轉載原因：我知道托勒密（C. Ptolemy Claudius），是因為在研究宇宙時空構架的時候發(fā)現(xiàn)了專題片：《維度：數(shù)學漫步（Dimensions: a walk through mathematics）》，這是一個兩小時長的CG科普電影，講述了許多深奧的數(shù)學知識，如4維空間中的正多胞體、復數(shù)、分形（fractals）、纖維化理論（fibrations）等等。億能強烈建議您閱讀這部專題片，即使對宇宙架構毫無興趣，也可以當做是溫固數(shù)學的簡明教材。
圖片：宇宙多維時空結構
泰山北斗《至大論》（上）——該談談托勒密了之一
江曉原
托勒密（C. Ptolemy Claudius），本來是世界科學史上極少數(shù)最偉大的人物之一，但是在中國卻頗受委屈，一直被排擠在科學偉人行列之外，他那些偉大的科學著作也沒有任何一部被譯成中文——連《至大論》也沒有！現(xiàn)在能看到的唯一一篇《至大論》中文提要，只有一千多字，還是近400年前來華耶穌會士湯若望（J. Adam Shall von Bell，德國人）留下的。
看來，我們是該談談托勒密了。
但是，常見的談論“其人其事”的套路對托勒密不適用，因為關于“其人”幾乎沒有什么可談的——只知道他活動于公元2世紀上半葉，長期居住在亞歷山大城（Alexandria，今屬埃及）。所以我干脆就先從“其書”談起。而要談托勒密的書，首先當然應該談科學成就最高、后世影響最大的《至大論》。
《至大論》堪稱西方古典天文學中的泰山北斗，是希臘數(shù)理天文學的淵藪，也是后來中世紀阿拉伯天文學和文藝復興之后歐洲近代天文學的無可置疑的源頭。從《至大論》問世之后，直到牛頓之前，期間所有偉大的西方天文學家，包括哥白尼、開普勒，沒有一個不是吮吸著《至大論》的乳汁成長起來的——包括那些對托勒密體系不滿意而想有所改進的人；期間所有重要的西方天文學著作，包括哥白尼的《天體運行論》，沒有一部不是建立在《至大論》所奠定的基礎之上的。
《至大論》全書13卷。希臘文原名意為“天文學論集”，稍后常被稱為“大論集”（可能是與另一部名為《小天文論集》的希臘著作相對而言的）。阿拉伯翻譯家將書名譯成al-majisti，再經(jīng)拉丁文轉寫，遂成Almagest，成為此書的固定名稱。此書的中文譯名曾有《天文學大成》、《偉大論》、《大集合論》、《大綜合論》等多種，但以《至大論》最簡潔明了且符合原意。
《至大論》繼承了歐多克斯（Eudoxus）、希帕恰斯（Hipparchus，活動于公元前150～127年間）所代表的古希臘數(shù)理天文學傳統(tǒng)，并使之發(fā)揚光大，臻于空前絕后之境。托勒密在書中構造了完備的幾何模型，以描述太陽、月亮、五大行星、全天恒星等天體的各種運動；并根據(jù)觀測資料導出和確定模型中各種參數(shù)；最后再編算成各種天文表，由此能夠在任何給定的時間點上，預先推算出各種天體的位置。
《至大論》第一、二卷主要講述預備知識。包括地圓、地靜、地在宇宙中心、地與宇宙尺度相比非常之小可視為點等。有不少篇幅用來討論球面三角學，這在托勒密之前已由希臘數(shù)學家梅內勞斯（Menelaus）作了很大發(fā)展，今天的天文學家仍在使用。托勒密用球面三角學處理黃道、赤道以及黃道坐標與赤道坐標的相互換算。他確定黃赤交角之值為23°51’20”。他還給出了太陽赤緯表，表現(xiàn)為太陽黃經(jīng)的函數(shù)，這樣就能掌握一年內太陽赤緯的變化規(guī)律，進而可以計算日長等實用數(shù)據(jù)。
第三卷專門討論太陽運動理論。主要是解決太陽周年視運動速度的變化。托勒密用幾何模型來描述這一問題，一年中太陽在遠地點運行最慢，而在近地點運行最快。托勒密能夠給出任一時刻的太陽實際位置。許多現(xiàn)代學者認為，他在太陽運動方面的工作基本上未超出希帕恰斯的成就，但他采用的模型比希帕恰斯的要簡單明快得多。
《至大論》第四、五兩卷主要討論月球運動理論。托勒密首先區(qū)分了恒星月、近點月、交點月和朔望月這4種不同概念。為了建立精確可用的月球運動表，托勒密采用兩種不同的幾何模型來處理月球運動。其一，由三次月食觀測確定三處月球位置，因月食時月黃經(jīng)恰與太陽黃經(jīng)相差180。，而太陽位置由卷三的理論已可準確得知，這樣托勒密就能夠推求出月球所在本輪的半徑和對應的均輪半徑。而在第二種月球運動模型中，托勒密處理了“出差”（evection），這是月球運動理論史上最重要的進展之一。托勒密能成功地用幾何模型來描述包括出差在內的各種月球運動差數(shù)，使之與實際觀測結果吻合甚好。托勒密采用的黃白交角之值是5°。這一卷中還討論了日、月的視差等問題，但頗多錯誤。
《至大論》第六卷，在四、五兩卷基礎上，專論交食理論。這實際上可視為他在前面各卷中所述日、月運動理論的檢驗和應用。
第七、八兩卷專論恒星。托勒密將自己的觀測與希帕恰斯等前人的觀測結果進行比較，討論了歲差問題。希帕恰斯對歲差值的估計是“不小于每百年1°”，但托勒密似乎就采納了每百年1°之值，這樣就使他的歲差值偏小了。這兩卷的主要篇幅用于登載一份恒星表，即著名的“托勒密星表”，這是世界上最早的星表之一。
“托勒密星表”共記錄了1022顆恒星，分屬于48個星座，每顆下都注有該星的黃經(jīng)、黃緯、星等（從1至6等）三項參數(shù)。關于這份星表在多大程度上是承襲自希帕恰斯的，一直有許多猜測。表中各星，沒有一顆是亞歷山大城可見而羅得島（Rhodes，希帕恰斯的天文臺所在地）不可見的；況且在星表中注明各星黃經(jīng)、黃緯及星等、將星分為6等之類，都是希帕恰斯開創(chuàng)的先例，因此頗有人懷疑托勒密的星表并非出自他親自所測，不過是將希帕恰斯舊有之表加上歲差改正值而已。用現(xiàn)代方法檢驗，托勒密星表總的來說黃經(jīng)值偏小，有的學者認為，造成這種誤差的主要原因，是托勒密的日、月運動理論不完善，因為在古代西方，測定標準星坐標值的主要方法是借助太陽運動表，并以月亮為中介來進行，而其余恒星的坐標值是根據(jù)少數(shù)標準星來測定的。
（未完待續(xù)）
載《新發(fā)現(xiàn)》雜志2008年第1期
泰山北斗《至大論》（下）——該談談托勒密了之二
江曉原
《至大論》從第九卷起，轉入對行星運動的研究，用去五卷的巨大篇幅。如果說以前各卷的內容中，或多或少都有希帕恰斯的遺產，那么在這后五卷中，托勒密豐富多彩的創(chuàng)造和貢獻是任何人都不會懷疑的。
在第九卷一開始，托勒密闡明了他所構造的地心宇宙體系，如圖1所示，這個體系從此成為歐洲和阿拉伯天文學普遍遵循的理論基礎，長達一千余年。
這個體系從整體上看似乎相當一目了然，但實際上，要解決具體問題時就非常繁瑣復雜了。為了具體用數(shù)學方式描述各行星的運動并狀況，托勒密設計了如圖2所示的幾何模型，用于處理土、木、火三顆外行星的情況。在圖2中，O依舊表示地球，行星P在其本輪上繞行，本輪之心C在大圓（即均輪）上繞行，但是大圓之心雖為M，C點的運行卻只是從E看去才是勻速的。M點與O點及E點的距離相等，其長度為e，稱為偏心率（eccentricity）。對于外行星而言，e是一個經(jīng)驗系數(shù)，可根據(jù)最后計算所得行星位置與實測之間的吻合情況進行調整。K為平近點角，連接O、M、E、A各點的直線為拱線（apsidal line）。對外行星而言，PC線與地球對平太陽位置的連線始終保存平行。為了確定外行星的各項參數(shù)，包括拱線方位在內，托勒密選用三項行星位置的觀測記錄，用類似以三次月食定月運動模型參數(shù)的方法來處理。
處理金、水兩顆內行星的模型與圖2稍有不同，對于拱線位置和e值等參數(shù)的確定，更多地依賴于對內行星大距（elongation，從地球上看該內行星與太陽的最大視角距）的觀測資料。
圖2中E點的引入，是一個非常引人注目的重要特征，該點從中世紀以后通常被稱為“對點”（equant）。對點的引入大膽沖破了古希臘天文學中對勻速圓周運動（uniform motion）傳統(tǒng)迷信——這種迷信純出于哲學思辯。事實上，運用圖2模型求得的行星黃經(jīng)，與在開普勒隨圓模型中代入相同的偏心率e值后所得結果，誤差僅僅在10’以內。托勒密引人“對點”所體現(xiàn)的對勻速圓周運動信念的超越，使他在這一方面甚至走在了哥白尼前頭。對于圖2中的“對點”，如果認為在某種程度上已開了后世開普勒橢圓運動模型的先聲，也不能算過分夸張的說法。
運用幾何模型，逐個處理五大行星的黃經(jīng)運動，占去了《至大論》九至十一卷的大部分篇幅。到第十二卷中，托勒密致力于編算外行星在逆行時段的弧長和時刻表，以及內行星的大距表。
在《至大論》第十三卷中，托勒密專門討論行星的黃緯運動。諸行星軌道面與黃道面并不重合，各有不同的小傾角，這一事實在日心體系中來看十分簡單，但要在地心體系中處理它就比較復雜。在《至大論》中，托勒密未能將這一問題處理好。他令外行星軌道面（也即均輪deferent所在的平面）與黃道面有一個傾角；又令本輪與均輪各自的平面之間有另一個傾角，這兩個傾角之值又不相等，這使問題變得非常繁瑣。
對于宇宙體系的結構及運行機制問題，托勒密在《至大論》中采取極為務實而明快的態(tài)度，他在全書一開頭就表明，他的研究將采用“幾何表示”（geometrical demonstration）之法進行。在卷九開始討論行星運動時他說得更明白：“我們的問題是表示五大行星與日、月的所有視差數(shù)——用規(guī)則的周圓運動所生成”。他將本輪、偏心圓等僅視為幾何表示，或稱為“圓周假說的方式”。那時，在他心目中，宇宙間并無任何實體的天球，而只是一些由天體運行所劃過的假想軌跡。
但是，當《至大論》問世之后，行星黃緯問題顯然仍舊縈繞在托勒密心頭。在他晚年的作品《行星假說》（Planetary Hypotheses）第一卷中，他改善了行星黃緯運動模型，關鍵的一步是令上述兩個傾角之值相等，這意味著本輪面始終與黃道面保持平行。而均輪面與黃道的傾角，則正好對應于后世日心體系中行星軌道與黃道面的傾角?！缎行羌僬f》第一卷中的行星黃緯運動模型，已是在地心體系下處理這一問題的最佳方案。
然而，此時在托勒密思想上，可能有一種帶有神秘主義色彩的傾向滋生起來。在《行星假說》第二卷對宇宙體系的討論中，每個天體都有自己的一個厚層，內部則是實體的偏心薄球殼，天體即附于其上。這里的偏心薄球殼實際上起著《至大論》中本輪的作用。而各個厚球層（其厚度由該層所屬天體距地球的最大與最小距離決定）與“以太殼層”是相互密接的。此時托勒密改變了《至大論》中的幾何表示之法，致力于追求所謂“物理的”（physical）模式。這部分內容出現(xiàn)在只有阿拉伯文譯本的《行星假說》第二卷中，有人因此懷疑其中可能雜有后世阿拉伯天文學家的工作。
《至大論》在托勒密身后不久就成為古代西方世界學習天文學的標準教材。公元4世紀出現(xiàn)了帕普斯（Pappus）的評注本，以及亞歷山大城的塞翁（Theon of Alexandria）的評注本。約在公元800年出現(xiàn)阿拉伯文譯本。而此后出現(xiàn)的更為完善的譯本，則是阿拔斯王朝的著名哈里發(fā)阿爾馬蒙（Al–Ma’mun）對于天文學大力贊助的結果。公元1160年左右，一個從希臘文本譯出的拉丁文譯本出現(xiàn)在西西里。而公元1175年出現(xiàn)的克雷莫納的杰拉爾德（Gerard of Cremona）從阿拉伯文譯出的拉丁文譯本，使得《至大論》開始重新被西歐學者所了解。
在此前漫長的中世紀，西方世界的天文學進展主要出現(xiàn)在阿拉伯世界，而阿拉伯天文學家是大大受益于托勒密《至大論》的。上述這些拉丁文譯本，則在下個世紀大大提高了歐洲天文學的水準。
載《新發(fā)現(xiàn)》雜志2008年第2期
從星占之王的《四書》說起——該談談托勒密了之三
江曉原
在托勒密身后的歷史時期中，他作為天文學家和作為星占學家，究竟哪個名聲更大，學者們有不同看法。不過至少在中世紀晚期，他的名聲首先是和他的星占學巨著《四書》聯(lián)系在一起的。
《四書》四卷，在西文中常寫作Tetrabiblos，系自希臘文轉寫而來，拉丁文則作Quadripartum，都是“四卷書”之意。《四書》的寫作，在公元139～161年之間，大致在完成《至大論》之后，而在撰寫《地理學》之前。經(jīng)過近代西方學者考訂校釋，《四書》已有希臘文和英文的現(xiàn)代版本可供使用。
托勒密本人將此書視為《至大論》的姊妹篇，在《至大論》中，他只是致力于讓人們能夠預先推算出任何時刻的各種天體位置。而在《四書》中，他試圖詳細闡述這些天體在不同位置上對塵世事務的不同影響，他認為這兩方面是不可偏廢的。托勒密堅信天體對人間事務有著真實的、“物質上的”（physical）影響力，他從太陽、月亮對大地的物質影響出發(fā)，由類比推論出上述信念。當然，托勒密并非宿命論者，他承認左右人世事務的因素有多種，天體的影響力只是其中之一。
《四書》第一卷可以視為星占學的預備知識。集中講述日、月、五大行星運動以及恒星的視位置等數(shù)理天文學知識——這是任何一個入流的星占學家都必須掌握的。
在第二卷中，托勒密試圖為星占學確立一些理論基礎和法則。托勒密論證說：既然太陽、月亮可以通過季節(jié)、潮汐來直接影響地球上的人類生活，那么五大行星又何嘗不能影響塵世的事務呢？托勒密認為星占學可以應用于兩個領域：國家（民族）和個人。不過對于前一領域，托勒密主要研究天象對大地的一般性影響，包括依據(jù)天象進行氣象預報。這是所謂“星占地理學”（astrological geography）和“星占氣象學”（astrological meteorology）的內容，與發(fā)端于巴比倫的軍國星占學（judicial astrology）有所不同。
星占學之應用于個人，也即“生辰星占學” （horoscope astrology），則是《四書》后兩卷全力探討的內容。托勒密在這兩卷中的論述，集此前這方面學說之大成。
托勒密先談到獲取精確出生時刻的困難，而這是以后一切推算的基礎。至于準確得知受孕時刻自然更為困難。確定這些時刻都要依靠天文觀測，使用星盤（astrolabe）和時計，被特別提到的是水鐘（water clock ），但托勒密認為精確程度不夠。雖然受孕時刻和分娩時刻都應注意，但托勒密認為分娩時刻更重要。
接下來詳細論述算命天宮圖的構成與排算。托勒密認為一個好的星占學家能夠從中發(fā)現(xiàn)許多信息，這些信息中的一個重要組成部分是其人的體質特征。例如當土星位于出生時刻天宮圖東側時，這個嬰兒將來會是：
黃膚色、好體格，黑色卷發(fā)，寬闊而堅強的胸膛，常規(guī)眼睛，身材勻稱，氣質是濕與冷的混合。
一生的疾病也能從天宮圖中看出，但更玄妙的是對其人心靈、思想傾向和特征的預言。這類預言依據(jù)的重點是黃道十二宮的“主”、“定”、“移”三類宮的位置。例如四“主宮”（白羊、巨蟹、天秤、摩羯四宮）的作用是：
通常傾向于使心靈對政治感興趣，會使其人投身于公共事務或動亂；好大喜功；醉心于神學；同時，其人是機巧的、敏銳的、好奇的、別出心裁的、深思的；還會致力于研究星占學與占卜術。
《四書》后兩卷集中討論的生辰星占學，并非托勒密首創(chuàng)，早在好幾百年前就已發(fā)源于巴比倫，傳入希臘化世界（包括埃及在內）也已很久，所以托勒密當然不能不在大體上與舊有的星占學原則相一致；然而在這兩卷中他還是經(jīng)常有所創(chuàng)新和發(fā)展。
至于同樣發(fā)端于巴比倫的“軍國星占學”（專論王朝軍國大事，如戰(zhàn)爭勝負、年成豐歉等），《四書》中完全未涉及。這一點正標志著西方星占學史上潮流的轉換——軍國星占學隨著巴比倫文明的衰退，在西方世界（包括中東等地）很快走向沉寂，而后起的生辰星占學則登場成為主流。
《四書》集希臘化時代星占學之大成，它在西方星占學史上的地位，確實可與《至大論》在西方天文學史上的地位并駕齊驅?！端臅吩谕欣彰苌畹臅r代即已產生廣泛影響，而且這種影響在他身后持續(xù)了許多世紀。好些有名的星占學家，如希巴恰斯（Hipparchus，底比斯的），保羅（Paul，亞歷山大城的）以及尤里烏斯?菲爾米庫斯（Julius Firmicus ）等人，都引用《四書》，并將此書視為最基本的第一手星占學資料?！端臅窞榇撕笠磺Ь虐倌觊g西方星占學的理論和實踐提供了標準模式。
托勒密在《至大論》中幾乎完全未討論星占學（只有卷二、卷六等少數(shù)幾處與星占學有間接關系），此外他的《恒星之象》（Phases of the Fixed Stars）僅第二卷存世，專論一些明亮恒星的偕日升與偕日落，列出這些星象對未來氣候變化的預兆意義。這種把現(xiàn)代意義上的氣象學與星占學結合在一起的傳統(tǒng)，從古希臘一直持續(xù)到歐洲的文藝復興時期。托勒密的《諧和論》（Harmonica）三卷，系數(shù)理樂律學著作，根據(jù)各個不同傳統(tǒng)的希臘體系，討論各種音調及其分類中的數(shù)學音程等問題，但其中也談到一些星占學概念，特別是卷三的第16節(jié)，談論各行星的星占學性質及屬性之類。
托勒密在歷史上既以星占大師著稱，難免發(fā)生一些后世星占書偽托在他名下的現(xiàn)象。其中特別有名的例子是《金言百則》（拉丁文作Centiloquium），這是一部星占學格言集，共100 則，本是通俗之作，沒有什么數(shù)理內容，古時被歸于托勒密名下流傳，但學者們早已確認是出于偽托。
載《新發(fā)現(xiàn)》雜志2008年第3期
科學外史（21）
他還是地理學的托勒密——該談談托勒密了之四
江曉原
由于托勒密在天文學上的成就實在太大，以至于產生了一個修辭手法——將某門學問歷史上集大成的大師稱為“某某學的托勒密”。那么，仿此，歷史上“地理學的托勒密”是誰呢？頗出許多現(xiàn)代人的意料之外，那竟是托勒密本人。
我們對于托勒密的個人師承，迄今幾乎一無所知。托勒密的不少著作都題贈給一個叫做賽魯斯（Syrus）的人，他的《至大論》中曾使用了塞翁（Theon）的行星觀測資料，但這些都不足以確定托勒密的師承。還有人猜測泰爾的馬里努斯（Marinus of Tyre）是他的老師，因為托勒密在《地理學》（Gography）一書中使用并修訂了不少來自馬里努斯的資料，但是目前能夠肯定的只是，此人是托勒密的前輩。
托勒密的《地理學》八卷，在相當程度上是以馬里努斯的工作為基礎的。如果沒有托勒密的《地理學》一書，馬里努斯很可能會在歷史上湮沒無關聞；這情形和希帕恰斯的天文學成就全賴托勒密《至大論》記載保存極為相似。與在天文學史研究中的情形一樣，也有人將托勒密《地理學》貶斥為馬里努斯的“拙劣抄襲者”。然而《至大論》對希帕恰斯和《地理學》對馬里努斯工作的保存及記述，恰恰證明了托勒密在此兩大領域內，都將自己的工作置于前輩最偉大成就的基礎之上，集其大成。而他本人在這兩個領域中的巨大成就，也是有目共睹的。
地理學在古希臘已發(fā)展到相當高度，分為“地圖學”和“地方志”兩個主要方面。地圖學是古代數(shù)理地理學——也是希帕恰斯創(chuàng)立的——的主要內容，包括繪制地圖所需的幾何投影方法、主要城市的經(jīng)緯度測算等。到了托勒密生活的時代，世界性的羅馬大帝國大大增進了歐、亞、非三大洲各民族之間的了解和交流，無數(shù)軍人、官吏、僧侶、商人、各色人等的遠方見聞，又有利于地方志的進一步發(fā)展。
托勒密明確將他所研究的內容與地方志區(qū)分開來，他在《地理學》中完全不涉及地方志。這種做法受到某些現(xiàn)代研究者的批評，認為他使地理描述內容變得貧乏，實際上使地理學降級為地圖編制學，因而對古代地理學的衰落負有責任。但托勒密醉心于精密數(shù)理科學，對搜奇志怪的古代地方志缺乏興趣，他當然有權根據(jù)自己的學術興趣選擇研究方向。
《地理學》第一卷為全書的理論基礎。托勒密在其中評述了馬里努斯的一系列工作，并介紹他人本人所贊成的地理學體系。其中特別值得注意的是托勒密對地圖繪制法的討論，他不贊成馬里努斯所用的坐標體系，認為它對實際距離的扭曲太大。為此他提出兩種地圖投影方法。
第一種見圖1，各圓弧都以H點為圓心作成，代表不同的緯線；各經(jīng)線皆為以H點為中心向南方輻射的直線；注意H點是位于北極上空的某一點。圖中經(jīng)度僅180°，緯度僅有從北緯63°至南緯16°25’，這是因為當時的地理學家所知道的“有人居住世界”（inhabited world）就僅在此極限之內。圖1中特別畫出北緯36°的緯線，這是那時各種地圖的常例。北緯36 °正是羅得島所在的緯度，從中猶可看到這門學問的創(chuàng)始人、設立天文臺于羅得島的希帕恰斯的影子。
用現(xiàn)代的標準來看，圖1中的赤道以北地區(qū)的投影，完全符合圓錐投影（conic projection）的原理。至于赤道以南緯16°25’之區(qū)的地區(qū)，托勒密采用變通辦法，將南緯16°25’緯線畫成與北緯16°25’對稱的狀況，并作對等的劃分。這也不失為合理。
托勒密提出的第二種投影方法見圖2，緯線仍是同心圓弧，但各經(jīng)線改為一組曲線。這個方案中還繪出了北回歸線，即緯度為23°50’的緯線。此法大致與后世地圖投影學中的“偽圓錐投影”（pseudo–conic projection）相當，它比圓錐投影復雜，因為現(xiàn)在任一經(jīng)線與中央經(jīng)線的夾角不再是常數(shù)（在圓錐投影中該夾角為常數(shù)，等于兩線所代表的經(jīng)度差乘以一個小于1的常數(shù)因子），而是變?yōu)榫暥鹊暮瘮?shù)。
托勒密指出上面兩種投影法各有利弊，第二種能更好地反映實際情況，但操作使用起來不如第一種方便，因此他建議這兩方法都應考慮采用。托勒密《地理學》中的世界地圖，就是采用第二種投影法繪制的。這兩種地圖投影法是地圖投影學歷史上的巨大進步，托勒密在這方面的造創(chuàng)，要再過將近1400年才后繼有人。
《地理學》其余各卷中，列述歐、亞、非三大洲共約8100處地點的地理經(jīng)度和緯度值，以及當?shù)厣酱ň拔?、民族情況等，也經(jīng)常記錄并討論一些地點相互之間的距離和道路。所以《地理學》一書有時又被稱為《地理志》。書中對358個重要城市作了較詳細的記述，并記下這些城市在一年中的最大日長（該值是當?shù)氐乩砭暥鹊暮瘮?shù)）?！兜乩韺W》中有26幅區(qū)域地圖組成的地圖集，其中歐洲10幅，亞洲12幅，非洲4幅。每個地區(qū)以下再劃分為省，各地區(qū)由其平均緯度來標定位置，并根據(jù)其東南西北四個極點畫出自然界線。
在當時，地理緯度可通過在當?shù)刈魈煳挠^測來確定（比如測定一年中圭表在當?shù)赜伴L的變化），地理經(jīng)度則可由在兩地先后觀測一次交食來確定（獲得兩地經(jīng)度差），但此法理論上雖然可行，實際上很少有人能真正去實施，據(jù)研究，托勒密只掌握少數(shù)幾個城市的來自天文測定的地理緯度值，至于兩地同測一次交食的觀測資料，他能依據(jù)的似乎只有一項：公元前331年9月20日的月食，曾在迦太基（Carthage）和美索不達米亞的阿爾比勒（Arbela）被先后觀測。不幸的是，這項數(shù)據(jù)的記載有嚴重錯誤：兩地見食的時間差應該只有兩小時左右，但托勒密誤為約三小時，這一錯誤可能是導致托勒密地圖一系列錯誤的主要原因之一。
載《新發(fā)現(xiàn)》雜志2008年第4期
一個改變了世界的歷史偉人——該談談托勒密了之五
江曉原
為了避免讀者對托勒密的偉大名字開始厭倦，我打算在這一次結束關于他的話題——即使還有許多他的科學成就（比如光學實驗）來不及談也在所不惜了。這樣我們就不得不開始討論他的歷史影響。
有些人喜歡將托勒密與亞里士多德的宇宙體系混為一談，進而視托勒密為阻礙天文學發(fā)展的歷史罪人。在中國人熟悉的文獻中，李約瑟“亞里士多德和托勒密僵硬的同心水晶球概念，曾束縛歐洲天文學思想一千多年”的說法堪為代表，至今仍被一些中文著作所援引。而這種說法明顯違背了歷史事實。亞里士多德確實主張一種同心疊套的水晶球（crystalline spheres）宇宙體系，但托勒密從未表示贊同這種體系。況且，亞里士多德學說直到13世紀仍被羅馬教會視為異端，多次禁止在大學里講授，因此無論是托勒密還是亞里士多德，都根本不可能“束縛歐洲天文學思想一千多年”。托馬斯?阿奎那在論證水晶球宇宙體系時，曾引用托勒密的著作來論證地心、地靜之說，到1323年羅馬教皇宣布他為“圣徒”，他的經(jīng)院哲學體系被教會認可為官方學說，亞里士多德的宇宙體系這才開始束縛了歐洲天文學思想約二三百年，而這又怎么能歸罪于托勒密呢？
阿拉伯天文學家接觸到《至大論》后，很快發(fā)現(xiàn)它所代表的天文學水準明顯超出當時波斯和印度的天文學。他們在月球和行星運動理論上則繼承托勒密遺產的同時，也通過實際觀測而改進了《至大論》在太陽運動理論方面的欠缺，比如巴塔尼（Al Battani）的《積尺》（Zij，天文歷算之書）、法干尼（Al Farghani）的《至大論綱要》（Epitome）等。受到托勒密著作影響的著名阿拉伯天文學家還可以提到納西爾丁?圖西（Nasir al-Din al Tusi）和伊本?沙提爾（Ibn al-Shatir），前者是那時有國際聲望的學者兼政治人物，他的天文體系中力圖恢復勻速圓周運動，后者對托勒密的月球運動模型有所改進。
阿拉伯學者將托勒密天文學的火炬?zhèn)鹘o歐洲之后，直到公元16世紀，沒有任何西方的星歷表不是按托勒密理論推算出來的。雖然星歷表的精確程度不斷有所提高，但由于托勒密所使用的本輪–均輪系統(tǒng)具有類似級數(shù)展開的功能，為了增加推算精度，可以在本輪上再疊加小輪，讓此小輪之心在本輪上繞行，而讓天體在小輪上繞行。從理論上說，小輪可以不斷增加，只要調整諸輪的半徑、繞行方向和速度，就能求得更高精度。關于小輪體系的繁瑣，是許多宣傳性讀物中經(jīng)常談到的托勒密罪狀之一，但這在明顯是不公平的——在《天體運行論》中，被譽為“簡潔”的哥白尼體系也使用了小輪和偏心圓達34個之多。
西方天文學發(fā)展的最基本思路是：在已有實測資料基礎上，以數(shù)學方法構造模型，再用演繹方法從模型中預言新的天象；如預言的天象被新的觀測證實，就表明模型成功，否則就修改模型。在現(xiàn)代天體力學、天體物理學興起之前，模型都是幾何模型——從這個意義上說，托勒密、哥白尼、第谷乃至創(chuàng)立行星運動三定律的開普勒，都無不同。正如著名的西方數(shù)理天文學史家奈格堡（O. Neugebauer）所指出的：“全部中世紀的天文學——拜占廷的、最后是西方的——都和托勒密的工作有關，直到望遠鏡發(fā)明和牛頓力學的概念開創(chuàng)了全新的可能性之前，這一狀態(tài)一直普遍存在?！迸ｎD之后則主要是物理模型，但總的思路仍無不同，直至今日還是如此。如果考慮到在傳世的文獻中，正是托勒密的《至大論》第一次完整、全面、成功地展示了這種思路的結構和應用，那么對于托勒密在天文學史乃至整個科學史上的功績和影響，就不難獲得持平之論。
托勒密的光學著作《光學》（Optics）一書，至少為11世紀初著名的阿拉伯學者伊本?海賽木（Ibn a lHaytham）的光學巨著《光學書》（Kitab al-Manazir）提供了靈感。此書從形式到許多內容都源自《光學》，其中一些實驗也被認為是源于托勒密的。《光學書》不久被譯成拉丁文，名《光學寶鑒》（Opticoae thesaurus），成為中世紀晚期的標準論著，人們在羅吉爾?培根、達?芬奇和開普勒的著作中，都可以看到《光學寶鑒》的影響——因而也就是托勒密的影響。
托勒密《諧和論》（Harmonica）一書，在后世的權威不算十分大，但他的一些音樂原則在拉丁世界也是頗為人知的。比較引人注目的是此書對開普勒的影響，開普勒的《宇宙諧和論》（Hermonice mundi,）全書皆為步托勒密后塵之作。
托勒密地理學對后世的影響，從世俗的意義上說很可能超過了《至大論》。他的《地理學》在公元9世紀初葉即有阿拉伯譯本，書中關于伊斯蘭帝國疆域內各地的記載，很快被代之以更準確的記述。大約1406年出現(xiàn)了由安杰勒斯（J. Angelus）從希臘文本譯出的拉丁文譯本，并很快流行起來，因為此書即使在當時，仍是對已知世界總的地理情況的最佳指南。托勒密也提供了世界上最早的有數(shù)學依據(jù)的地圖投影法。
我之所以將托勒密稱為“一個改變了世界的歷史偉人”，主要是考慮到，一個偉大學者的論著，有時會對人類歷史的發(fā)展產生不可思議的直接影響。這種影響是他在撰寫其論著時絕對沒有想到的。托勒密就是少數(shù)這樣的偉大學者之一。現(xiàn)代學者的詳細研究表明：哥倫布在開始他那改變人類歷史的遠航之前，至少曾細心閱讀過5本書，其中唯一的地理類著作就是托勒密的《地理學》，因此可知哥倫布的地理思想主要來自托勒密。哥倫布相信：通過一條較短的渡海航線，就可以到達亞洲大陸的東海岸，結果他在他設想的亞洲東岸位置上發(fā)現(xiàn)了美洲新大陸——盡管他本人直到去世時，仍堅持認為他發(fā)現(xiàn)的是托勒密地圖上所繪的亞洲大陸。
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