摘 要：數(shù)學(xué)與哲學(xué)是密切聯(lián)系、相輔相成的。一方面，正確的世界觀是人們從事數(shù)學(xué)研究的前提；另一方面，數(shù)學(xué)理論的進(jìn)步和完善改變著人們對(duì)整個(gè)世界的認(rèn)識(shí)。早在古希臘，哲學(xué)家們的論著中就包含著大量的數(shù)學(xué)理論和方法。而今隨著系統(tǒng)科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等橫向?qū)W科的興起，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系更為廣泛。所以數(shù)學(xué)教師掌握哲學(xué)原理并將其應(yīng)用于教學(xué)是十分必要的。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；哲學(xué)；唯物辯證法；辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論
哲學(xué)是關(guān)于自然知識(shí)、社會(huì)知識(shí)和思維知識(shí)的概括和總結(jié)，是研究整個(gè)世界的普遍本質(zhì)及規(guī)律的科學(xué)；數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的具體科學(xué)。哲學(xué)為數(shù)學(xué)提供方法論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)影響著人們的哲學(xué)觀點(diǎn)，并遵循哲學(xué)中所闡述的基本規(guī)律而產(chǎn)生、變化和發(fā)展。
一、數(shù)學(xué)與哲學(xué)是相互影響、相互促進(jìn)的
每個(gè)數(shù)學(xué)家，都要受到他所處時(shí)代的哲學(xué)觀點(diǎn)的影響，其研究成果也使人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)更加深入、透徹，影響著人們的哲學(xué)觀點(diǎn)。
1．?dāng)?shù)學(xué)研究總是在某種哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的
數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)研究的目的、方法及其深度、廣度，深受其哲學(xué)思想的影響。例如，古希臘數(shù)學(xué)家本著自然界是有秩序的、按照一定方案運(yùn)行的、可以被人類認(rèn)識(shí)的古代樸素唯物主義的哲學(xué)思想從事數(shù)學(xué)研究，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)理論不是人創(chuàng)造的，而是先于人而存在的，人只要肯定事實(shí)并記錄下來(lái)就行了，所以他們只是考慮如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解釋自然，而不去考慮如何將其運(yùn)用于改造自然，這導(dǎo)致他們無(wú)法接受無(wú)理數(shù)和無(wú)限量，研究范圍受到很大的限制。再如，法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家笛卡爾，是唯理論哲學(xué)的創(chuàng)始人，主張用“懷疑”代替“盲從”和“迷信”，倡導(dǎo)通過(guò)理性去獲得真理，認(rèn)為科學(xué)家應(yīng)該是自然界的探索者和關(guān)心科學(xué)用處的人?；谶@種哲學(xué)觀點(diǎn)，他在數(shù)學(xué)研究中，決心放棄抽象推理式的幾何，找到一種有利于人們解釋自然、改造自然的幾何。為了實(shí)現(xiàn)上述設(shè)想，他把代數(shù)方法應(yīng)用于幾何研究，創(chuàng)立了解析幾何，并在數(shù)學(xué)中引入了“變量”的概念，完成了數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的偉大變革。
2．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展影響著人們的哲學(xué)觀點(diǎn)
數(shù)學(xué)作為人們認(rèn)識(shí)自然、改造自然的工具，其每個(gè)重要理論的產(chǎn)生，都會(huì)帶來(lái)自然科學(xué)的巨大進(jìn)步，加深了人們對(duì)自然和社會(huì)的認(rèn)識(shí)，從而影響著人們的世界觀。
例如，歐幾里德的《幾何原本》，用公理建立起演繹數(shù)學(xué)的理論體系，使后來(lái)的人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過(guò)程中，不再隨意猜想，而是善于利用邏輯推理的方法去解釋自然。再如，笛卡爾創(chuàng)建了解析幾何，引入了“變量”的概念，使人們可以把形象和路線表示為代數(shù)的形式。對(duì)航海學(xué)、天文預(yù)測(cè)、物體運(yùn)動(dòng)的研究起了巨大的推動(dòng)作用，加深了人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)，影響著人們的世界觀，提醒人們不但要了解自然，而且要用所學(xué)知識(shí)去掌握自然。正如恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！痹偃纾ｎD、萊布尼茲創(chuàng)建的微積分理論，為近代數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)開(kāi)創(chuàng)了新紀(jì)元，使自然科學(xué)得到了前所未有的發(fā)展，大大地提高了人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)程度，為18世紀(jì)的理性機(jī)械宇宙觀奠定了基礎(chǔ)。
二、數(shù)學(xué)與唯物辯證法
唯物辯證法用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)看世界，這三個(gè)基本規(guī)律從不同角度揭示了自然、社會(huì)和人類思維發(fā)展的一般規(guī)律。數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生和發(fā)展符合唯物辯證法闡述的事物發(fā)展的一般規(guī)律。
1．不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的
唯物辯證法普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)廣泛地存在于數(shù)學(xué)理論中，許多不同的數(shù)學(xué)理論之間是相互聯(lián)系的。諸如，函數(shù)論與微分方程、數(shù)理邏輯與拓?fù)鋵W(xué)、概率論與泛函分析、代數(shù)方程與群論等。甚至當(dāng)數(shù)學(xué)家們把兩種表面上看似無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生奇跡，形成一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科。例如，當(dāng)數(shù)學(xué)家們把微積分理論與幾何問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，即用微積分理論去研究平面曲線和空間曲線的曲率、曲線族的包絡(luò)、曲面上的測(cè)地線等問(wèn)題時(shí)就產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)分支——微分幾何。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特所說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)體，它的生命力的一個(gè)必要條件是所有各部分的不可分離的結(jié)合”。
2．?dāng)?shù)學(xué)理論存在和發(fā)展的前提是其內(nèi)部的矛盾性
對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律揭示了事物發(fā)展的源泉和動(dòng)力在于事物內(nèi)部的矛盾性，矛盾對(duì)立面的同一和斗爭(zhēng)推動(dòng)著事物的發(fā)展。每一種數(shù)學(xué)理論中都含有互相矛盾的雙方，它們既對(duì)立又統(tǒng)一構(gòu)成這種理論存在和發(fā)展的前提。例如，解析幾何中的“數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾。它們的對(duì)立體現(xiàn)在“數(shù)量”與“圖形”是兩個(gè)不同的概念，它們的聯(lián)系是每個(gè)圖形有著相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，每個(gè)函數(shù)有著相應(yīng)的幾何意義；這就使人們可以用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，并使抽象的代數(shù)問(wèn)題形象化。正是“數(shù)”與“形”的對(duì)立統(tǒng)一構(gòu)成了解析幾何這門學(xué)科存在和發(fā)展的基礎(chǔ)。
3．?dāng)?shù)學(xué)理論的發(fā)展過(guò)程是量變、質(zhì)變的反復(fù)過(guò)程
量變質(zhì)變規(guī)律指出了量變、質(zhì)變是事物運(yùn)動(dòng)變化的兩種最基本狀態(tài)，事物的發(fā)展變化都表現(xiàn)為由量變到質(zhì)變，再由質(zhì)變引起新的量變的反復(fù)過(guò)程。數(shù)學(xué)理論中體現(xiàn)著量變質(zhì)變規(guī)律。一方面，數(shù)學(xué)中每種概念的存在都有著特定的量的界限，如果量變超出了這個(gè)界限，就會(huì)發(fā)生質(zhì)變，形成另一種概念，這種新概念又存在著自己特有的新的量變。例如，正多邊形邊數(shù)的變化范圍是“大于或等于3的有限數(shù)”，如果邊數(shù)的變化超出上述范圍就不再是正多邊形，變?yōu)榫€段或圓。(邊數(shù)小于3時(shí)為線段；邊數(shù)超出有限數(shù)范圍，即趨于無(wú)窮時(shí)為圓。)不論線段還是圓，都有自己新的量變。另一方面，數(shù)學(xué)理論的形成過(guò)程是從量變到質(zhì)變、從近似到精確的過(guò)程。下面以求曲邊梯形的面積為例說(shuō)明定積分理論的產(chǎn)生過(guò)程。為了求曲邊梯形的面積，先將該曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，如果分割足夠密，這些小曲邊梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面積的方法求出各個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，其和就是原曲邊梯形面積的近似值。因?yàn)樗蟮膬H為近似值，所以上述過(guò)程是量變的過(guò)程，沒(méi)有發(fā)生質(zhì)的飛躍。如果分割無(wú)限加密，即各個(gè)小曲邊梯形的最大寬度趨于零時(shí)，就得到原曲邊梯形的精確面積，發(fā)生了從量變到質(zhì)變的飛躍，這正是定積分理論的基本思想。
4．?dāng)?shù)學(xué)理論的發(fā)展過(guò)程中體現(xiàn)著否定之否定規(guī)律
否定之否定規(guī)律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過(guò)程是：經(jīng)歷兩次否定、三個(gè)階段，即由肯定達(dá)到對(duì)自身的否定，并再由否定進(jìn)到新的肯定——否定之否定。每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展都符合否定之否定規(guī)律。在理論最初形成時(shí)，該理論得到肯定；隨著實(shí)踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來(lái)并被否定；進(jìn)而數(shù)學(xué)家們開(kāi)始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結(jié)論，達(dá)到新的肯定。例如，歐幾里德的《幾何原本》剛問(wèn)世時(shí)，得到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的認(rèn)可并給予了極高的評(píng)價(jià)。后來(lái)學(xué)者們注意到《幾何原本》并非完整無(wú)缺，其中存在著許多缺陷。例如，用圖形的重合來(lái)證明它們?nèi)鹊姆椒ㄊ遣煌晟频?，?duì)有些概念的定義含糊其辭而另一些無(wú)關(guān)宏旨等。對(duì)這些有缺陷部分的否定，促使許多數(shù)學(xué)家致力于整理、完備歐幾里德的幾何體系，最終由德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了比較完善的公理體系，使幾何學(xué)的理論更完善，論證更嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)也促進(jìn)了近代幾何的產(chǎn)生和發(fā)展。此外，數(shù)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果也體現(xiàn)著否定之否定規(guī)律，例如，正數(shù)取兩次相反數(shù)(兩次否定)仍是正數(shù)；命題邏輯中，一個(gè)命題的兩次否定仍是原命題等。
5．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中引入唯物辯證法及其基本規(guī)律有著重要意義
數(shù)學(xué)教師在自己的教學(xué)中合理地運(yùn)用唯物辯證法及其基本規(guī)律，有以下重要作用：其一，引導(dǎo)學(xué)生把不同的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使他們掌握所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)框架，從整體上理解數(shù)學(xué)科學(xué)的精髓，而不僅僅是學(xué)到一些支離破碎的數(shù)學(xué)片段，還能使學(xué)生在解題時(shí)善于發(fā)現(xiàn)所給條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，能從不同的角度分析所給問(wèn)題，掌握靈活多變的計(jì)算方法。其二，使學(xué)生知道學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)由量變到質(zhì)變的積累過(guò)程，對(duì)于數(shù)學(xué)這門理論抽象、論述嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，更不能好高騖遠(yuǎn)、急于求成，而要耐心學(xué)習(xí)、逐步提高，最終達(dá)到提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的質(zhì)的飛躍。其三，使學(xué)生正確理解否定對(duì)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用，敢于否定自己學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，辯證地看待學(xué)習(xí)中的成功與失敗，勇于面對(duì)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的困難，并在不斷克服困難的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)。
三、數(shù)學(xué)與辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論
辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論引入了實(shí)踐的觀點(diǎn)，闡明了人類認(rèn)識(shí)發(fā)展的普遍規(guī)律，指出了理性思維的基本方法，強(qiáng)調(diào)了非理性因素在人類認(rèn)識(shí)過(guò)程中的積極作用。數(shù)學(xué)理論的形成和發(fā)展符合認(rèn)識(shí)的普遍規(guī)律，數(shù)學(xué)研究中廣泛地應(yīng)用著認(rèn)識(shí)論中闡述的基本思維方法，非理性因素對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要影響。
1．?dāng)?shù)學(xué)理論的形成和發(fā)展符合認(rèn)識(shí)發(fā)展的普遍規(guī)律
辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論闡明了理論與實(shí)踐的辯證統(tǒng)一，一方面理論來(lái)源于實(shí)踐，另一方面實(shí)踐需要理論的指導(dǎo)，并且理論可以在一定程度上超越實(shí)踐的發(fā)展階段，預(yù)見(jiàn)未來(lái)；指出了人類的認(rèn)識(shí)過(guò)程是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上不斷深化和完善的過(guò)程。數(shù)學(xué)理論的形成與發(fā)展遵從以上認(rèn)識(shí)規(guī)律。
例如，17世紀(jì)，人們面臨著求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、求曲線的切線、求函數(shù)的最大值和最小值、求曲線弧長(zhǎng)、曲線所界區(qū)域的面積、曲面所圍立體的體積等實(shí)際問(wèn)題。為解決這些實(shí)際問(wèn)題，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家如伽利略、開(kāi)普勒、費(fèi)爾馬、笛卡爾等做了大量的工作，最終由英國(guó)的牛頓和德國(guó)的萊布尼茲匯總了其他科學(xué)家有價(jià)值的思想，創(chuàng)建了微積分理論。當(dāng)微積分的概念形成之后，被廣泛地應(yīng)用于實(shí)踐，使很多曾讓人們束手無(wú)策的問(wèn)題迎刃而解。后來(lái)，隨著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，許多著名的數(shù)學(xué)家，如傅里葉、柯西、黎曼、斯蒂爾杰斯、勒貝格等對(duì)微積分理論從各個(gè)方面作了更深入地研究，產(chǎn)生了各種廣義積分及各種擴(kuò)充的積分，如黎曼積分、斯蒂爾杰斯積分等，使微積分理論不斷完善，并在一定程度上超越了當(dāng)時(shí)的實(shí)踐需要。這說(shuō)明數(shù)學(xué)理論是來(lái)源于實(shí)踐、應(yīng)用于實(shí)踐、在實(shí)踐中不斷完善的，并且可以在一定程度上超越實(shí)踐，預(yù)見(jiàn)未來(lái)。
2．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中引入辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論有著重要意義
教學(xué)過(guò)程是一種特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程，是學(xué)生的理論學(xué)習(xí)過(guò)程與教師的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程的統(tǒng)一。由于數(shù)學(xué)高度抽象，使許多學(xué)生感到枯燥難懂，遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)生活，所以將認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)引入數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要意義。
其一，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)。如果教師能利用認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)，將所講理論在實(shí)踐中產(chǎn)生、發(fā)展的歷史介紹給學(xué)生，并引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決周圍的問(wèn)題，將使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，知道數(shù)學(xué)不僅僅是由一個(gè)結(jié)論推出另一個(gè)結(jié)論的演繹過(guò)程，而是源于實(shí)踐并在實(shí)踐中得以應(yīng)用的。如果學(xué)生懂得了數(shù)學(xué)的價(jià)值，能在生活實(shí)踐中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)，他們將對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣。
其二，提高學(xué)生的思維能力。辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論闡明了人類思維的基本方法是由歸納和演繹、分析和綜合、從抽象上升到具體、邏輯的和歷史的統(tǒng)一等一系列思維方法組成的。數(shù)學(xué)論證和求解過(guò)程中普遍地運(yùn)用著上述思維方法。如果教師能從哲學(xué)的角度去介紹這些方法，將使學(xué)生的思路更開(kāi)闊、方法更靈活，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力跨上一個(gè)新臺(tái)階。具體而言，既能使他們善于把復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分解，并在分解的基礎(chǔ)上合理地綜合；又能使他們善于從個(gè)別問(wèn)題中歸納出一般方法，并以這些方法為指導(dǎo)求解其他問(wèn)題；還能使他們善于抽象出具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并以數(shù)學(xué)的方法加以解決。
其三，利用非理性因素激活課堂氣氛。辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論承認(rèn)非理性因素對(duì)人類思維活動(dòng)的影響，強(qiáng)調(diào)人類要在理性因素的主導(dǎo)下，發(fā)揮非理性因素的重要作用。如果教師能利用上述觀點(diǎn)，將情感、意志、想象、靈感等非理性因素引入數(shù)學(xué)教學(xué)，如利用各種方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學(xué)理論背后的豐富的情感內(nèi)容，引導(dǎo)他們感悟數(shù)學(xué)的美，鼓勵(lì)他們大膽想象，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷磨練他們的意志，將使原本抽象的數(shù)學(xué)理論具有了豐富的情感色彩，達(dá)到活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情之效果。
四、結(jié)語(yǔ)
總之，數(shù)學(xué)內(nèi)部處處蘊(yùn)涵著哲學(xué)思想，數(shù)學(xué)家在哲學(xué)的滄桑巨變中不斷成熟，哲學(xué)觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)成果的推動(dòng)下不斷進(jìn)步。而今，隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展以及信息時(shí)代的到來(lái)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用空前廣泛，同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求。為培養(yǎng)出符合時(shí)代要求、具有創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力的新型人才，數(shù)學(xué)教師應(yīng)將哲學(xué)觀點(diǎn)融入教學(xué)；用唯物辯證法的觀點(diǎn)，全面、聯(lián)系地看待所講內(nèi)容，注意知識(shí)之間的前后銜接，使學(xué)生掌握完整、系統(tǒng)的知識(shí)；用辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)將教學(xué)過(guò)程看成理論與實(shí)踐相結(jié)合的過(guò)程，注意從實(shí)踐的角度介紹所講知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，使抽象枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)變得具體生動(dòng)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，掌握辯證的、科學(xué)的思維方法，樹(shù)立起正確的世界觀、人生觀，成為適合社會(huì)需要的新型人才。
（作者單位：河北省邢臺(tái)廣播電視大學(xué)數(shù)學(xué)系）
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