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高斯求和（2）

知識要點：選用基準數(shù)和利用高斯求和進行巧算

重點及難點：選用適當?shù)幕鶞蕯?shù)

當許多大小不同而又比較接近的數(shù)相加時，我們可以選擇其中一個數(shù)或接近于這些數(shù)的整十數(shù)作為計數(shù)的基礎，所選的這個數(shù)我們叫做基準數(shù)。再把大于基準數(shù)的加數(shù)分成基準數(shù)與某數(shù)的和，把小于基準數(shù)的加數(shù)用基準數(shù)減去某數(shù)的差的形式表示，最后再利用加、減運算進行簡便計算。

例1： 計算：11+12+13+14+15+16

這樣想：上面算式中的6個加數(shù)都接近于10，我們把10當作基準數(shù)，每個加數(shù)都可分成基準數(shù)與某數(shù)的和。

11+12+13+14+15+16

=（10+1）+（10+2）+（10+3）+（10+4）+（10+5）+（10+6）

=10×6+（1+2+3+4+5+6）

=60+21

=81

例2：計算：16+17+18+19

這樣想：上面算式中的4個加數(shù)都接近于20，我們把20作為基準數(shù)，每個加數(shù)都可用基準數(shù)減去某數(shù)的差的形式表示。

16+17+18+19

           =（20-4）+（20-3）+（20-2）+（20-1）

           =20×4-4-3-2-1

           =80-（4+3+2+1）

           =80-10

           =70

在拓展課堂中，老師曾經(jīng)給小朋友講過數(shù)學家高斯小時候巧妙解題的故事，你們還記得他用了什么方法解題嗎？下面我們就用高斯求和的方法進行巧算。

例3：計算：1+2+3+4+5+6+7+8

這樣想：我們發(fā)現(xiàn)：1+8=9，2+7=9，3+6=9，4+5=9，共有4個9。

1+2+3+4+5+6+7+8

         =（1+8）+（2+7）+（3+6）+（4+5）

         =9×4

         =36

例4：計算：1+2+3+4+5+6+7

這樣想：首先，我們把加法算式抄下來，然后再把這個算式倒著抄一遍，如下：

1+2+3+4+5+6+7

7+6+5+4+3+2+1

容易發(fā)現(xiàn)，兩個加式上下相對的兩個數(shù)相加的和都是8，共有7個8，但是，7個8的和是兩個1+2+3+4+5+6+7的和，所以原加式的和等于7個8的和的一半。

1+2+3+4+5+6+7

         =（1+7）×7÷2

         =8×7÷2     

         =56÷2

         =28

還可以這樣想：上面的算式有7個加數(shù)，其中4是中間的一個，我們可以把4當作基準數(shù)，每個小于基準數(shù)4的用基準數(shù)4減去某數(shù)的差的形式表示，每個大于基準數(shù)的用基準數(shù)與某數(shù)的和的形式表示。

1+2+3+4+5+6+7

          =（4-3）+（4-2）+（4-3）+4+（4+1）+（4+2）+（4+3）

         =4×7-3-2-1+1+2+3

         =4×7+0

         =28

[解題招術(shù)]其實，單數(shù)個連續(xù)的數(shù)相加，我們只要用

正中間的那個數(shù)（當作基準數(shù)）乘以加數(shù)的個數(shù)，乘

積就是這些加數(shù)的和。以例4為例，題中加數(shù)共有7

個，4是中間的一個，所以這些加數(shù)的和就等于

4×7=28。

通過這一講的學習，我們發(fā)現(xiàn)，其實很多算式都有不同的計算方法，我們要積極開動腦筋，找出最巧妙的方法。