愛德華·洛倫茨（Edward lorenz），在氣象研究中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象
撰文 | 張?zhí)烊兀绹轮荽髮W奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 寒凌旭
審校 | 張雙南（中國科學院高能物理研究所研究員）
鄭永春（中國科學院國家天文臺副研究員）
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上一篇介紹了月亮和地球的“潮汐鎖定”。引力對于“非質點”物體的“潮汐”效應使得月球永遠只將它的一面示于地球，這是月亮自轉公轉周期以1:1鎖定的結果。在太陽系的行星及衛(wèi)星中，類似的鎖定例子非常多，并且，鎖定的比例也不見得一定是1:1，可能是3:2、4:3……或許是其它整數(shù)比。還有可能是好幾個“鎖定”的合成效應，那時需要將多個整數(shù)比值相加。
由于宇宙（太陽系）是一個多體系統(tǒng)，只是在一定的情況下，才用二體（或三體）模型來近似，得以方便研究它們而已。牛頓引力的“二體（質點）問題”，有很漂亮的、軌道為解析圓錐曲線的精確解。然而，對三體系統(tǒng)，即使將三天體全當作質點，大多數(shù)時候也帶給我們難以解決的數(shù)學問題，見下文的“龐加萊三體問題”。如果再將天體看成有形狀有大小、會自轉的剛體，便更為復雜了。但這種復雜性卻為我們展示了非常有趣的運動圖景，其中之一便是此篇將介紹的“混沌自轉”。
首先簡要介紹什么是混沌。
科學界使用“混沌”一詞，描述非線性動力學系統(tǒng)的“不可預測性”。這種不可預測導致某些看起來“亂七八糟”無規(guī)律的行為。按照二十世紀之前人們理解的經典牛頓力學，宇宙似乎可以被想象成一個巨大的機器，是有序、規(guī)則、可預測的。只要初始條件給定了，所有天體將來的運動都完全可知和可預測。但之后的深入研究表明，在很多情況下，初始條件的些微改變，將造成完全不同的結果，即“差之毫厘，失之千里”。
這個領域的開創(chuàng)人是美國科學家愛德華·洛倫茨（1917年-2008年），他在氣象研究中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)氣象預報對初始條件的無比敏感性。如何直觀地解釋這種敏感性？好比是美國紐約的一只蝴蝶扇了扇翅膀，就可能在大氣中引發(fā)一系列的連鎖事件，從而導致之后的某一天，中國上海將出現(xiàn)一場暴風雨！因此，后來人們也將混沌稱為“蝴蝶效應”【1】。
蝴蝶效應打破了人們精確預測未來的幻想，也更為正確地解釋了自然現(xiàn)象。正如美國歷史學家亨利·亞當斯所說：“Chaos was the law ofnature; Order was the dream of man.”，這兒的亞當斯不是美國總統(tǒng)，而是兩位總統(tǒng)所屬“亞當斯家族”的后代成員之一，他所說“混沌”一詞的意義也有所不同。但是，洛倫茨所發(fā)現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，在科學及人文界的例子屢見不鮮，事實的確如此：“混沌是常態(tài)，次序只是人們美好的愿望。”
比如說，生態(tài)學家羅伯特·梅，在研究昆蟲繁衍的“蟲口”（類似人口）問題時發(fā)現(xiàn)混沌理論中的分岔現(xiàn)象；金融家們在分析股票市場數(shù)據(jù)時也發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象；研究互聯(lián)網(wǎng)及社交網(wǎng)絡的大數(shù)據(jù)，也能找到混沌。此外，我們每個人的心跳節(jié)律及腦電波等，都能看到混沌的蹤影。
圖1：圖片來自網(wǎng)絡。http://www.physionet.org/tutorials/ndc/
甚為有趣的是，醫(yī)學家們原來以為“混沌”的心律也許與心臟病態(tài)有關，但后來卻發(fā)現(xiàn)，健康成人的心率曲線是凹凸不平的不規(guī)則形狀，貌似混沌。而癲癇病人和帕金森病患者的心率曲線反而呈現(xiàn)更多的規(guī)則性和周期性行為，表現(xiàn)得更有規(guī)律，如圖1所示。
昂利·龐加萊（Henn Poincare，1854-1912）被公認是19世紀后和20世紀初的領袖數(shù)學家，他從三體運動最早研究了與天文有關的混沌現(xiàn)象。
圖2：限制性三體問題
龐加萊企圖定性地研究包括小塵埃和兩個大星球的‘限制性三體問題’，也就是說，小塵埃的質量大大小于大星體的質量。在這種情形下，兩個大星球的二體問題可以首先精確求解，大星球1和2相對作橢圓運動。龐加萊需要定性描述的只是小塵埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的運動軌跡，但如圖2右圖的曲線所示，一定的情況下，小塵埃的軌道可能是“混沌”的。
單擺是大家所熟悉的，如果擺動幅度很小的話，是簡單、確定、可預測的簡諧運動。
圖3：單擺的混沌
如圖3a所示的單擺，當角度很小時，擺動頻率是單一的，可以看成是僅由擺長決定的簡諧運動，相圖是一個規(guī)則的橢圓（圖3b）。但是在有外力的一定條件下，擺動幅度逐漸增大，新的頻率分量將不斷出現(xiàn)，有時還會產生轉動模式，其振動及轉動的次數(shù)、位置、方向，看起來越來越貌似隨機和不確定，最后會過渡到圖3c所示的混沌狀態(tài)。
將一根單擺連接在另一個單擺的尾部所構成的系統(tǒng)叫做雙擺。雙擺構造簡單卻很容易觀察到復雜的混沌行為，見圖4。
圖4：雙擺的混沌運動軌跡
在對混沌理論作出關鍵貢獻的學者中，有一位華人科學家李天巖。李生于福建沙縣，三歲時隨父母到臺灣，大學畢業(yè)后到美國攻讀博士學位，后來一直在美國密執(zhí)安州立大學（Michigan State University）數(shù)學系任教。李天巖定居美國后數(shù)十年，長時期與可惡的病魔作斗爭。歷經洗腎、換腎、心血管開刀等大手術十余次。意志力驚人的李天巖，長年累月在病床上堅持研究工作，在應用數(shù)學與計算數(shù)學中作出了不少第一流開創(chuàng)性的貢獻【2】。
正是李天巖和他當年的博士論文指導教授約克（James A. Yorke），一起創(chuàng)造了混沌（chaos）這個名字，他們在研究洛倫茨的“氣象混沌”工作時，以數(shù)學家的敏銳直覺，猜測混沌現(xiàn)象的產生與周期3有關，為混沌行為建立了數(shù)學基礎。
周期3是什么意思呢？可以用一個直觀但也許不十分恰當?shù)谋扔鱽斫忉專簬讉€周期就是幾個人傳球，周期1時只有1個人，丟來丟去還是丟在1個人手上；周期2就是兩個人傳來傳去；周期3就三個人，周期4就是四個人了。周期1和周期2的結果是簡單而可預測的，到了3以上，傳球的方式增加到很多種，開始有產生混沌的可能性。
李天巖和約克為混沌取名的文章“周期3即混沌”，使人聯(lián)想到老子的名言：“一生二，二生三，三生萬物?！饼嫾尤R研究的三體問題也有個“3”，看來，于混沌而言，3的確是一個關鍵的數(shù)目！
土星和木星類似，有一個諸多衛(wèi)星組成的大家庭，這個家庭是太陽系中最多種多樣的。它已經確認的衛(wèi)星有62顆，其中有7顆質量較大且呈球形，看起來更像“衛(wèi)星”。而其余的大多數(shù)衛(wèi)星奇形怪狀，因為它們質量都太小，尚不能靠自身的引力平衡而形成球形，看起來像是許多在土星的天空中游蕩的小石頭。其中有一顆與混沌現(xiàn)象有關的“小石頭”是土衛(wèi)七（Hyperion），見圖5a。除此之外，看起來美麗的土星環(huán)中還有難以計數(shù)的“小小石頭”衛(wèi)星。
圖5：土衛(wèi)七
圖5b中所畫的是土衛(wèi)六和土衛(wèi)七圍繞土星轉動軌道的示意圖，其中的3個天體大小比例遠不是真實情況的比例。就質量而言，土星相當于95倍地球質量，土衛(wèi)六只有0.0225倍地球質量，大約只有土星質量的萬分之二，而“小石頭”土衛(wèi)七的質量，還不到土衛(wèi)六質量的萬分之一，見圖6。
別看土衛(wèi)六質量只有土星的萬分之二，它可是土星衛(wèi)星中的“老大哥”，完全有資格瞧不起其它所有的“弟弟”，因為土衛(wèi)六的質量占了所有環(huán)繞土星物體總質量的百分之96。即使在整個太陽系中，土衛(wèi)六的大小也只是僅次于木衛(wèi)三，屈居老二。
不過，土衛(wèi)六的旁邊帶了一個頗有特色的“小弟弟”，那就是土衛(wèi)七。
圖6：太陽系各行星的主要衛(wèi)星大小比較圖（來自維基百科）
土衛(wèi)七是土衛(wèi)六最鄰近的衛(wèi)星，軌道比土衛(wèi)六稍大。空中漂浮著的土衛(wèi)七粗看起來像個土豆，長度大約360公里，直徑270公里，是太陽系中最大的非球體天體之一。不久前美國宇航局的卡西尼探測器飛過土衛(wèi)七，將它“細”看了一下，發(fā)現(xiàn)它有一張恐怖的“麻臉”，原來在土衛(wèi)七上布滿了大大小小的遭遇小天體撞擊的隕石坑。也有人將土衛(wèi)七的這種多孔外觀與“海綿”比較，稱其為“海綿衛(wèi)星”。不過，土衛(wèi)七最令人感興趣的是它的混沌旋轉。這是什么意思呢？就是將我們剛才介紹的“混沌”概念用在土衛(wèi)七的自轉軸和自轉速度（周期）上。也就是說，它的旋轉周期和方向都在不停地、貌似隨機地改變著，無法預測。
眾所周知，地球自轉的周期是24小時左右，自轉軸方向基本固定，與公轉平面保持66度34分左右的斜度。地球自轉的轉軸和周期也會變化，但非常緩慢，好些年才偏離一點點。所以，我們每天早上看見太陽從東邊升起，下午往西邊落下，晝夜規(guī)則地交替循環(huán)，人體的生物鐘也就跟著運轉。但是，如果有幾個宇航員登陸到土衛(wèi)七上面去生活一段時間，那他們可就慘了?？匆娞栂律街?，不知道它什么時候會再升起來？也許1小時，也許幾小時，也許幾十小時？都說不準。也不知道太陽會從哪個方向出來？哪個方向落下？也似乎無規(guī)可循。
因此，天體的混沌自轉，對天體上的生物而言，就是晝夜交替的混沌。
土衛(wèi)七的自轉為什么會呈現(xiàn)混沌狀態(tài)呢？細節(jié)原因還有待專家們深入研究，但從混沌現(xiàn)象的一般規(guī)律來說，應該是與“三體”有關。
這三體就是土星、土衛(wèi)六、及土衛(wèi)七。土星的引力束縛使它成為一顆衛(wèi)星，而老大哥土衛(wèi)六的軌道與它靠得很近，影響頗大。兩個大天體，一個小天體，有點類似于前面例子中的“龐加萊三體問題”。不同的是，在“龐加萊限制性三體問題”中，小天體的軌道表現(xiàn)混沌，而在土衛(wèi)七的情況，表現(xiàn)混沌的不是它的軌道，是自轉特性。
也可以將土衛(wèi)七的混沌轉動與雙擺的例子類比：土星及土衛(wèi)六對土衛(wèi)七的強大引力，就像雙擺中的兩根“桿子”。桿子的轉角也是混沌的。
土衛(wèi)六的存在也影響到土衛(wèi)七的公轉軌道（雖然沒有混沌）。一是使得它的軌道具有較大的偏心率，見圖5b；二是使兩者的軌道產生共振，如圖7b所示。從卡西尼探測器傳回的數(shù)據(jù)證實，土衛(wèi)六與土衛(wèi)七有4:3的軌道共振。也就是說，土衛(wèi)六（周期16天）繞土星每轉4圈，土衛(wèi)七（周期21.3天）剛好繞土星轉了3圈。
圖7：軌道共振
圖7a顯示出一個太陽系中行星軌道共振的例子：地球和金星的繞日軌道共振為8:13。
我們把話題再回到土衛(wèi)七的自旋混沌。對太陽系中天體的觀測發(fā)現(xiàn)，如果一個天體偏離球形比較大，即使自轉已經被中心天體鎖定，它仍然會產生比較大的搖擺，一邊轉一邊擺。就像一個形狀不對稱的陀螺，高速旋轉時也免不了擺動。土衛(wèi)七離土星的距離比較遠，軌道的偏心率大，自身形狀不規(guī)則，又被旁邊的土衛(wèi)六強烈影響。多個因素產生許多不同的共振頻率并互相疊加，結果造成了它的混沌自轉。
很多不規(guī)則的天體都可能有這種混沌運動，不過觀測的資料有限，目前觀測到的自轉混沌，除了土衛(wèi)七之外，還有冥王星的幾顆小衛(wèi)星，如圖8所示。
凱倫的質量比較大，和冥王星一起被認為形成一個“雙星系統(tǒng)”，這兩個矮行星影響到周圍的兩顆（或幾顆）小衛(wèi)星，使它們大跳“混沌之舞”。
比如冥衛(wèi)二與冥衛(wèi)三，它們體積較小且形態(tài)不規(guī)則。這兩顆小衛(wèi)星是在新視野號升空之前由哈勃空間望遠鏡發(fā)現(xiàn)的。新視野號第一次辨認出了它們的輪廓和大型地貌。冥衛(wèi)二長度只有42千米，寬度36千米；冥衛(wèi)三長55千米、寬40千米。它們受到冥王星和凱倫復雜的雙星引力場的影響，加之自身形狀不規(guī)則，新視野號觀測到它們正在混沌地翻滾著，自轉軸方向和自轉周期都不確定【3】。
太陽系中，土星是唯一有混沌轉動衛(wèi)星的行星。誰對土星最了解呢？是探測土星12年的“卡西尼－惠更斯號”，我們將在下一篇中介紹它。
參考文獻：
【1】《蝴蝶效應之謎-走近分形與混沌》，張?zhí)烊?，清華大學出版社，2013年7月。
【2】中國數(shù)學家傳(第六卷) 李天巖，作者：丁玖，
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