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復(fù)數(shù)不僅有意義，而且可以用圖示來優(yōu)雅地解釋。

1、實(shí)函數(shù)與數(shù)軸變換
大家都認(rèn)識y=e^x，對于這樣的初等函數(shù)，我們從小就學(xué)會使用直角坐標(biāo)系來刻畫它們：

• e^x越往左越擠壓數(shù)軸，越往右越拉伸數(shù)軸

• x^2離0越遠(yuǎn)，對數(shù)軸的拉伸越厲害（在圖上左半邊圖像和右半邊圖像重疊在了一起）。如果有一個小球在實(shí)數(shù)軸上向右滑行，那么它的像則先向左滑行到0，然后再向右滑行。

• x^3離0越遠(yuǎn)，對數(shù)軸的拉伸比樓上更厲害，但是不同的是，向右滑行的小球的像也一直向右滑行。

是擠壓還是拉伸，就看函數(shù)在那一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的絕對值是小于1還是大于1。因此導(dǎo)數(shù)大小的意義就是局部小區(qū)間在變換下的伸縮倍數(shù)。導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號的意義是小區(qū)間是否反向，比如第二個函數(shù)在x^2小于0時(shí)導(dǎo)數(shù)也小于零，那么指向右方的數(shù)軸負(fù)數(shù)部分經(jīng)過變換指向了左方。

2. 復(fù)數(shù)與平面變換
既然可以用上面的數(shù)軸-數(shù)軸對應(yīng)來描述一維函數(shù)，那么類似地，就可以用平面-平面對應(yīng)來描述二維函數(shù)。我們用一個復(fù)數(shù)表示平面上的點(diǎn)，用字母i區(qū)分縱坐標(biāo)，就可以來研究復(fù)數(shù)函數(shù)w=f(z)的性質(zhì)，其中z=x+iy,w=u+iv。假設(shè)我們已經(jīng)默認(rèn)了復(fù)數(shù)的運(yùn)算：

2.1. 復(fù)數(shù)的加法：

• 從圖中可知，加法就是平面的平移，平移量恰好是那個復(fù)數(shù)對應(yīng)的平面向量。
  

2.2 復(fù)數(shù)的乘法：
根據(jù)上面的運(yùn)算法則很容易得到函數(shù) w=iz 的二維對應(yīng)關(guān)系是[x,y]=> [-y, x]，畫在圖上就是：

• 仔細(xì)看可以發(fā)現(xiàn)，各點(diǎn)乘以i 的效果是平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90度，也就是π/2弧度。
  

• 乘以一個一般的復(fù)數(shù)，就是把整個平面按它對應(yīng)的角度旋轉(zhuǎn)θ弧度，再均勻放大 r 倍。

因此，復(fù)數(shù)的加法就是自變量對應(yīng)的平面整體平移，復(fù)數(shù)的乘法就是平面整體旋轉(zhuǎn)和伸縮，旋轉(zhuǎn)量和放大縮小量恰好是這個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的夾角和長度。二維平移和縮放是一維左右平移伸縮的擴(kuò)展，旋轉(zhuǎn)是一個至少要二維才能明顯的特征，限制在一維上，只剩下旋轉(zhuǎn)0度或者旋轉(zhuǎn)180度，對應(yīng)于一維導(dǎo)數(shù)正負(fù)值（小線段是否反向）。

3. 復(fù)變函數(shù)與伸縮旋轉(zhuǎn)
如果在每一個點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)、放縮和平移量都不同（導(dǎo)數(shù)不同），就可以得到比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)函數(shù)，舉個例子：
3.1.

• 請看左圖中的橫向中軸，它在右圖中的像也是橫向中軸，只不過左邊壓縮，右邊擴(kuò)展，這正是我們一開始就提到的一維指數(shù)函數(shù)。而這個圖，恰好就是一開始那個數(shù)軸-數(shù)軸對應(yīng)朝兩邊擴(kuò)展形成平面-平面對應(yīng)的結(jié)果。
  

• 再請看左圖中的豎直中軸，它在右圖發(fā)生了彎曲，貼在了單位圓周上，因此變成了一系列純旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)乘子。這一點(diǎn)在一維中可完全沒有類似物，請謹(jǐn)慎類比。
  

• 其他點(diǎn)介于純粹旋轉(zhuǎn)和純縮放之間。最后，請你回過頭再仔細(xì)看看這幅圖，你會發(fā)現(xiàn)這幾段話也適用于圖中的每個小正方形。小正方形變換前后的旋轉(zhuǎn)和伸縮比例對應(yīng)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本例中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是原函數(shù)自己。
  

圖像也和上面的分析完全吻合：

（來源：知乎-王小龍)

但是復(fù)數(shù)在物理上當(dāng)然可以有很多應(yīng)用.別的回答已經(jīng)舉了很多很多例子,那些都是'物理上使用復(fù)數(shù)工具,然后研究者人為賦予意義'

（來源：知乎-舒自均)

復(fù)數(shù)最直觀的理解就是旋轉(zhuǎn)！

4*i*i = -4

就是“4”在數(shù)軸上旋轉(zhuǎn)了180度。

那么4*i就是旋轉(zhuǎn)了90度。

另外，e^t是什么樣呢？

但當(dāng)你在指數(shù)上加上i之后呢？

變成了一個螺旋線。是不是和電磁場很像？（想拿歐拉公式去跟女生炫學(xué)術(shù)的男生注意了：她們，真的，不CARE）

當(dāng)然，更重要的意義在于復(fù)數(shù)運(yùn)算保留了二維信息。

假如我讓你計(jì)算3+5，雖然你可以輕松的計(jì)算出8，但是如果讓你分解8你會有無數(shù)種分解的方法，3和5原始在各自維度上的信息被覆蓋了。
但是計(jì)算3+5i的話，你依然可以分解出實(shí)部和虛部，就像上圖那樣。

基于以上兩個理由，用復(fù)數(shù)來描述電場與磁場簡直完美到爆棚！
我們即可以讓電場強(qiáng)度與復(fù)數(shù)磁場強(qiáng)度相加而不損失各自的信息，又滿足了電場與磁場90度垂直的要求。另外，一旦我們需要讓任何一個場旋轉(zhuǎn)90度，只要乘一個“i”就可以了

受 @physixfan 答案的提醒，再補(bǔ)充一點(diǎn)。
正弦波在頻域可以看作是自然數(shù)中的“1”，可以構(gòu)成其他數(shù)字的基礎(chǔ)元素。當(dāng)你需要5的時(shí)候，你可以看成是1*5（基礎(chǔ)元素的五倍）也看以看成2+3（一個基礎(chǔ)元素2倍與基礎(chǔ)元素3倍的和）。這些用基礎(chǔ)元素構(gòu)成新元素的運(yùn)算是線性運(yùn)算。
但是現(xiàn)在你如何用線性運(yùn)算吧2sin（wt）變換成4sin（wt+pi/6）呢？

利用歐拉公式，我們可以將任何一個正弦波看作其在實(shí)軸上的投影。假如兩個不同的正弦波，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)為：

好了，現(xiàn)在如果我想用第一個正弦波利用線性變換為第二個，我們就只需要將A乘對應(yīng)的系數(shù)使其放大至B（本例為乘2），然后將θ1加上一定的角度使其變?yōu)棣?（本例為加30度），然后將得到的第二個虛數(shù)重新投影回實(shí)軸，就完成了在實(shí)數(shù)中完全無法做到的變換。

這種利用復(fù)指數(shù)來計(jì)算正弦波的方法也對電磁波極其適用，因?yàn)殡姶挪ǘ际钦也?，?dāng)我們需要一個電磁波在時(shí)間上延遲/提前，或是在空間上前移/后移，只需要乘一個復(fù)指數(shù)就可以完成對相位的調(diào)整了。

（來源：知乎-Heinrich)