摘要：
隨機(jī)數(shù)在實(shí)際運(yùn)用中非常之多，如游戲設(shè)計(jì)，信號(hào)處理，通常我們很容易得到平均分布的隨機(jī)數(shù)。但如何根據(jù)平均分布的隨機(jī)數(shù)進(jìn)而產(chǎn)生其它分布的隨機(jī)數(shù)呢？本文提出了一種基于幾何直觀面積的方法，以正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生為例討論了任意分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。
正文：
一、平均分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 大家都知道，隨機(jī)數(shù)在各個(gè)方面都有很大的作用，在vc的環(huán)境下，為我們提供了庫(kù)函數(shù)rand()來產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的整數(shù)。該隨機(jī)數(shù)是平均在0~RAND_MAX之間平均分布的，RAND_MAX是一個(gè)常量，在VC6.0環(huán)境下是這樣定義的：
#define RAND_MAX 0x7fff
它是一個(gè)short 型數(shù)據(jù)的最大值，如果要產(chǎn)生一個(gè)浮點(diǎn)型的隨機(jī)數(shù)，可以將rand()/1000.0這樣就得到一個(gè)0~32.767之間平均分布的隨機(jī)浮點(diǎn)數(shù)。如果要使得范圍大一點(diǎn)，那么可以通過產(chǎn)生幾個(gè)隨機(jī)數(shù)的線性組合來實(shí)現(xiàn)任意范圍內(nèi)的平均分布的隨機(jī)數(shù)。例如要產(chǎn)生-1000~1000之間的精度為四位小數(shù)的平均分布的隨機(jī)數(shù)可以這樣來實(shí)現(xiàn)。先產(chǎn)生一個(gè)0到10000之間的隨機(jī)整數(shù)。方法如下 ：
int a = rand()%10000;
然后保留四位小數(shù)產(chǎn)生0~1之間的隨機(jī)小數(shù)：
double b = (double)a/10000.0;
然后通過線性組合就可以實(shí)現(xiàn)任意范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，要實(shí)現(xiàn)-1000~1000內(nèi)的平均分布的隨機(jī)數(shù)可以這樣做：
double dValue = (rand()%10000)/10000.0*1000-(rand()%10000)/10000.0*1000;
則dValue就是所要的值。
到現(xiàn)在為止，你或許以為一切工作都已經(jīng)完成了，其實(shí)不然，仔細(xì)一看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有問題的，上面的式子化簡(jiǎn)后就變?yōu)椋?/span>
double dValue = (rand()%10000)/10.0-(rand()%10000)/10.0;
這樣一來，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)范圍是正確的，但是精度不正確了，變成了只有一位正確的小數(shù)的隨機(jī)數(shù)了，后面三位的小數(shù)都是零，顯然不是我們要求的，什么原因呢，又怎么辦呢。
先找原因，rand()產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)分辨率為32767，兩個(gè)就是65534，而經(jīng)過求余后分辨度還要減小為10000，兩個(gè)就是20000而要求的分辨率為1000*10000*2=20000000，顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。下面提供的方法可以實(shí)現(xiàn)正確的結(jié)果：
double a = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0;
double b = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0;
double dValue = a-b;
則dValue就是所要求的結(jié)果。在下面的函數(shù)中可以實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生一個(gè)在一個(gè)區(qū)間之內(nèi)的平均分布的隨機(jī)數(shù)，精度是4位小數(shù)。
double AverageRandom(double min,double max)
{
int minInteger = (int)(min*10000);
int maxInteger = (int)(max*10000);
int randInteger = rand()*rand();
int diffInteger = maxInteger - minInteger;
int resultInteger = randInteger % diffInteger + minInteger;
return resultInteger/10000.0;
}
但是有一個(gè)值得注意的問題，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生需要有一個(gè)隨機(jī)的種子，因?yàn)橛糜?jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是通過遞推的方法得來的，必須有一個(gè)初始值，也就是通常所說的隨機(jī)種子，如果不對(duì)隨機(jī)種子進(jìn)行初始化，那么計(jì)算機(jī)有一個(gè)確省的隨機(jī)種子，這樣每次遞推的結(jié)果就完全相同了，因此需要在每次程序運(yùn)行時(shí)對(duì)隨機(jī)種子進(jìn)行初始化，在vc中的方法是調(diào)用srand（int）這個(gè)函數(shù)，其參數(shù)就是隨機(jī)種子，但是如果給一個(gè)常量，則得到的隨機(jī)序列就完全相同了，因此可以使用系統(tǒng)的時(shí)間來作為隨機(jī)種子，因?yàn)橄到y(tǒng)時(shí)間可以保證它的隨機(jī)性。
調(diào)用方法是srand(GetTickCount()),但是又不能在每次調(diào)用rand()的時(shí)候都用srand(GetTickCount())來初始化，因?yàn)楝F(xiàn)在計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間比較快，當(dāng)連續(xù)調(diào)用rand()時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間還沒有更新，所以得到的隨機(jī)種子在一段時(shí)間內(nèi)是完全相同的，因此一般只在進(jìn)行一次大批隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生之前進(jìn)行一次隨機(jī)種子的初始化。下面的代碼產(chǎn)生了400個(gè)在-1~1之間的平均分布的隨機(jī)數(shù)。
double dValue[400];
srand(GetTickCount());
for(int i= 0;i < 400; i++)
{
double dValue[i] = AverageRandom(-1,1);
}
用該方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)運(yùn)行結(jié)果如圖1所示：
圖1 400個(gè)-1~1之間平均分布的隨機(jī)數(shù)
二、任意分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
下面提出了一種已知概率密度函數(shù)的分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法，以典型的正態(tài)分布為例來說名任意分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。
如果一個(gè)隨機(jī)數(shù)序列服從一維正態(tài)分布，那么它有有如下的概率密度函數(shù)：
（1-1）
其中μ，σ（ >0）為常數(shù)，它們分別為數(shù)學(xué)期望和均方差，如果讀者對(duì)數(shù)學(xué)期望和均方差的概念還不大清楚，請(qǐng)查閱有關(guān)概率論的書。如果取μ =0，σ =0.2,則其曲線為
圖2 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線
從圖中可以看出，在μ附近的概率密度大，遠(yuǎn)離μ的地方概率密度小，我們要產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)要服從這種分布，就是要使產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)在μ附近的概率要大，遠(yuǎn)離μ處小，怎樣保證這一點(diǎn)呢，可以采用如下的方法：在圖2的大矩形中隨機(jī)產(chǎn)生點(diǎn)，這些點(diǎn)是平均分布的，如果產(chǎn)生的點(diǎn)落在概率密度曲線的下方，則認(rèn)為產(chǎn)生的點(diǎn)是符合要求的，將它們保留，如果在概率密度曲線的上方，則認(rèn)為這些點(diǎn)不合格，將它們?nèi)ヌ?。如果隨機(jī)產(chǎn)生了一大批在整個(gè)矩形中均勻分布的點(diǎn)，那么被保留下來的點(diǎn)的橫坐標(biāo)就服從了正態(tài)分布?？梢栽O(shè)想，由于在μ處的f(x)的值比較大，理所當(dāng)然的在μ附近的點(diǎn)個(gè)數(shù)要多，遠(yuǎn)離μ處的少，這從面積上就可以看出來。我們要產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)就是這里的橫坐標(biāo)。
基于以上思想，我們可以用程序?qū)崿F(xiàn)在一定范圍內(nèi)服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。程序如下：
double Normal(double x,double miu,double sigma) //概率密度函數(shù)
{
return 1.0/sqrt(2*PI*sigma) * exp(-1*(x-miu)*(x-miu)/(2*sigma*sigma));
}
double NormalRandom(double miu,
double sigma,double min,double max)//產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)
{
double x;
double dScope;
double y;
do
{
x = AverageRandom(min,max);
y = Normal(dResult, miu, sigma);
dScope = AverageRandom(0, Normal(miu,miu,sigma));
}while( dScope > y);
return x;
}
參數(shù)說明：double miu：μ，正態(tài)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望
double sigma：σ，正態(tài)函數(shù)的均方差
double min,double max，表明產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的范圍
用如上方法，取 μ=0，σ=0.2，范圍是-1~1產(chǎn)生400個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)如圖3所示：
圖3 μ=0， σ=0.2，范圍在-1~1時(shí)的400個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)分布圖
取 μ=0， σ=0.05，范圍是-1~1產(chǎn)生400個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)如圖4所示：
圖4 μ=0，σ=0.05，范圍在-1~1時(shí)的400個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)分布圖
從圖3和圖4的比較可以看出， 越小，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)靠近 的數(shù)量越多，也說明了產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)靠近 的概率越大。
我們，先產(chǎn)生4000個(gè)在0到4之間的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，取μ=0，σ=0.2，再把產(chǎn)生的數(shù)據(jù)的數(shù)量做個(gè)統(tǒng)計(jì)，畫成曲線，如下圖5所示：
圖5 μ=0， σ=0.2，范圍在0~4時(shí)的4000個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)統(tǒng)計(jì)圖
從圖5中也可以看出，在靠近 處的產(chǎn)生的個(gè)數(shù)多，遠(yuǎn)離 處的產(chǎn)生的數(shù)量少，該圖的輪廓線和概率密度曲線的形狀剛好吻合。也就驗(yàn)證了該方法的正確性。
有了以上基礎(chǔ)，也就用同樣的方法，只要知道概率密度函數(shù)，也就不難產(chǎn)生任意分布的隨機(jī)數(shù)，方法都是先產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)，然后進(jìn)行取舍，落在概率密度曲線下方的點(diǎn)就滿足要求，取其橫坐標(biāo)就是所要獲取的隨機(jī)數(shù)。
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