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編者的話
1月13日，我們發(fā)表了北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)副校長華應(yīng)龍老師的文章《有“化錯(cuò)”，才有真正的學(xué)習(xí)》。華老師認(rèn)為，“化錯(cuò)教學(xué)”是破解“標(biāo)準(zhǔn)化”教育模式，培育良性教育生態(tài)的需要，是矯正重“結(jié)果”，輕“過程”教學(xué)弊端的需要。那么，在實(shí)際教學(xué)中，如何運(yùn)用呢？今天，我們就呈現(xiàn)華老師的課堂現(xiàn)場，感悟華老師是如何將錯(cuò)誤的嘗試最終引向正確的結(jié)果，讓學(xué)生體悟到“失敗是成功之母”。
【課前慎思】
學(xué)生在作業(yè)中經(jīng)常會(huì)生成一些非?？少F的猜想，可是，往往是想到就用，不去驗(yàn)證。有時(shí)碰巧對(duì)了，我會(huì)鼓勵(lì)他們堅(jiān)守自己的猜想，因?yàn)槿绻焕^續(xù)做全面、深入地思考和探究，下次遇到似是而非的情景或者跨過一定界限，就會(huì)錯(cuò)得糊里又糊涂。有時(shí)碰巧錯(cuò)了，如果得不到恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，創(chuàng)新的火花便從此漸漸熄滅。其實(shí)，錯(cuò)誤往往是創(chuàng)造的開始。
作為教師，在學(xué)生猜想之后又應(yīng)該做些什么？數(shù)學(xué)事實(shí)首先是被猜想然后是被證實(shí)，那么，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就應(yīng)該是被看作在做猜想和驗(yàn)證的游戲。著名數(shù)學(xué)家、教育家G·波利亞在他的經(jīng)典名著《數(shù)學(xué)與猜想》中指出：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度。請(qǐng)?jiān)试S我在此向教授所有班級(jí)的數(shù)學(xué)教師們呼吁：讓我們教猜想吧！”他給我們的忠告是：“盡早建立猜想，慢些承認(rèn)它們。”
一般地，不能根據(jù)一個(gè)例子就做出判斷。無論舉出多少正例都不能完全確定結(jié)論的絕對(duì)正確性，而只要舉出一個(gè)反例，就可以說明結(jié)論的錯(cuò)誤。所以，這節(jié)課想借助學(xué)生作業(yè)中的一些創(chuàng)造性猜想的討論，讓學(xué)生明白猜想其實(shí)就是提出了一個(gè)問題，一個(gè)假設(shè)，有理由較少的猜想，有理由較多的猜想；猜想之后需要驗(yàn)證。舉的例子首先要判斷是否蘊(yùn)含在假設(shè)之中，驗(yàn)證之后，可能是確認(rèn)猜想，也可能是要修正猜想。
那么，驗(yàn)證的方法有哪些呢？舉正例，找反例，打比方想算理？除了初中將開始學(xué)習(xí)的演繹證明，還有小學(xué)五年級(jí)學(xué)生能接受的驗(yàn)證方法嗎？“穿新鞋走老路”算不算？也就是有了一個(gè)新的猜想，驗(yàn)證時(shí)是走業(yè)已確認(rèn)的老路，最后看是否是殊途同歸。那“穿新鞋走老路”算舉例子，還是講道理呢？
對(duì)學(xué)生而言，舉出一個(gè)反例來證明結(jié)論的錯(cuò)誤是有經(jīng)驗(yàn)的，也是容易理解的。而對(duì)于舉出很多正確的例子還未必能證明結(jié)論的正確性，是比較難以理解的。因此本節(jié)課，毫無疑問要在這方面用力。舉的例子不可能窮盡的話，從哪里知道就舉不出反例呢？當(dāng)學(xué)生懂得了多個(gè)例子也不能確定猜想的絕對(duì)正確性，是否就給學(xué)生種下了懷疑所學(xué)知識(shí)的種子，給學(xué)生的創(chuàng)造留下了余地？
我在故我思。好奇心是最好的老師，那么，最高的學(xué)習(xí)是不是應(yīng)該是求不知？
因此，我想和五年級(jí)學(xué)生一起分享這一節(jié)課，力爭達(dá)到以下目標(biāo)：1.懂得猜想之后要驗(yàn)證，初步學(xué)會(huì)驗(yàn)證的方法。2.進(jìn)一步體認(rèn)差錯(cuò)會(huì)暴露出問題、指引方向，培養(yǎng)對(duì)作業(yè)差錯(cuò)的好感。3.感受數(shù)學(xué)的理性之美，積累發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。
【課堂實(shí)錄】
師：前幾天我在同學(xué)們作業(yè)本上發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)很有意思的猜想。我跟老師們交流之后，老師們說“以前也見過，很有意思！”因此，我今天拿過來和在座同學(xué)們分享，大家請(qǐng)看——
（板書學(xué)生的作業(yè)。）
25.3×4.2
=25×4+0.3×0.2
=100+0.06
=100.06
看了這份作業(yè)，你有什么想法，你怎么來評(píng)價(jià)？
（有一學(xué)生一臉驚喜：“原來還可以這樣做！”）
生：我想這個(gè)25.3乘4.2，我覺得可以把它變一下，可以把它寫成25加上0.3的和，再乘以4加上0.2的和。這樣的話，就等于25乘4再加上0.3乘0.2，等于100加0.06，就等于100.06。
生：我覺得這個(gè)算得不是特別對(duì)，因?yàn)槲壹僭O(shè)如果25.3不乘以4.2，而乘的是4，那樣的話，積應(yīng)該是101.2，這樣都比100.06大。而現(xiàn)在25.3乘4.2，4.2比4還要大，所以這個(gè)答案肯定是不對(duì)的。
師：看了這個(gè)解答，你最好奇的是哪一步？
生：怎么從25.3乘以4.2一下子變成25×4+0.3×0.2了？
師：是不是從這兒我們可以看出他有一個(gè)猜想？
生：我覺得他的猜想是兩個(gè)數(shù)的乘積等于兩個(gè)數(shù)的整數(shù)部分乘積加上小數(shù)部分的乘積。
師：這個(gè)猜想究竟對(duì)不對(duì)？有人認(rèn)為對(duì)，有人認(rèn)為不對(duì)，怎么辦？
生（齊）：驗(yàn)證。
師：怎么去驗(yàn)證？
生（齊）：用豎式算一遍。
師：真好?。ㄊ疽獯蠹覄?dòng)筆算。）很多同學(xué)都算完了，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：算完了以后，發(fā)現(xiàn)黑板上這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。
師：不但是錯(cuò)了，而且還是小了。我很好奇，他當(dāng)時(shí)是怎么想的？
生：我覺得他是這么想的，先把兩個(gè)整數(shù)乘了，再把兩個(gè)小數(shù)乘了，對(duì)他來說思路就比較清晰。
師：思路比較清晰！清晰在于——我們做小數(shù)加法的時(shí)候，是不是這么想的？（課件逐步出示以下算式）
25.3+4.2
=（25+0.3）+（4+0.2）
=（25+4）+（0.3+0.2）
=29+0.5
=29.5
生：對(duì)。
師：小數(shù)加法是對(duì)的，小數(shù)減法這么做對(duì)嗎？
生（齊）：對(duì)。
師：順著這樣的思路往下想，小數(shù)乘法這么做對(duì)嗎？
生（齊）：不對(duì)。
生：我覺得如果小數(shù)乘法按照小數(shù)加法這么算是不對(duì)的，這個(gè)乘法應(yīng)該是25.3乘以4，然后加上25.3乘以0.2，這兩個(gè)的和差不多是106.26。首先是0.3乘0.2等于0.06，然后再25乘0.2等于5，然后再用0.3乘4等于1.2，然后再用25乘4得到100。按照他的猜想，他只算了25乘4，0.3乘0.2，少算了一個(gè)25乘0.2和0.3乘4，所以他的結(jié)果就少了。
（同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭，贊賞地發(fā)出“對(duì)”“對(duì)”的聲音。）
師：明白了？這樣一個(gè)猜想為什么是不對(duì)的呢？原來是和乘法的意義有關(guān)?？戳讼旅孢@個(gè)長方形面積圖。你會(huì)更加明白。（課件逐步出示如下）這個(gè)大長方形的長和寬分別是多少？它的面積用算式表示是什么？
師：你在想什么？
生：橘黃色面積的算式是0.3×0.2。（眾生點(diǎn)頭。）
生：哦，我明白了，兩個(gè)綠色地方是他少算的部分。（眾生頻頻點(diǎn)頭。）
師：現(xiàn)在我們回頭過來，再看看這個(gè)作業(yè)，你怎么評(píng)價(jià)？
生：我覺得這個(gè)同學(xué)很聰明，他知道運(yùn)用原來學(xué)過的方法，但是他在做之前，應(yīng)該想一想它有什么弊端，比如說，少算了什么。
生：加減法是一個(gè)運(yùn)算級(jí)，乘除法是第二個(gè)運(yùn)算級(jí)，我們不能把加法運(yùn)算方法用到乘法上面去。他是想用簡便的方法，就是不太對(duì)。
師：我很贊同大家的觀點(diǎn)?？吹竭@個(gè)作業(yè)，我很欣賞！我覺得他能夠邊計(jì)算、邊觀察數(shù)的特點(diǎn)、邊思考簡便算法，讓呆板的計(jì)算射進(jìn)了思想的光芒。這個(gè)作業(yè)，錯(cuò)得真好，讓我們明白了一個(gè)道理：既然是猜，就有可能對(duì)，也有可能錯(cuò)，因此，猜想之后——
生（齊）：要驗(yàn)證。
師：回顧一下，剛才我們是怎么驗(yàn)證的？
生：剛才我們用正常算的方法，用豎式去算的。
師：正常算，舉一個(gè)例子算一算就知道了。
生：想事實(shí)中算式所表示的圖。
師：真好，角度不一樣。我們可以從豎式去想它的道理，也可以根據(jù)長方形面積圖來說明。我們可以通過舉例子來驗(yàn)證，還可以講道理。這么看來，你覺得這個(gè)作業(yè)好不好？
生：真好！
師：開始我說有兩個(gè)作業(yè)，現(xiàn)在我們看另外一個(gè)作業(yè)，請(qǐng)看——（板書算式）
（638-113）÷25
=525÷25
=500÷25+25÷25
=20+1
=21
看完之后有什么想說的？有人在判斷對(duì)錯(cuò)，我們首先考慮對(duì)還是錯(cuò)？
生（齊）：對(duì)了。
師：你是不是發(fā)現(xiàn)它中間也有一個(gè)猜想？他的猜想是……
（500+25）÷25
=500÷25+25÷25
看著屏幕，你能用自己的話說說這個(gè)猜想嗎？
生：A加上B的和再除以C等于A除以C加上B除以C。
生：我覺得這個(gè)猜想是把乘法分配律變成了除法分配律。
師：現(xiàn)在的問題是除法有分配律嗎？或者說，這是一個(gè)偶然的巧合還是一個(gè)必然的規(guī)律，怎么辦？
生（齊）：多試一把。
師：對(duì)，再多試一把，就再舉幾例子，盡可能多地舉幾個(gè)例子。
師：我請(qǐng)兩位同學(xué)到前面交流一下，有請(qǐng)馬少軒。
馬：我首先舉一個(gè)例子300加上25的和除以25，也就等于300除以25加上25除以25，300除以25等于12，25除以25等于1，12加上1等于13，然后我列一個(gè)豎式答案也是13。第二個(gè)例子……
師：好，我們看得明白了！你這樣舉4個(gè)例子，結(jié)論呢？
馬：我的結(jié)論是這個(gè)類似的除法分配律的猜想是成立的。
（全班熱烈的掌聲。）
……
師：太棒了！剛才同學(xué)交流太精彩了。我特別欣賞馬少軒舉了4個(gè)例子，每個(gè)例子不單有按照猜想計(jì)算出來的步驟，旁邊還有一個(gè)驗(yàn)證的豎式。這樣的比較，很有說服力。
師：有沒有人找到?jīng)]有驗(yàn)證到除法有分配律的例子？
（沒有學(xué)生回應(yīng)。少頃，有學(xué)生忽然想到“質(zhì)數(shù)”，因此教師建議“找一個(gè)質(zhì)數(shù)試一下”，全班也沒找到一個(gè)反例。）
師：現(xiàn)在我們是不是做出一個(gè)結(jié)論，除法是有分配律的？
師：是不是找到很多例子都是對(duì)的，就能夠做出這個(gè)結(jié)論呢？
生：不是。
師：我們找不到反例，不一定就沒有反例，是不是？所以，關(guān)于哥德巴赫猜想，有一個(gè)數(shù)學(xué)家已經(jīng)找了一億多個(gè)例子，但都沒有能夠做出絕對(duì)正確的結(jié)論。剛才我們舉例子了，現(xiàn)在能不能講道理？用生活中的事例來講道理。
生：我是方程證明的。
生：我看明白了。除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)倒數(shù)，乘法是有分配律的，最后再倒過來，乘以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于除以那個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，因此證明了除法有分配律。
（用方程證明的學(xué)生一臉燦爛，連聲說“謝謝！”）
師：不單說“謝謝”，還可以說“你是我的知音”。（全班笑。）都明白了是嗎？
生：我首先肯定他的方法是正確的，然后我覺得他直接寫（a+b+c+d）÷y就可以了。
師：我同意你的建議。我們講道理的話，可以把兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)換成乘以這個(gè)數(shù)倒數(shù)，這樣就有乘法分配律了，這樣就用原來的知識(shí)解決現(xiàn)在的問題。
用生活當(dāng)中的事例，也可以來講道理。看到“除法”是不是讓我們想到“分東西”呢？
生：比如說，要把525個(gè)蘋果，平均分成25份，可以先把500個(gè)蘋果平均分成25份，再把25個(gè)蘋果平均分成25份。
師：現(xiàn)在這么一說，是不是覺得除法真的有分配律？（學(xué)生點(diǎn)頭稱是。）用上我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，口頭回答計(jì)算過程。
用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做幾道題。
（1300+26）÷13=1300÷13+26÷13=100+2=102
（720+8）÷8=720÷8+8÷8=90+1=91
150÷（15+15）=150÷15+150÷15=10+10=20
（前兩題大家異口同聲，到第三題時(shí)有不同的聲音了。）
師：這道題等于多少？
生（部分學(xué)生）：5。
師：等于是5還是20？
生（齊）：5。
師：這兒發(fā)現(xiàn)問題了，剛才咱們說除法有分配律，現(xiàn)在怎么沒有了呢？它們之間不同在哪兒？我們剛才舉例子的時(shí)候怎么沒有考慮到這種情況呢？請(qǐng)舉3個(gè)例子驗(yàn)證“一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的和”的情況。
（同學(xué)們都在埋頭舉例。）
師：還真找3個(gè)例子啊？
生：（醒悟過來了）有一個(gè)不成立的例子就足夠說明了。
師：（板書：正例——？反例——！）舉100個(gè)正例，也不能肯定；舉1個(gè)反例，就可以否定。
如果開始舉例，就考慮到這種類型，舉的例子就更有代表性了。不過，也好，它讓我們學(xué)會(huì)從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，并且，有差錯(cuò)的故事更難忘。
（同學(xué)們開心地笑了。）
師：我有一個(gè)猜想：“所有在場聽課的老師都是北京人?！闭?qǐng)同學(xué)們來幫我驗(yàn)證。你想做些什么？
生：一個(gè)一個(gè)地去問。
生：請(qǐng)是北京人的老師舉手。
生：請(qǐng)不是北京人的老師舉手。
師：你覺得哪個(gè)方法好？（大家都同意第三個(gè)）這就是反例的力量。所以，數(shù)學(xué)家們常常喜歡找反例。
回顧這兩份作業(yè)，回想這一節(jié)課，你有什么收獲呢？
生：我的收獲就是懂得了猜想之后要驗(yàn)證，驗(yàn)證可以舉例子，可以講道理。
生：我還知道了做數(shù)學(xué)題要多做一些猜想，然后再去驗(yàn)證它。這是很有趣的事情。
生：我知道我要學(xué)會(huì)猜想，不會(huì)猜想的話，就永遠(yuǎn)不會(huì)有發(fā)現(xiàn)。
師：我想跟大家交流咱們老校友錢學(xué)森的話：“所謂優(yōu)秀學(xué)生就是要有創(chuàng)新。沒有創(chuàng)新，死記硬背，考試成績?cè)俸靡膊皇莾?yōu)秀學(xué)生?！?/p>
創(chuàng)新來自猜想。要?jiǎng)?chuàng)新就要敢猜想，有猜想就會(huì)有差錯(cuò)。這節(jié)課，讓我們感悟到“猜想之后——”
生（齊）：要驗(yàn)證。
【課后反思】
應(yīng)該說，這節(jié)課課前提出的教學(xué)目標(biāo)是較好地達(dá)到了。課上學(xué)生驚喜——“原來還可以這樣做！”這節(jié)課讓我驚訝——猜想的力量是無窮的，它可以撞開思維之鎖。
已經(jīng)拖堂了，我和學(xué)生都還有好多話兒沒有說出口，時(shí)間都去哪兒啦？一節(jié)課40分鐘究竟能承載多少思考？教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)有結(jié)構(gòu)是一乘一除、一對(duì)一錯(cuò)、一正一反，完美的結(jié)構(gòu)能構(gòu)建起完美的課堂嗎？很難，很難！因?yàn)檫@是從結(jié)構(gòu)出發(fā)的，這是從教師的“一廂情愿”出發(fā)的，而不是基于當(dāng)下的學(xué)生的。再者，我們應(yīng)該追求構(gòu)造完美的課堂嗎？追求美妙的課堂，可能會(huì)更好。老子說“大成若缺”。斷臂的維納斯不完整，但是很美妙。能接受和欣賞殘缺之美，我們?cè)谡n堂上就會(huì)更自在和圓滿。并且，波利亞不是已經(jīng)說了嘛，“盡早建立猜想，慢些承認(rèn)它們”。怎么慢？多舉例是慢，細(xì)思量是慢，不畢其功于一“課”，不奢望一節(jié)課就讓學(xué)生充分地承認(rèn)、十分地信服也是慢……
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