怎樣數(shù)到無(wú)窮多 (科學(xué)童話)
引子
中世紀(jì)時(shí)歐洲有兩個(gè)富足和平的小國(guó)，叫巴列和里甘。人民安居樂業(yè)，兩個(gè)國(guó)王也無(wú)所事事，每天湊在一起喝酒論道。一天他們心血來(lái)潮，想比比兩人誰(shuí)更聰明。巴列王問：“你能數(shù)多少個(gè)數(shù)”里甘國(guó)王想了半天漲紅臉說：“七個(gè)”。巴列王笑了，說：“啊，那還是你聰明”。
童鞋們不要笑，他們確實(shí)是很真誠(chéng)的人?，F(xiàn)代神經(jīng)生理學(xué)認(rèn)為，人腦子里的記事本最多只能同時(shí)記下七個(gè)數(shù)，腦力差點(diǎn)的則只能同時(shí)記４－５個(gè)。這個(gè)記事本的科學(xué)術(shù)語(yǔ)叫“操作記憶”（workingmemory）。這個(gè)記事本雖然小，但是要記住事實(shí)，數(shù)字等等抽象概念，一定把內(nèi)容先存放在操作記憶中。因?yàn)檫@個(gè)七的限制，我們記電話號(hào)碼時(shí)一般要分成幾組數(shù)來(lái)記，比如想記住巴列王的手機(jī)號(hào)13527606368 只要分成135, 276, 06863三個(gè)組，就容易多了。
嘿! 很多同學(xué)舉手了,你怎么知道巴列王的電話呢? 說來(lái)話長(zhǎng). 我是學(xué)畫畫的, 別人喜歡在光天化日下畫真實(shí)的風(fēng)景,而我卻喜歡在漆黑的暗夜里閉著眼睛泯思苦想, 捕捉腦子里的幻想畫到紙上. 這樣雖然我大部分的畫都是垃圾, 但有時(shí)候突然一幅畫會(huì)變得很值錢. 有一天, 在我Berkeley springs 的畫廊,一個(gè)穿著講究的老者對(duì)著我的一幅畫發(fā)呆, 說是和他的心理很有共鳴. 那畫已經(jīng)拍賣過, 本來(lái)是不值錢的,放在墻角沒人理. 但他既然看了那么久, 我也就獅子大開口,開了一個(gè)天價(jià). 他說,不貴,不貴. 但他手邊現(xiàn)金不夠. 希望我到他的古董店里,用一件實(shí)物交換. 我看上了一臺(tái)1970年代的古董手機(jī).雖然已經(jīng)完全不能用, 但在1970年代還完全是個(gè)科幻式的物件. 我喜歡收集這種載有原創(chuàng)想法的東西.
1970年代的手機(jī)和他的發(fā)明者馬丁庫(kù)柏( Martin Cooper,). 1973年4月, 庫(kù)柏用這個(gè)手機(jī)打的第一個(gè)電話給了他的商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)者, 貝耳實(shí)驗(yàn)室的優(yōu)瑟福伊構(gòu)(Joel S. Engel ).
我一般白天睡覺晚上工作, 在一個(gè)沉靜無(wú)聲的冬夜,那臺(tái)手機(jī)突然響了! 這根本不可能! 我遲疑地接了電話,那邊是個(gè)老人, 講著怪里怪氣, 帶南歐口音的英語(yǔ).他說他叫侯賽因巴列. 是一個(gè)小國(guó)的統(tǒng)制者. 他說商人到北非經(jīng)商帶回了一個(gè)奇怪的物件,可以和不認(rèn)識(shí)的人講話, 而且那人根本不住在那個(gè)盒子里. 我雖然一直懷疑這是那天買畫的老外的惡作劇,但和那老人的談話內(nèi)容卻深深地吸引了我. 那天不知不覺就說了兩小時(shí). 后來(lái)我經(jīng)常收到他的電話, 而且完全相信他是古代歐洲的一個(gè)國(guó)君,巴列王.
（一）
今天我們幼兒園的小盆友都能輕易數(shù)到二百，中學(xué)生更能數(shù)到無(wú)限多，我把這個(gè)好消息打電話告訴巴列國(guó)王，并讓他說說感想。他有點(diǎn)激動(dòng), 說“這并不能代表你們未來(lái)人更聰明，你們所謂的數(shù)數(shù)都是一個(gè)一個(gè)數(shù)的，比如數(shù)到251的時(shí)候，只要記住前面一個(gè)數(shù)是二百五, 再往上加個(gè)一就行了。就象狗熊掰棒子，數(shù)了后面忘了前面，并沒有在腦子里形成一個(gè)真實(shí)的數(shù)量概念。另外，一個(gè)人的壽命是有限的，你數(shù)得再快最后也還是個(gè)有限的數(shù)字，怎么也不能無(wú)限多呀，所以所謂數(shù)到無(wú)限多，不過是一個(gè)不能被人駁倒的狡辯”。
真是天才呀！巴列王并不知道若干百年之后，嚴(yán)格的算術(shù)學(xué)興起，竟然象上帝創(chuàng)造世界那樣，先定義“一”再定義“一加一”的運(yùn)算。然后用一和一加一運(yùn)算定義了二，再由一和N次重復(fù)的一加一運(yùn)算定義了大數(shù)N. 這樣所謂無(wú)窮多就是說比任何一個(gè)大數(shù)都多，因?yàn)閷?duì)任何大數(shù)Ｎ都可以使用“N加一”的運(yùn)算，從而產(chǎn)生一個(gè)更大的數(shù)。
（二）
這無(wú)窮多究竟是怎樣一個(gè)概念呢？關(guān)于這個(gè)問題我和巴列王討論了很久，他說這是個(gè)不可想象的魔鬼概念，他還說即使你們有了現(xiàn)代嚴(yán)格的數(shù)學(xué)，也許這個(gè)概念還是不清楚的。比如說，雖然無(wú)窮多是比任何大數(shù)都多，那么有沒有一個(gè)比“無(wú)窮多”更多的“無(wú)窮多”呢？
這個(gè)問題近代的算數(shù)學(xué)家早就想過了，回答的辦法就是“一一對(duì)應(yīng)”的運(yùn)算。這種方法就象在自由市場(chǎng)兩個(gè)小攤上比較珍珠項(xiàng)鏈，如果你這串上有一個(gè)我這串上也有一個(gè)，買主就會(huì)認(rèn)為兩串珠子一樣多。用這種方法的好處是不用一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。你這串有N個(gè)珠子，我只要有Ｎ加一個(gè)，就可以比你多?？墒侨绻麅蓚€(gè)攤主都會(huì)N+1的把戲，買主就糊涂了，只能認(rèn)為兩串珠子是一樣多的。我們可以把一串?dāng)?shù)字比成一條珍珠項(xiàng)鏈來(lái)。項(xiàng)鏈的里的線是數(shù)軸，上面的一個(gè)個(gè)數(shù)字比成一個(gè)珍珠。這樣，比較兩個(gè)無(wú)窮大的就成了在數(shù)軸上“你加一個(gè)數(shù)字，我也能加一個(gè)數(shù)字”的游戲。一一對(duì)應(yīng)是個(gè)很神奇的手段, 如果你有一個(gè)無(wú)窮序列是1,2,3…..我的一個(gè)是100, 200, 300….這樣雖然看起來(lái)100比1大, 100,200,300… 的數(shù)列比1,2,3…的數(shù)列看起來(lái)增長(zhǎng)快得多,但是因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)列都是無(wú)窮大, 而且能夠一一對(duì)應(yīng), 這兩個(gè)數(shù)列就是一樣多的.
對(duì)這個(gè)道理巴列王完全同意, 他說人腦那點(diǎn)記憶能力太有限, 必須要用邏輯學(xué)的思辨, 在理論上達(dá)到相對(duì)的自圓其說, 才能使算術(shù)超越形象思維的限制.
（三）
一一對(duì)應(yīng)這個(gè)游戲雖然好玩，但也要小心。如果你有一串自然數(shù)列（就是1,2, 3…..直到無(wú)窮）而我有一串有理數(shù)列（就是自然數(shù)加上分?jǐn)?shù)）這樣在你的1和2之間，我就可以加上無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)（1-1/2, 1-1/3, 1-1/4….）。同樣在２和３之間也能加無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)，而你的１和２之間卻不能再加了，這樣看起來(lái)似乎有理數(shù)的無(wú)窮數(shù)列比自然數(shù)的無(wú)窮數(shù)列可以多了無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多吧?（好繞嘴呀），是否這兩個(gè)無(wú)窮多就不能一一對(duì)應(yīng)了呢？
可是用一一對(duì)應(yīng)的辦法一算，自然數(shù)和有理數(shù)的無(wú)窮數(shù)列還是能一一對(duì)應(yīng)的.為清楚起見，我給巴列王舉了一個(gè)簡(jiǎn)單的有理無(wú)窮序列例子, 1,1.5, 2, 2.5, 3, 3.5…. 如果我把這個(gè)有理序列乘２，就得到一個(gè)無(wú)窮的自然數(shù)序列2,3,4,5…..， 它當(dāng)然與自然數(shù)無(wú)窮序列1,2,3…是能一一對(duì)應(yīng)的。所以自然數(shù)和有理數(shù)的無(wú)窮多是一樣的.
（四）
聽了我的分析, 巴列國(guó)王非常感興趣，他說已經(jīng)懸賞國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)家, 找到一個(gè)比自然無(wú)窮序列更大的無(wú)窮數(shù)列. 解決這個(gè)一一對(duì)應(yīng)的魔咒. 他還說賞金是塊皇家寶石，一塊雞蛋大的祖母綠。如果我能在率先解決這個(gè)問題，這塊寶石就賞給我。
他的話大大地激發(fā)了我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可是卻不知道怎樣能夠讓他的圣旨穿越千年順利地在我面前執(zhí)行。兩天后我終于有了好辦法，就告訴他他王國(guó)境內(nèi)的尼坡林教堂至今還保存完好，在今天西班牙的北部。只要他把寶石和寫在羊皮紙上的圣旨放在一個(gè)密封的盒子里，埋在地下室第七塊大條石下面，我就可以取到。我特別叮囑他一定要寫上我的出生日期，地點(diǎn)和身份證號(hào)，免得警察找我麻煩。
現(xiàn)今西班牙北部的一個(gè)無(wú)名小教堂,是巴列王把皇家寶石賞賜給我的地方.
哇! 這是真的! 我去西班牙北部取回了巴列王的獎(jiǎng)賞, 驚得半天和不上嘴.
2860克拉的皇家祖母綠
我必須申明, 現(xiàn)代人穿越的規(guī)矩我都懂, 并且自覺地嚴(yán)格遵守. 老天爺對(duì)我照應(yīng)的不錯(cuò), 經(jīng)常在我付不起賬單的時(shí)候突然讓我的某張畫賣個(gè)好價(jià)錢. 所以我一定要遵守穿越的規(guī)矩. 在和巴列王交談的時(shí)候我只談數(shù)學(xué)和繪畫藝術(shù).現(xiàn)代的工程技術(shù)包括炸藥制造,望遠(yuǎn)鏡顯微鏡, 槍炮,飛機(jī)艦船, 甚至蒸汽動(dòng)力這類的事我都完全不提. 我深知只要任何一項(xiàng)現(xiàn)代技術(shù)如果過早傳入歐洲,歷史都可能會(huì)被重寫, 對(duì)東方文明帶來(lái)災(zāi)難. 比如成吉斯汗被歐洲給滅了,那么中國(guó)的明朝就會(huì)提早到來(lái), 提早出現(xiàn)明末的高度繁榮和腐敗. 也許在清兵入侵之前還會(huì)有一次農(nóng)民起義和改朝換代. 那我們家的祖上也許就不會(huì)逃荒到江南, 是不是有我也不知道了,即使有我, 基因組成也會(huì)不同,也許就沒有畫畫的天才了….哇, 想都不敢想, 真正的蝴蝶效應(yīng)啊.
無(wú)理數(shù)
我給巴列王懸賞的答案看起來(lái)很簡(jiǎn)單: 我模模糊糊地覺得在實(shí)數(shù)軸上的數(shù)是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總和, 無(wú)理數(shù)不但是無(wú)限多的, 而且比有理數(shù)的無(wú)限多還要多得多, 這就打破了和有理數(shù)軸上數(shù)字的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.所謂無(wú)理數(shù)咱們小學(xué)都學(xué)過, 就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù), 巴列王也知道無(wú)理數(shù)的存在,他的皇家學(xué)院數(shù)學(xué)家讀過地中海商船帶來(lái)的古代阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)手稿, 知道很多個(gè)無(wú)理數(shù), 如2,3,5,6,7…的開平方,另外還有圓周率等等.
巴列王說我說的好象有道理, 但要拿到皇家寶石必須有嚴(yán)格的證明, 比如怎么知道無(wú)理數(shù)有無(wú)限多,怎么知道無(wú)理數(shù)集合和有理數(shù)集合不能一一對(duì)應(yīng)等等. 為了給他一個(gè)圓滿的回答, 我仔細(xì)地研究了這個(gè)問題. 原來(lái)在1870年代,一位29歲的年輕人, 俄裔德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Georg Cantor), 發(fā)表了一篇文章專門證明了這個(gè)問題. 他的證明在一百多年來(lái)已經(jīng)被數(shù)學(xué)界廣泛接受.
康托爾在30歲左右, 在他發(fā)表文章證明不可數(shù)集存在時(shí)的照片.
對(duì)角線法
康托爾發(fā)明了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方法, 叫做“對(duì)角線法”(Cantor’s diagonal argument) , 用此方法可以產(chǎn)生大量無(wú)法與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)字, 這些數(shù)字都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù), 即無(wú)理數(shù).
可是, 要理解這些m和w對(duì)我并不容易, 更何況要通過電話給巴列王講清. 在數(shù)學(xué)教科書里對(duì)此法的描述對(duì)我來(lái)講非常難懂,在講解之前先講集合論, 定理引理講了一大堆. 讀著讀著就想起了我以前學(xué)數(shù)學(xué)的窘境:人家剛定義了一個(gè)啥事, 我一轉(zhuǎn)眼就忘了. 等到用上這定義時(shí)還得回頭去看.看著看著就困了, 咪了一小覺就到了去食堂吃飯的時(shí)間, 吃完飯更困了,睡醒天已經(jīng)黑了, 又餓了, 必須去食堂買粥和咸菜…. 最后只好認(rèn)慫, 自己不是學(xué)數(shù)學(xué)的材料. 還是畫畫吧….我多么希望有一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 “Suzuki method” (注) 就是那種不管語(yǔ)言嚴(yán)格不嚴(yán)格, 先把精神領(lǐng)會(huì)了再說的學(xué)習(xí)方法. 在今天的互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代啥高深的理論都可以用大白話講清楚的.我把“Cantor’sdiagonal argument for dummies”輸進(jìn)谷歌,馬上得到一大堆網(wǎng)頁(yè),很快就看明白了. 于是我把基本意思畫在自己能懂的下圖里:
首先, 如圖左邊籃框所示, 隨便找一個(gè)實(shí)數(shù),比如0.135689…..用自然數(shù)1與之對(duì)應(yīng);然后再找一個(gè)0.004578, 用2與之對(duì)應(yīng).如此搞到無(wú)限大,假定全體小于1的實(shí)數(shù)都能找到一個(gè)與之一一對(duì)應(yīng)的自然數(shù). 第二對(duì)這個(gè)假設(shè)進(jìn)行反證, 即找到一個(gè)新的實(shí)數(shù),不等于右邊任何一個(gè)數(shù). 為了造這么個(gè)數(shù), 康托取每個(gè)實(shí)數(shù)的一位,如第一個(gè)數(shù)的第一位, 第二個(gè)數(shù)的第二位…. 如此,用圖左邊每個(gè)實(shí)數(shù)中用紅色標(biāo)的那一位造成圖右的數(shù)q. 為了防止q與任何一個(gè)實(shí)數(shù)相同, 康托把每位加一,得到圖右邊的數(shù)r. 這個(gè)r肯定不在圖左所有的數(shù)之中,因?yàn)樗兔總€(gè)數(shù)至少有一位是不同的. 由此就打破了和自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.
巴列王聽到這里插話說, “可是自然數(shù)有無(wú)窮多個(gè)啊, 你只要多加用一個(gè)自然數(shù)就行了”. 對(duì)角線法的精髓就在這里,你可以加, 但我用同樣方法可以造出更多更多的數(shù), 即把r列進(jìn)去,再每個(gè)數(shù)取一位造個(gè)新的r. 這樣就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過自然數(shù)的無(wú)限大可以一一對(duì)應(yīng)的能力.
巴列王聽到這里若有所思, 說 “ 原來(lái)所謂無(wú)窮多也是有限的,還有比無(wú)窮多更大的無(wú)窮多啊!”. 正是如此, 我把剛學(xué)來(lái)的數(shù)學(xué)詞向他賣弄: “所有康托把自然數(shù)的無(wú)窮大稱為“可數(shù)”的,而實(shí)數(shù)的無(wú)限大則稱為“不可數(shù)”(uncountable) 的. 這點(diǎn)巴列王完全同意. 他說我們最基本的運(yùn)算就是數(shù)數(shù). 數(shù)數(shù)就是用自然數(shù)與要數(shù)的對(duì)象一一對(duì)應(yīng).他說沒想到人類居然可以利用自己的想象, 把數(shù)數(shù)這個(gè)操作擴(kuò)展到無(wú)窮多, 進(jìn)而證明可以有人類力不所能及的“數(shù)也數(shù)不清” 現(xiàn)象.
在沉靜的暗夜, 電話那邊傳來(lái)他輕輕的嘆息, “這簡(jiǎn)直像圣經(jīng)里通天塔的故事.人類以為自己只要一磚一石地積累, 就能達(dá)到天堂的高度. 可是上帝通過數(shù)學(xué)家透露了一個(gè)小秘密, 從理論上證明人類有根本不可能完成的任務(wù)”.
黑暗中, 桌上的皇家寶石閃著幽幽綠光, 我覺得我們的談話有些沉重.于是我叉開話題, 把中心重新引回到數(shù)學(xué). 我問陛下,“如果你在實(shí)數(shù)軸上隨便撿起一個(gè)數(shù), 有多少幾率撿起一個(gè)有理數(shù)?” 巴列王想想說,“你剛才說了無(wú)理數(shù)可能比有理數(shù)多得多, 那么我想大概實(shí)數(shù)軸上大多數(shù)字都是無(wú)理數(shù)吧.”
從他的回答里, 我知道他并沒有完全理解我們討論的意義. 于是我告訴他, 有理數(shù)在實(shí)數(shù)軸上實(shí)在太稀少了,如果你花一輩子時(shí)間在實(shí)數(shù)軸上的0到1 之間撒網(wǎng), 每網(wǎng)撈起一萬(wàn)個(gè)數(shù)字,每天撈一萬(wàn)網(wǎng), 這樣一輩子找到一個(gè)有理數(shù)的可能性都幾乎是0.
巴列王聽了確實(shí)有點(diǎn)吃驚, 說我怎么也想不到與無(wú)理數(shù)比起來(lái)有理數(shù)會(huì)這么稀疏. 他急切地要求我他證明一下. 我說,在實(shí)數(shù)軸上的0到1 之間應(yīng)該有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字, 一網(wǎng)只撈起一萬(wàn)個(gè), 可以說是完全隨機(jī)的. 就象扔骰子得到的一樣.我們可以用扔一把十面骰子來(lái)模擬打上來(lái)的數(shù)字.
十面骰子
如圖, 扔了5個(gè)十面骰子, 可以用紅, 白,綠,黃,藍(lán)分別代表小數(shù)點(diǎn)后的一到五位數(shù), 圖上的數(shù)即是一個(gè)五位小數(shù),0.00488. 當(dāng)然一個(gè)實(shí)數(shù)可以有無(wú)限位, 所以我們要用無(wú)限多個(gè)骰子來(lái)模擬.好了, 如果我們想得到一個(gè)有理數(shù)1, 或者無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.9999999…..,就需要在這一把無(wú)窮多個(gè)骰子里面, 所有骰子都出現(xiàn)9. 這有多大可能呢?
巴列王國(guó)是有皇家賭場(chǎng)的, 他知道扔骰子出現(xiàn)清一色情況的幾率. “啊”,巴列王頓了一下, 可以感到他受到的震撼. 可是,他馬上又說“但是1 只有一個(gè), 而有理數(shù)卻有無(wú)數(shù)個(gè)呀!從無(wú)數(shù)多里撈一個(gè), 機(jī)會(huì)總是有的吧?”.
我說你能感覺到骰子清一色的稀少, 問題就好辦多了. 在英文里, 有理數(shù)叫做“rational numbers” 是“可比”的意思, 就是可以寫成分?jǐn)?shù)的型式.而把分?jǐn)?shù)化成小數(shù), 就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)小數(shù)的現(xiàn)象, 比如1/21,就可以寫成0.047619 047619 047619……. 即使寫到無(wú)窮數(shù)位, 也是循環(huán)的. 那么有多大可能在扔一把骰子的時(shí)候出現(xiàn)這種循環(huán)現(xiàn)象呢? “這我就全明白了”,巴列王說, “如果想撈到0.1, 0.01, 0.0001… 就需要只有一個(gè)骰子是1, 其他無(wú)窮多個(gè)都是0,確實(shí)是不可能的啊”.
這個(gè)關(guān)于在實(shí)數(shù)軸上撒網(wǎng)撈到有理數(shù)幾率很低的道理,是法國(guó)數(shù)學(xué)家和政治家Emile Borel 1909年證明的. 說得更精確點(diǎn), 在實(shí)數(shù)軸上隨機(jī)找到有理數(shù)的幾率是0.
Emile Borel
我每次和巴列王通話的時(shí)候都卑謙地請(qǐng)陛下原諒, 因?yàn)樗形艺f的并非是我的原創(chuàng),
而是轉(zhuǎn)述世間天才的思想. 巴列王非常理解, 但他說即使是這種轉(zhuǎn)述,對(duì)他也是絕對(duì)珍貴的. 他說他很怕我哪一天不理他了.為了保持和我經(jīng)常通話,他愿意傾其國(guó)力給我補(bǔ)償. 他說我們每一次談話, 我就給你一個(gè)羅馬凱撒時(shí)代的金幣.我聽了眼睛直冒綠光, 一個(gè)那時(shí)候的金幣,今天值5000美元. 而我的成本只有一搓茶葉, 兩只胖大海.完全可以告別窮畫家的生涯了! 要知我泄露給巴列王何等驚天動(dòng)地的秘密, 還聽我下回分解.
附錄1
我作為一個(gè)流浪天涯混口飯吃的人, 是沒有辦法重回大學(xué)系統(tǒng)地學(xué)一遍數(shù)學(xué)的. 但我生在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代, 我把 “對(duì)角線法”“無(wú)窮集”兩個(gè)詞放到谷歌上搜索, 馬上找到一位臺(tái)灣TitusPeng先生的講課視頻. 9分鐘時(shí)間,沒有一句廢話, 就完全讓我聽懂了康托的對(duì)角線正法. Peng 博士據(jù)說是一位神經(jīng)科醫(yī)生, 完全用業(yè)余時(shí)間拍了很多視頻,專門講解數(shù)學(xué)物理方面的重大問題, 為眾生指點(diǎn)迷津. 他創(chuàng)造了一個(gè)叫shareyoucan的網(wǎng)站,旨在分享知識(shí), 減少學(xué)習(xí)的碳足跡. 他的這種用科普回報(bào)社會(huì)的精神讓我肅然起敬.
附錄2
網(wǎng)友“ 小犀利哥”的評(píng)論:
這個(gè)科普系列主要對(duì)象是講華語(yǔ), 大陸出生的中老年人.作者巧妙地利用了這群人貪心無(wú)知且教育水平低的特征, 把發(fā)大財(cái)?shù)囊庖睦砣噙M(jìn)數(shù)學(xué),使讀者可以一氣讀完不覺枯燥. 可以看出作者并沒有受過系統(tǒng)教育,知識(shí)是現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣. 但這反而能適應(yīng)讀者群基礎(chǔ)差的特點(diǎn).這種以自學(xué)帶人學(xué)習(xí)的精神值得提倡.
兩天之后我就有答案了，是從數(shù)學(xué)書里找的！這個(gè)寶石今天值七千萬(wàn)歐元，我怎么也不愿意騙一個(gè)誠(chéng)實(shí)的老人啦，只能如實(shí)告知,并懇請(qǐng)陛下出懸賞一個(gè)更難的問題。巴列王也欣賞我的誠(chéng)實(shí), 并如約把寶石賜給我.要知我給他的答案, 且聽下回分解.
(待續(xù))
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