數(shù)學(xué)模型之美——1
我接觸數(shù)學(xué)模型是從一本書開始的。那時候，還是改革開放的初期，翻譯者們帶回國《數(shù)學(xué)模型》這本書，在科學(xué)的春天里著手翻譯工作。當(dāng)時計算機(jī)還是個奢侈品，我還是一個初中生，很榮幸地為他們抄寫翻譯手稿。
是這本書，讓我對數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生了極大的興趣，并引領(lǐng)著我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型并喜愛數(shù)學(xué)。
1999年，我首次在我校開設(shè)數(shù)學(xué)模型相關(guān)課程，受到了同學(xué)們的熱烈歡迎。
這些年來，與10多屆的學(xué)生們在數(shù)學(xué)建?；顒又薪⒘松詈竦挠颜x。
現(xiàn)在，越來越多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)模型，他們積極地參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等各種數(shù)學(xué)建?；顒?，并且取得了優(yōu)異的成績。
獲得全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽一等獎的呂金鵬、李一凡和李曉男同學(xué)在總結(jié)里寫道：“數(shù)學(xué)建模讓我們看到了數(shù)學(xué)解決問題的魔力，體會了一種震撼心靈的美?！?/span>
二等獎獲得者宋延麗同學(xué)說：“用勇氣去改變可以改變的，用包容去接受不能改變的，用智慧去區(qū)分兩者的區(qū)別。別人的成果只能借鑒，按照自己的想法做出新的東西。做出我們自己的東西就是勝利。”
江文華同學(xué)說：“想象世界上一個有你，一個沒有你，讓兩者的不同最大，這就是建模教給我的”。
魏渝沁同學(xué)說“建模是艱苦的鍛煉，終生難忘！無論遇到什么困難，我相信都能過去。真正全身心認(rèn)真投入地做事，絕不放棄！數(shù)學(xué)建模讓我感到數(shù)學(xué)無處不在?！?/span>……
相信通過本課程的學(xué)習(xí)，我們一定會進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)模型的思想和方法，并了解數(shù)學(xué)模型為推動人類文明的發(fā)展和科技進(jìn)步所起的巨大的作用。從而拉近我們和數(shù)學(xué)的距離，深刻體會數(shù)學(xué)模型的重要價值。
一、首先講講數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)這門浩瀚的學(xué)科中所扮演的角色。
先談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)？在數(shù)學(xué)發(fā)展的不同階段，人們給它的定義是有區(qū)別的。
在古希臘時期，數(shù)學(xué)一詞是指通過學(xué)習(xí)獲得的知識。
現(xiàn)在，我們普遍接受的數(shù)學(xué)定義是：
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。
所以說，數(shù)學(xué)是一門既古老又現(xiàn)代的學(xué)科。
它是受廣泛的文化及社會政治、經(jīng)濟(jì)和科技發(fā)展的影響而逐步形成的體系。
博大精深的數(shù)學(xué)有三個特點：第一是它的抽象性，第二是它的精確性，第三是它的應(yīng)用的廣泛性。
由于幾千年的抽象化，使得人們頭腦里的數(shù)學(xué)似乎就是枯燥的數(shù)字、符號、公式和定理，這影響了許多人對數(shù)學(xué)的看法。也使許多人對數(shù)學(xué)望而生畏。
我們常常聽到人們的疑問“數(shù)學(xué)有用嗎？”這個問題可能影響著你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。
美國數(shù)學(xué)家克萊因（Kline , 1908年—1992年）曾經(jīng)說過：“一個時代的總的特征，在很大程度上與這個時代的數(shù)學(xué)活動密切相關(guān)，在今天我們這個時代尤為重要?！彼终f：“數(shù)學(xué)不僅是一種方法，一種語言，一種藝術(shù)，數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，它的內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時，影響著政治家的觀點。數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著人類的生活和思想?！?/span>
其實，數(shù)學(xué)不僅重要而且就在我們的身邊。
有這樣一個問題：一輛汽車在拐彎處急剎車，結(jié)果沖到了路邊的溝里，交警趕到現(xiàn)場時，司機(jī)申辯說，他進(jìn)入彎道時剎車失靈。他說當(dāng)時他進(jìn)入彎道時的車速大約是64公里/小時。驗車發(fā)現(xiàn)該車的制動器在事故發(fā)生時確實失靈，那么，司機(jī)有沒有超速呢？要想鑒定司機(jī)所報車速的真實性，數(shù)學(xué)建模就能夠回答。
現(xiàn)在我們就從什么是模型談起。
我們知道，模型無處不在。例如，汽車模型、飛機(jī)模型、人體模型、建筑模型等等。
模型是原型的替代物，是為了某個特定目的對原型的簡縮、模仿和提煉。
那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？
數(shù)學(xué)模型是針對現(xiàn)實世界的特定對象，為了一定目的，進(jìn)行必要的簡化和假設(shè)，運用數(shù)學(xué)的符號、關(guān)系式等，概括表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種工具。
作為一種思考和解決問題的方法，數(shù)學(xué)模型或者能夠解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能夠預(yù)測所研究問題的未來發(fā)展?fàn)顩r，或者提供處理實際問題的最優(yōu)決策。
數(shù)學(xué)模型屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)，它涉及到純數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交互作用。
數(shù)學(xué)模型其實也并不是新生事物，可以說有了數(shù)學(xué)，就有了數(shù)學(xué)模型。
但是，近些年來，隨著科技的迅猛發(fā)展，特別是計算機(jī)的廣泛運用，
數(shù)學(xué)模型這個分支更加活躍起來。
可以這樣說，數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)和實際問題的橋梁。
值得注意的是，數(shù)學(xué)模型與我們以往學(xué)習(xí)的純數(shù)學(xué)理論在研究內(nèi)容、研究方法和研究結(jié)果方面，還是有一些區(qū)別的。
數(shù)學(xué)理論的研究內(nèi)容是：對象的共性和一般規(guī)律；
數(shù)學(xué)模型的研究內(nèi)容是：對象的個性和特殊規(guī)律；
數(shù)學(xué)理論的研究方法是：按照一般原理，考察特定的對象，演繹推理，導(dǎo)出結(jié)論；
數(shù)學(xué)模型的研究內(nèi)容是：根據(jù)個別現(xiàn)象，將所得到的信息進(jìn)行翻譯、歸納，求解、演繹，給出該問題基于數(shù)學(xué)意義的解決方案。
數(shù)學(xué)理論的研究結(jié)果是：經(jīng)過嚴(yán)格的證明，結(jié)果通常是正確的、精確的。
數(shù)學(xué)模型的研究結(jié)果是：受假設(shè)和簡化的影響，結(jié)果通常帶有誤差，需要進(jìn)一步修正、檢驗和完善。
二、談?wù)剶?shù)學(xué)建模。
數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的全過程。比如，前面提到的司機(jī)是否違章駕駛的問題，就是一個簡單的數(shù)學(xué)建模問題。
數(shù)學(xué)建模就是對某個特定對象，通過對各種素材、信息加以取舍、選擇，分析研究對象主要因素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)原理，對主要因素作新的有用的組合，從而反映與建模目的相適應(yīng)的事物的本質(zhì)規(guī)律，形成以新的組合為框架的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造性活動，是為了解決因社會發(fā)展的需要而提出來的各種問題。
數(shù)學(xué)建模的方法主要有——
機(jī)理分析法：根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律。
測試分析法：將對象看作“黑箱”，通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。
綜合分析法：用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，用測試分析確定模型中的參數(shù)。
數(shù)學(xué)建模主要針對實際案例開展研究 (Case Studies)。
因此，建模時首先要了解實際背景、明確建模目的、搜集有關(guān)信息、掌握對象特征。
一般來說，數(shù)學(xué)建模的過程包括以下幾個步驟：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型的改進(jìn)及應(yīng)用，等等。
數(shù)學(xué)建模通常是比較復(fù)雜的，這里我們只解釋其中的兩個環(huán)節(jié)：
簡化——數(shù)學(xué)模型反映了研究對象在量的方面的某種本質(zhì)特征，從量的方面描寫自然、社會的具體事物和現(xiàn)象。
數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵就要是要抓住主要矛盾，揭示事物和現(xiàn)象內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律。
也就是說要抽出影響特征的主要因素，拋棄次要因素。
如果我們考慮的因素太多，模型太復(fù)雜，就不易處理；如果舍去的東西太多，模型雖然簡單，又可能不符合實際。所以取舍或選擇要力求抓住主要矛盾，反映事物的本質(zhì)。
假設(shè)——假設(shè)也是建立數(shù)學(xué)模型的一個重要步驟。有時候，假設(shè)是理想化的，是為了處理問題的方便提出來的。
通過假設(shè)把對象相應(yīng)的性質(zhì)近似的刻畫出來，進(jìn)而反映它的本質(zhì)。
必須強調(diào)的是，假設(shè)必須有足夠的合理性。如果假設(shè)超出客觀實際和常識太遠(yuǎn)，就會“不靠譜”了，常常會導(dǎo)致做出的數(shù)學(xué)模型沒有意義，沒有價值。
數(shù)學(xué)建模的具體步驟還有很多，這里我們不多講。
值得一提的是，數(shù)學(xué)建模是從問題開始的，提出問題、收集信息十分重要。了解相關(guān)學(xué)科的背景知識也必不可少。
可以說，沒有長時間的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，沒有廣博的數(shù)學(xué)知識，沒有嚴(yán)格的治學(xué)態(tài)度，沒有一定的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，是很難做出優(yōu)美的數(shù)學(xué)模型的。
三、關(guān)于數(shù)學(xué)美。
你或許會問，數(shù)學(xué)是科學(xué)，怎么和美有關(guān)系呢？
進(jìn)入21世紀(jì)以來,隨著數(shù)字化信息時代的到來，許多世界一流的數(shù)學(xué)家看到了數(shù)學(xué)理論的審美價值，體驗到美學(xué)方法在數(shù)學(xué)研究中有著重要的作用，是人的意志、智慧、激情或者說人的本質(zhì)力量的顯現(xiàn)，從而情不自禁的謳歌數(shù)學(xué)美，引領(lǐng)人們熱愛數(shù)學(xué)。
所以，我們有必要以美的方式來解讀數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。
先談?wù)勈裁词敲溃?/span>
所謂美就是其所有的各個構(gòu)成部分都均勻、不能再增減一筆或者改變半分。美就是一種與世界之普遍和諧的一致。
生活中，美的東西很多，有美麗的花、美麗的人、美麗的山川、美麗的建筑。
那么，什么是數(shù)學(xué)美？
我們聽聽數(shù)學(xué)家怎么說。
哈代（Hardy，1877年—1947年）說：“數(shù)學(xué)家的模式，就像畫家或詩人的模式一樣，是充滿美感的；數(shù)學(xué)的概念就像畫家的顏色或詩人的文字一樣，一定會和諧地組合在一起。美感是首要的試金石，丑陋的數(shù)學(xué)在世界上是站不住腳的。”
羅素（Russell，1872-1970）說：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美，這是一種莊重而嚴(yán)格的美，這種美不是投合于我們天性中的脆弱的方面，而是純凈到了崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格且只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地?！?/span>
克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書中強調(diào)，“作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。”
前面提到，我們常常把美和藝術(shù)聯(lián)系起來。是的，藝術(shù)作品追求美的表現(xiàn)，比如，一首詩、一幅畫常常能激起我們心靈的美感。
龐加萊（Poincaré，1854年—1912年）指出：藝術(shù)選擇那些最能使藝術(shù)形象完整并賦予個性和生氣的事實。科學(xué)總是選擇最能反映宇宙和諧的事實。
偉大的愛因斯坦（Einstein，1879年－1955年）說，人們總想以最適當(dāng)?shù)姆绞絹懋嫵鲆环喕暮鸵最I(lǐng)悟的世界圖像。于是他們就試圖用他們的這種世界體系來代替經(jīng)驗的世界，并來征服它。
這就是數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和自然科學(xué)家所做的工作。他們都按自己的方式去創(chuàng)造美的作品，當(dāng)然也包括數(shù)學(xué)模型。
所以說，數(shù)學(xué)美和藝術(shù)美十分相似。事實上，數(shù)學(xué)在很大程度上也是一門藝術(shù)。
數(shù)學(xué)和藝術(shù)都在恰到好處近似地描繪著我們這個多姿多彩的世界。
和創(chuàng)造一個有魅力的藝術(shù)作品一樣，數(shù)學(xué)模型也是一種創(chuàng)造，而且必須符合美學(xué)的原則。
所以，數(shù)學(xué)模型之美，就表現(xiàn)在建立這個數(shù)學(xué)模型的過程之中，它的每個環(huán)節(jié)都在向我們展示著它的簡潔之美、抽象之美、對稱之美、奇異之美、結(jié)構(gòu)之美、統(tǒng)一之美，等等。
四、談?wù)勊季S方法。
數(shù)學(xué)建模，目的是數(shù)學(xué)來解決實際問題，就像解決“一題多解”的應(yīng)用題。
不僅需要數(shù)學(xué)知識和相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的背景知識，數(shù)學(xué)思維也是建立數(shù)學(xué)模型和解決實際問題的重要基礎(chǔ)。
先談?wù)劼?lián)想和想象——
聯(lián)想是從一個事物想象到另一事物的心理過程。
想象是人們對頭腦中感知的形象、表象，加工改造成新形象的心理活動。
可以說，沒有聯(lián)想和想象就沒有創(chuàng)造。
唐代詩人李賀《夢天》中有這樣一句詩“遙望齊州九點煙，一泓海水杯中瀉”、李白《望廬山瀑布》中有著名的詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，這些詩句都極富想象力。
齊白石有一幅名畫：“蛙聲十里出山泉”，背景是遠(yuǎn)山，近景是一片帶有幾只蝌蚪的從山間亂石中瀉出來的急流，畫面上我們雖然并沒有看到一只大青蛙，卻從湍流中活潑生動的小蝌蚪身上聽見了十里蛙聲。大師作畫的時候，準(zhǔn)確的捕捉了主題，把對象的形和神真實生動的表現(xiàn)了出來，展示了絕妙無比的想象力。
只有經(jīng)過深入的、準(zhǔn)確的分析，充分體會和掌握對象的特殊本質(zhì)及其特征，才能創(chuàng)造出有魅力、有價值的作品。
開普勒通過計算，發(fā)現(xiàn)地球繞太陽運行的圓軌道存在較大的誤差，從而聯(lián)想到這個軌道應(yīng)該是橢圓的。
維納在麻省理工學(xué)院面對美麗的查爾斯河景色時，浮想聯(lián)翩。這奔騰不息的波浪具有什么數(shù)學(xué)的規(guī)律性呢？于是就產(chǎn)生了維納過程等數(shù)學(xué)模型。
談?wù)勚庇X和靈感——
直覺思維是指對于一個問題未經(jīng)逐步分析，僅僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速對問題作出判斷、猜想和設(shè)想，或者突然產(chǎn)生的“靈感”和“頓悟”，甚至對答案和結(jié)果的“預(yù)感”、“預(yù)測”。
數(shù)學(xué)和藝術(shù)都離不開直覺和靈感。
直覺是非邏輯的，是對事物一種直接的迅速的識別和綜合判斷。
西方現(xiàn)代舞之母伊莎多拉．鄧肯（Duncan，1878年—1927年）曾說“我的舞蹈動作是從大自然的源泉中得來的，我的靈感從樹林、云彩、海浪以及介于熱情和山嵐之間、或恬靜與微風(fēng)之間的共感而來?！?/span>
建立數(shù)學(xué)模型時，要緊緊抓住稍縱即逝的智慧火花——靈感。
談?wù)劙l(fā)散思維——
發(fā)散思維也稱為輻射思維、放射思維、擴(kuò)散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現(xiàn)的一種擴(kuò)散狀態(tài)的思維模式。它表現(xiàn)為思維視野廣闊，呈現(xiàn)多維的發(fā)散狀。
這一點和繪畫的布置或構(gòu)圖很相似。
中國畫講究大小相間、高下相傾、聚散相應(yīng)、前后相通的和諧效果，追求意境的創(chuàng)造。
我們知道，對同一類事物的描寫，有形式不同的藝術(shù)作品，這恰恰表現(xiàn)了藝術(shù)家各自的獨具匠心、情感和風(fēng)格。比如，
齊白石和畢加索都畫過和平鴿，風(fēng)格迥異；
張大千、劉海粟都畫過山水畫，卻有不同的魅力。
以不同的數(shù)學(xué)方法觀察和處理同一類問題，它們的數(shù)學(xué)模型構(gòu)成也會各有千秋。
“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，這句詩可以用來形容從不同角度、用不同方法觀察表現(xiàn)對象的數(shù)學(xué)建模效果。
談?wù)劤橄笏季S——
抽象是人類的一種高級的智慧。
是人們在認(rèn)識活動中，運用概念、判斷、推理等思維形式，對客觀現(xiàn)實進(jìn)行間接的、概括的反映。
數(shù)學(xué)模型構(gòu)成的方法似乎更接近于強調(diào)表現(xiàn)的現(xiàn)代抽象藝術(shù)。
在一些現(xiàn)代藝術(shù)家眼里，藝術(shù)的目的就是把觀眾放在一種數(shù)學(xué)性質(zhì)的狀態(tài)中，即一種高尚的秩序的狀態(tài)中。
人們高度稱贊畢加索：世界上從來沒有一位畫家像畢加索那樣有著驚人的坦誠之心和天真無邪的創(chuàng)造力。
牛頓（Newton，1643年—1727年）想象物體之間存在著超距的作用力。于是，他把偌大的天體抽象成質(zhì)量集中在中心的一個質(zhì)點，創(chuàng)建了萬有引力模型。
總之，一個成功的數(shù)學(xué)模型，如果它是美的，那么首先就應(yīng)該是真的、合理的，善的、有意義的，必須具有可靠性和適用性。
但是，數(shù)學(xué)建模時，我們也不必過于追求完美，只要在允許的誤差意義下，在符合實際方面可以接受的情況下，就完成了這個數(shù)學(xué)模型的建立。
數(shù)學(xué)模型的廣告詞：“沒有最好，只有更好”！
正如數(shù)學(xué)家瑞尼(Alfred Renyi 1921—1970）說，“甚至一個粗糙的數(shù)學(xué)模型也能幫助我們更好地理解一個實際的問題。因為建立數(shù)學(xué)模型時，我們通常受限地考慮了各種邏輯關(guān)系，不含混地約定了所有的概念，并且區(qū)分了重要的和次要的因素。所以，一個數(shù)學(xué)模型即使導(dǎo)出了與事實不完全符合的結(jié)果，它也還可能是有價值的，因為一個模型的失敗常常可以幫助我們?nèi)ふ液徒⒏玫哪Ｐ??！?/span>
我們探討數(shù)學(xué)模型之美，是希望我們能夠從思想方法上更好地駕馭數(shù)學(xué)模型。雖然我們也談了一些數(shù)學(xué)建模相關(guān)知識，但是還很不夠。要想深入地開展數(shù)學(xué)建?；顒樱€有待進(jìn)一步的學(xué)習(xí)、提高與實踐。正如那句話說的好“要知道梨子甜不甜，品嘗一下才會知道”。
希望我們在對數(shù)學(xué)模型之美的欣賞中，喜歡數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)建模。
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