這個并不是標(biāo)題黨。很多年以前，要想進(jìn)入莫斯科國立大學(xué)的數(shù)學(xué)系，你必須通過四項入學(xué)考試；頭兩個都是數(shù)學(xué)考試，一個筆試，一個面試。在面試中，學(xué)生和考官都是一對一的，考官可以自由向?qū)W生提出任何他喜歡的問題。考官們都準(zhǔn)備了很多“棺材問題”，這些問題的答案非常簡單，但由于思路太巧妙了，以至于學(xué)生很難想到。考官便可以以“你連這個都沒想到”為理由，光明正大地拒絕學(xué)校不想要的人（主要是猶太人）。這個 Blog 之前就曾經(jīng)介紹過這樣的問題。
最近網(wǎng)上的一篇文章介紹了 21 個這樣的“棺材問題”，其中有些這個 Blog 以前講過的經(jīng)典問題，但也有不少我第一次見到的好題。我選取了 11 個比較有意思的問題，在這里和大家分享。
1. 找出所有的函數(shù) F(x): R→R ，使得對于任意兩個實數(shù) x1 、 x2 都滿足 F(x1) - F(x2) ≤ (x1 - x2)2 。
答案：不等式可以變?yōu)?(F(x1) - F(x2)) / |x1 - x2| ≤ |x1 - x2| ，于是我們立即可知，對于任意實數(shù) x2 ，函數(shù)在 x2 處的導(dǎo)數(shù)都為 0 。因此， F(x) 是常函數(shù)。
2. 給定三角形 ABC ，用尺規(guī)作圖找出 AB 上的一點 K 以及 BC 上的一點 M ，使得 AK = KM = MC 。
答案：先在 BC 上任取一個點 M' ，然后用圓規(guī)截取 AD = CM' 。過 D 作 AC 的平行線，以 M' 為圓心 M'C 為半徑作圓，與這條平行線交于點 K' 。過 K' 作 AB 的平行線。容易看出，此時 A'K' = K'M' = M'C ，并且三角形 A'B'C 與整個大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 為中心將 A'B'C 放大到 ABC ，就可以得到滿足要求的 K 點和 M 點了。因此，我們延長 CK' ，并把它與 AB 的交點記為點 K ，這個點 K 就是要求的點。既然 AK 的長度知道了， M 點的位置也就確定了。
3. 解方程 2 · 3√2y - 1 = y3 + 1 。
答案：令 x = (y3 + 1) / 2 ，原式就變成了 y = (x3 + 1) / 2 。如果令函數(shù) f(t) = (t3 + 1) / 2，你會發(fā)現(xiàn) x 和 y 同時滿足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函數(shù) f(t) 是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，因此 x 一定等于 y 。
于是，方程就變成了 y3 - 2y + 1 = 0 。等式左邊可以變?yōu)?(y3 - y2) + (y2 - y) - (y - 1) ，進(jìn)而分解為 (y - 1)(y2 + y - 1) 。于是得到方程的三個解： y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。
4. 給定平面上的一個點 M 以及一個角 XOY 。用尺規(guī)作圖確定出一條過 M 的直線，使得它與這個角的兩邊圍成的三角形周長為一個給定值 p 。
答案：在角的兩邊上分別作出 A 、 B 兩點，使得 AO = BO = p / 2 。過 A 、 B 兩點分別作所在直線的垂線，兩垂線交于點 C 。不難看出， AC 和 BC 的長度相等。事實上，如果以 C 為圓心作一個經(jīng)過 A 、 B 的圓，這個圓將正好和角 XOY 的兩邊切于 A 、 B 兩點?，F(xiàn)在，過 M 作這個圓的切線，將切點記為 T 。只需要注意到 PT = PA ，并且 QT = QB ，因此三角形 OPQ 的周長就等于 AO + BO ，也就是 p 。
補(bǔ)充一下切線的作法：以 MC 為直徑作圓，與圓 C 交于點 T 。于是 ∠CTM 是一個直角，因而 MT 就是切線。
5. 給定一個等邊三角形 ABC ，以及三角形內(nèi)的一個點 O ，滿足 ∠AOC = x ， ∠BOC = y 。如果用線段 AO 、 BO 、 CO 組成一個三角形，它的各個內(nèi)角是多少（用 x 和 y 來表示）？
答案：將整個三角形繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 60 度，把 B 和 O 的落點分別記作 B' 和 O' 。這樣的話， ∠AO'B 和 ∠BO'B' 的角度也是 x 和 y ，并且 CO = BO' 。另外，由于 AO 與 AO' 長度相等且夾角為 60 度，因此三角形 AOO' 是等邊三角形， AO = OO' 。因此，三角形 BOO' 的三邊長度實際上就分別等于 AO 、 BO 、 CO 。根據(jù)已知條件很容易算出它的三個內(nèi)角度數(shù)，他們分別是 x - 60° 、 y - 60° 和 300° - x - y 。
這里有一個相關(guān)的問題。
6. 給定平面上的兩條相交直線。到這兩條直線的距離和等于某個給定值 p 的所有點將組成一個什么樣的圖形？
答案：一個矩形。假設(shè)有一個等腰三角形 ABC ，底邊 BC 上有一個動點 P 。把三角形腰長記為 l ，把 P 到兩腰的距離分別記作 PM 和 PN 。線段 AP 將三角形 ABC 分成了左右兩個小三角形，他們的面積和 (l · PM) / 2 + (l · PN) / 2 = l · (PM + PN) / 2 是一個定值（即整個三角形的面積），因此 PM + PN 也是一個定值。這個定值就是等腰三角形腰上的高。
兩條相交直線將產(chǎn)生四個角，每個角里都有這么一個“底邊”。這四條“底邊”組成了一個矩形。
7. 能否在平面上放置六個點，使得任意兩點之間的距離都是整數(shù)，并且任意三點不共線？
答案：可以。我們先專心構(gòu)造出任意兩點之間的距離都是有理數(shù)的點集，再把所有點的坐標(biāo)都擴(kuò)大一個相同的倍數(shù)即可。把三邊長分別為 3 、 4 、 5 的經(jīng)典直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系上，斜邊放在 x 軸上，斜邊的中點和原點重合。那么，斜邊上的高 CH 一定是有理數(shù)，因為由面積法可知它等于 AC · BC / AB 。另外，由于 △AHC 、 △BHC 、 △ABC 都是相似的，他們都是 3 : 4 : 5 的三角形，可知 AH 、 BH 也都是有理數(shù)。另外， C 到原點 O 的距離也是有理數(shù)，因為它是直角三角形斜邊上的中線，它等于斜邊長度的一半。
現(xiàn)在，把 C 沿著 x 軸翻折到 C' ，再把 C 和 C' 分別沿 y 軸翻折到 D 和 D' 。于是 A 、 B 、 C 、 C' 、 D 、 D' 就是滿足要求的六個點。為了去掉分母，我們需要把他們的坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的 10 倍，于是得到一個答案：(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。
事實上，我們有辦法構(gòu)造出平面上任意多個點，使得他們兩兩之間距離都為整數(shù)，同時任意三點都不共線。
8. 給出 AB 、 BC 、 CD 、 DA 四條邊的長度，以及 AB 和 CD 兩邊中點的連線長度，用尺規(guī)作圖還原出四邊形 ABCD 來。
答案：讓我們先來看一個簡單的問題：已知三角形其中兩邊的長以及第三邊上的中線，如何用尺規(guī)作圖還原出這個三角形來？我們可以先倍長中線 AD 到 E ，容易看出 BE 和 AC 平行且相等。我們已經(jīng)知道 AB 、 BE 和 AE 的長度（ AE 的長度就是兩倍的 AD ），便能確定出三角形 ABE 來。然后，截取 AE 的一半 AD ，再把 BE 平移到 AC ，就得到要求的三角形 ABC 了。
回到原問題。將 AB 的中點記為 E 。把 AD 和 BC 分別平移到 ED' 和 EC' 。于是， CC' 和 DD' 是平行且相等的（他們都平行且等于 AB 的一半），如果把 C'D' 和 CD 的交點記作 F ，那么 △CC'F 和 △DD'F 是全等的， F 既是 CD 的中點，又是 C'D' 的中點。由于我們知道 EC' 、 EF 、 ED' 的長度，用剛才的方法我們就能畫出三角形 EC'D' 了。
現(xiàn)在，把 BC 平移到 AC'' ，容易看出 △EC'D' 和 △AC''D 是全等的，而 CC'' 和 CD 的長度是已知的。這樣一來，問題就解決了。把剛才畫的三角形當(dāng)作 △AC''D ，再以 C'' 和 D 為圓心分別作圓，找出 C 點的位置。最后把 AC'' 平移到 BC ，我們就作出了四邊形 ABCD 的全部四個頂點。
9. 給定線段 AB ，再預(yù)先給定一條與 AB 平行的直線。只用直尺作圖，將線段 AB 六等分。
答案：在平行線上任取 C 、 D 兩點。我們可以用如下方法找出 CD 的中點：先在平面上取一個點 E ，然后依次作出 F 、 G 、 H 、 I 各點，那么 I 就是 CD 的中點。具體的證明可以參見這里。
現(xiàn)在，對 CD 上的每一個小線段繼續(xù)平分下去，直到把 CD 分為八等分。用下圖的方法把 AB 分為六等分。
10. 給定正方形各邊上的一個點。用尺規(guī)作圖恢復(fù)出這個正方形來。
答案：假設(shè) A 、 B 、 C 、 D 依次是正方形四條邊上的點。過 B 作 AC 的垂線，截取 BD' = AC 。那么， D' 也在正方形上， D 和 D' 的連線就是正方形的其中一條邊。剩下的事情就簡單了。
11. 兩條水平線之間有一段嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)。函數(shù)上有一個動點 P 。過 P 點作一條豎直線，它與其他已有線條圍成了兩塊陰影面積。當(dāng) P 運(yùn)動到什么位置時，陰影面積之和最??？
答案：當(dāng) P 運(yùn)動到兩條水平線正中間（到兩條水平線距離相等）時，陰影面積之和最小。此時，如果 P 往右移動，將導(dǎo)致下邊面積增加的速度超過上邊面積減少的速度；如果 P 往左移動，將導(dǎo)致上邊面積增加的速度超過下邊面積減少的速度。因此，這個 P 點就是答案。
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