做準(zhǔn)備。
這里關(guān)鍵如何理解：對(duì)一個(gè)整體進(jìn)行平均分。象所舉的例子那樣，3塊月餅可以代表一個(gè)整體，3.5塊行么？“平均分”也有不同理解，一種認(rèn)為，平均分就是按多少份平均分，我們認(rèn)為還可以從測(cè)量的角度：按標(biāo)準(zhǔn)量去分。
學(xué)習(xí)到這里，沒見到分子不能是小數(shù)的明確說(shuō)法。如果把分?jǐn)?shù)與除法等同的話，應(yīng)該是可以的。
在講解中有這么一句話“利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把分?jǐn)?shù)改寫成相等的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。”，這里出了一個(gè)新名詞“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”，在以后的學(xué)習(xí)中也見到過“繁分?jǐn)?shù)”
就是未見到“簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”這個(gè)名詞。在網(wǎng)上能查到簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)就是分子分母為整數(shù)的分?jǐn)?shù)。但網(wǎng)上的只能做參考，不能作為依據(jù)。如果按這個(gè)理解，倒也都說(shuō)的通：通常沒有特別指明的分?jǐn)?shù)指的都是簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
三、看一下張教授培訓(xùn)課的部分內(nèi)容：
注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì) 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)（1）
張奠宙 教授 數(shù)學(xué)教育家 華東師范大學(xué)
唐彩斌 中學(xué)高級(jí)教師 浙江杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心
張：對(duì)，用份數(shù)的定義來(lái)引入分?jǐn)?shù)是非常自然的。但我覺得這樣也有缺點(diǎn)，最后是一份或幾份，那究竟是自然數(shù)還是分?jǐn)?shù)？這樣不太明確。因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義，分?jǐn)?shù)的定義就是，分?jǐn)?shù)是兩個(gè)正整數(shù)a，b，a除以b的商。所以分?jǐn)?shù)是一個(gè)商，這個(gè)概念我們現(xiàn)在注意的不夠，而這恰恰是我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的核心所在。用a除以b，當(dāng)除的盡、時(shí)（整除），就是原來(lái)的自然數(shù)，沒什么問題，問題就在除不進(jìn)的情況下面，那么我們就得到了一個(gè)分?jǐn)?shù)，這就是分?jǐn)?shù)所以要成為分?jǐn)?shù)根本的原因，就是除不盡的情況下需要分?jǐn)?shù)，除的盡就不需要分?jǐn)?shù)了。
我們不知到這里對(duì)兩個(gè)正整數(shù)的規(guī)定是否針對(duì)低年級(jí)的學(xué)生的還是針對(duì)高年級(jí)學(xué)生的？分?jǐn)?shù)是兩個(gè)正整數(shù)a，b，a除以b的商，如果是針對(duì)高年級(jí)的，那么一些參考書就找到了一點(diǎn)依據(jù)。
四、書店里不少小學(xué)生的參考資料上有分?jǐn)?shù)的分子不能為小數(shù)的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論帶來(lái)了：在人教論壇上反復(fù)有人問:百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)嗎？說(shuō)它不是分?jǐn)?shù)，那它是數(shù)么？。斑竹的回答是：你需要是它就是，需要不是，它就不是。
如此解答，怎么面對(duì)學(xué)生。這類雞肋問題，不知何年能夠解決。
彼益 2010、08、03
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