第十七屆全國新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)
課程與教學(xué)系列研討會暨
“數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展導(dǎo)向的課堂教學(xué)——空間觀念”
主題專場活動
聯(lián)系人：王老師
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— 開幕倒計時 —
4 DAYS
— 2018.10.17 —
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十月，敦煌，第十七屆全國新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)系列研討會暨“數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展導(dǎo)向的課堂教學(xué)——空間觀念”主題專場活動即將開幕。聚焦“空間觀念”，與專家對話、觀名師課堂、11節(jié)現(xiàn)場教學(xué)、12個基地答辯……這樣的精彩，怎能錯過！
繼上個月 CCtalk 平臺網(wǎng)上答辯之后，10月17日~18日，第十三屆基地教學(xué)設(shè)計與課堂展示活動將把賽場轉(zhuǎn)至河西走廊的最西端——敦煌。新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)12個基地，6場面對面的“唇槍舌戰(zhàn)”。想要知道我們究竟辯什么？請看下文參賽作品教學(xué)實錄~
6
下
圓柱的體積吉林遼源龍山基地
執(zhí)教︱
劉振宇
吉林省遼源市龍山實驗小學(xué)校
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1. 掌握圓柱體積的計算方法，能正確計算圓柱的體積，能運用圓柱體積計算方法解決簡單的實際問題。
2. 通過圓柱與長方體的“類比”，經(jīng)歷“猜想與驗證”探索圓柱體積計算方法的過程，體會“類比”的數(shù)學(xué)思想方法。
3. 通過具體情境觀察、實物感知等活動，感受物體體積的大小，發(fā)展空間觀念。
教學(xué)重點：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜想與驗證”的探索過程，在探索中理解、掌握圓柱體積的計算方法。
教學(xué)難點：體會圓柱的體積的探索過程，理解計算方法，積累研究經(jīng)驗。
教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、圓柱體模型
教學(xué)過程：
1情境導(dǎo)入 引出問題（出示情境圖）
師：老師想知道，在數(shù)學(xué)課上陪伴同學(xué)們六年的老朋友是誰呢？
生：淘氣、笑笑和智慧老爺爺。
師：我們的朋友很多是不是？今天，淘氣和笑笑又遇到新的麻煩啦！你想不想幫幫他們呀？
生齊：想！
師：我們來看看他們遇到了什么問題呢？
生：這么粗的柱子需要多少木材呢？
師：笑笑在參觀時遇到一個又粗又大的柱子，這么粗的柱子需要多少木材呢？你能幫她想想辦法嗎？
生思考
師：不著急，想想怎么才能求出柱子需要多少木材？需要多少木材實際就是求柱子的什么？
生齊：體積。
生：就是求圓柱體的體積。
師：有辦法求圓柱的體積嗎？
生1：把圓柱的底面切分成一小片一小片的，算出一個面的面積，數(shù)出有多高。就能算出體積啦！
師：真了不起，她知道圓柱的體積很多個面疊加在一起，如果夠薄的話把這個木材的底面平均分成很多個圓形，再算算它有高就能求出來。
生2：假如可以用一個長方體的柱子把這個木材套上，去掉多余的菱角就可以求出圓柱的體積。
師：這個辦法有點難，但是可以求出來嗎？
生齊：可以。
生3：如果這個柱子像彩泥一樣可以捏的話，可以捏成我們學(xué)過的圖形——長方體，利用長方體的體積等于底面積乘高就可以求出圓柱的體積。
師：真有條理。笑笑有了你們這么多方法非常開心，她也有信心把這個木材的體積計算出來。
師：我們再來看看淘氣又遇到什么問題啦！誰能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息？
生：一個水杯能裝多少毫升的水呢？
師：這是求杯子的什么？
生1：求杯子的體積。
生2：不同意，應(yīng)該是求杯子的容積。
師：求杯子能裝多少毫升水，水是液體，是求杯子的容積，也就是杯子里水的體積。你能學(xué)過的方法幫她解決嗎？
生1：把杯子里的水倒進一個長方體的大缸里，看看杯子里的水升高多少，就能求出水的體積。
師：聽懂了嗎？掌聲送給他。（生鼓掌）可以把杯子里的水倒進一個長方體的容器里，不見得要倒進大缸里。大缸好大呀！水太少不好判斷升高多少是不是？
（生點頭）
生2：可以把杯子里的水倒進量杯里讀出它的刻度，知道容積是多少了。
師：其實無論是求柱子的體積還是水杯的容積，實際都需要求出圓柱的體積。
（課件演示由柱子、水杯實物抽象出兩個大小不同的圓柱體。）
師：今天這節(jié)課我們就研究圓柱的體積。
【設(shè)計意圖】新課伊始，我結(jié)合兩個情境圖激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的體積概念，讓學(xué)生說說圓柱的體積的含義，并體會求柱子的體積或水杯的容積，實際都需要求出圓柱的體積。在此基礎(chǔ)上在組織學(xué)生開展探究活動，探索圓柱體積的計算方法。
2動手操作 探索問題
1. 建立猜想
師：看到體積兩個字你想到什么了？
生：想到“底面積乘高”。
師：那是誰的體積公式？
生：長方體和正方體的體積公式。
師板書：長方體的體積=底面積×高。
師：（出示課件長方體、正方體和圓柱）我們觀察一下圓柱的體積跟長方體、正方體有什么關(guān)系，如果有可能的話你認(rèn)為圓柱的體積跟哪些數(shù)據(jù)有關(guān)系？
生：跟底面積有關(guān)。
生：還有可能跟它的高有關(guān)。
師：（同桌討論）圓柱的體積跟它的底面積和高有什么關(guān)系呢？你這樣判斷的依據(jù)是什么？
匯報
生：圓柱的體積可能是底面積乘高。我根據(jù)以前學(xué)習(xí)過長方體和正方體的體積計算方法猜想，圓柱體和他們一樣都有底和高，所以可能也是用底面積乘高來計算。
師生觀察三個立體圖形
師：他們都有幾個底面積？（師用動作）
生齊：兩個
師：這兩個底面積怎么樣?。?div style="height:15px;">
生齊：大小一樣，平行。
師：如果在平行的底面之間做高的話，能做多少條？
生：無數(shù)條。
師：像這樣得圖形有一個名字叫“直柱體”因為它們上下一樣粗細(xì)，直直的所以我們猜測“圓柱的體積可能是底面積×高”。（板書：猜測 圓柱的體積=底面積×高）
【設(shè)計意圖】在觀察中進行討論，體會“類比”思想。小學(xué)生觀察能力的發(fā)展與空間觀念的發(fā)展，基本上都是同步的。在比較、辨析圖形的異同中引導(dǎo)學(xué)生說說這樣猜想的依據(jù)。讓學(xué)會體會圓柱體與長方體都是直柱體，具有相似性，所以從“長方體的體積=底面積×高”，可以猜想“圓柱的體積=底面積×高”。
2. 驗證猜想
（1）疊硬幣
師：科學(xué)離不開大膽的猜想和勇敢的實踐。下面我就來驗證一下我們的猜想。（板書：驗證）
師：看，老師這里有一枚硬幣，你認(rèn)為它有體積嗎？（出示實物：硬幣）
生齊：有。
師：為什么說它有體積？
生：硬幣，一、因為它有底面積。二、它的厚度就是它的高，雖然它很薄但是它也是有厚度的。
師：如果有十枚硬幣疊加在一起會出現(xiàn)變化？
生思考回答
生1：它的高發(fā)生變化。
生2：它的體積也發(fā)生變化，體積有怎么大。（學(xué)生用動作表示）
師：疊加后的圖形是什么形？
生齊：圓柱體。
師：疊加后的圓柱的體積與每枚硬幣的體積之間有什么關(guān)系呢？
（課件演示）
生觀察課件說發(fā)現(xiàn)
生1：就是用一枚硬幣的體積×10就等于這個圓柱的體積。
師：每枚硬幣疊加在一起，就是圓柱的體積。圓柱的體積就是每枚硬幣體積的倍數(shù)，那么，這個圓柱體就是每枚硬幣體積的疊加。
師：如果硬幣足夠薄，很薄很薄，是薄薄的一片，沒有厚度了，他就成什么樣？
生齊：底面積。
師：那就是底面積的不斷疊加就成了圓柱體，你說圓柱的體積跟底面積有關(guān)嗎？跟高有關(guān)嗎？
生齊：有關(guān)。
（2）分割轉(zhuǎn)化
師：還有其他的驗證方法嗎？想一想我們在面對新知識的時候通常是怎樣做的？生：我把它變成學(xué)過的長方形或長方形。
師：把誰變成長方形或正方形。
生：把圓變成長方形。
師：（課件演示圓的面積推導(dǎo)過程）我們推導(dǎo)圓的面積的時候把圓平均分成N個偶數(shù)份，轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形，如果分的分?jǐn)?shù)足夠多的話，那么拼成的平行四邊形就——
生齊：更近似長方形。
師：我們用分割轉(zhuǎn)化的方法求出圓的面積。我們還用這樣的方法還學(xué)過類似的知識。比如說：平行四邊形的面積，（師用動作演示）是把它分割轉(zhuǎn)化成——
生齊：長方形或正方形。
師：我們在學(xué)三角形面積的時候怎么做的？
師生齊：（師動作演示）把兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形。根據(jù)平行四邊形公式推導(dǎo)出三角形面積=底面積×高÷2
師：那么今天我們用怎樣的方法來驗證圓柱的體積等于底面積×高呢？
生：可以把圓柱轉(zhuǎn)化為長方體。
【設(shè)計意圖】從圓的面積的公式的導(dǎo)出，到圓柱的體積公式的到出，將數(shù)形結(jié)合的割補法由二維推廣到了三維，在提升幾何基礎(chǔ)知識教學(xué)有效性的同時，學(xué)生空間觀念的內(nèi)涵得到了豐富。
（3）小組合作
師：那好，讓我們一起動動手試一試,在合作中有幾點要求：
1.小組同學(xué)在操作學(xué)具中，對比觀察圖形轉(zhuǎn)化前后的對應(yīng)關(guān)系。
2.用字母記錄圖形轉(zhuǎn)化前后各部分的數(shù)量。
3.完成學(xué)習(xí)單。
（4）匯報三種情況推導(dǎo)（生板書）
生1：我們小組討論中發(fā)現(xiàn)，把圓柱體可以轉(zhuǎn)化為近似的長方體，長方體的長相當(dāng)于圓柱體的底面周長一半用πr表示，長方體的寬相當(dāng)于圓柱的高用字母h表示，長方體的高相當(dāng)于圓柱底面的半徑用r表示。長方體的體積=底面積×高所以圓柱的體積=πr.h.r
師：哪個小組有不同的發(fā)現(xiàn)？
生2：我們小組在操作中發(fā)現(xiàn)，把圓柱體可以轉(zhuǎn)化為近似的長方體。長方體的長相當(dāng)于圓柱體的底面周長一半用πr表示，長方體的寬相當(dāng)于圓柱的底面半徑也就是r,長方體的高就是圓柱的高也就是h,長方體的體積=底面積×高所以圓柱的體積=πr.r.h
師：還有哪個小組有不同的發(fā)現(xiàn)？
生3：我們小組在討論中發(fā)現(xiàn)，一個圓柱體可以轉(zhuǎn)化為近似的長方體。長方體的長相當(dāng)于圓柱體的底面半徑r,長方體的寬相當(dāng)于圓柱體的底面周長一半用πr，長方體的高就是圓柱的高也就是h，因為長方體的體積=底面積×高所以圓柱的體積等于r.πr.h
生4：在我們小組討論中有這樣的發(fā)現(xiàn)，一個圓柱體可以轉(zhuǎn)化為近似的長方體。長方體的長相當(dāng)于圓柱體的高，也就是h,長方體的寬相當(dāng)于圓柱體的底面周長的一半也就是πr,長方體的高相當(dāng)于圓柱體地面半徑也就是r,因為長方體的體積=底面積×高所以圓柱的體積等于h.πr.r
生4：在我們小組討論的時候我們發(fā)現(xiàn)，圓柱體可以拼成近似的長方體。長方體的長相當(dāng)于圓柱體的底面周長一半用πr表示，長方體的寬相當(dāng)于圓柱的高用字母h表示，長方體的高相當(dāng)于圓柱底面的半徑用r表示。長方體的體積=長×寬×高所以圓柱的體積可以用底面積乘高來表示，就是v=sh
師：我們來看看四組同學(xué)的結(jié)論，看看第四組同學(xué)跟哪一組一樣？
生：第一組。
師：但是他們在第一組此基礎(chǔ)上有升華。就是總結(jié)出底面積×高。
師生整理公式得出公式。板書：v=sh
3. 得出結(jié)論
師：（課件演示）剛才在操作中把圓柱的底面平均分成多少分沿高切開？
生：六份。
生：七份。
生：不是七份是六份，因為有一份是切開補過去的。
師：如果不補過去，拼成的圖形的底面積就是什么形？
生:平行四邊形。
師：如果我們的學(xué)具是把圓柱的底面積平均分成了16份沿高切開，平均分成32份沿高切開，會怎樣呢？平均分成64份呢？會怎樣呢？
生：拼成的圖形就更近似于長方體。
（師演示課件）
師：在這個過程中圓柱的底面積大小變沒變？
生齊：沒變。
師：高變沒變？
生：沒變。
師：在這個過程中，圓柱的底面周長的一半就是長方體的長，圓柱的底面半徑就是長方體的寬。高沒有變。長方體的體積是底面積乘高，那么我們圓柱的體積=底面積×高。
【設(shè)計意圖】小學(xué)生形成、發(fā)展空間觀念主要依靠“視”與“觸”亦即主要途徑、手段是觀察與操作，兩項都屬于直觀教學(xué)范疇。通過操作實驗活動，割補轉(zhuǎn)化讓學(xué)生的觸覺、運動覺與視覺的協(xié)同活動，從發(fā)展學(xué)生的空間觀念提高了學(xué)生解決問題的能力。
3回歸情境 解決問題
師：想一想，還記得笑笑和淘氣遇到的問題嗎？現(xiàn)在我們能不能用新知識來幫他們解決呢？看看笑笑調(diào)查的數(shù)據(jù)。（課件出示已知：一根柱子的底面半徑為 0.4 m，高為 5 m）
師：只有底面半徑能解決這個問題嗎？
生：先根據(jù)底面半徑求圓柱的底面積，再求體積。
師：請同學(xué)們在練習(xí)本上試一試。
生匯報
3.14×0.42×5
=3.14×0.16×5
=2.212m3
答：需要2.212m3的木材。
師：我們再來看看淘氣的問題，給了我們哪些數(shù)據(jù)。水杯的底面直徑是 6 cm，高是 16 cm。知道底面半徑我們可以求出圓柱的體積，知道直徑可以嗎？
生：根據(jù)直徑先求出半徑，再求底面積，用底面積×高再求出體積。
師：在練習(xí)本上算一算吧！
匯報
3.14×（6÷2）2×16
=452.16厘米3
=452.16ml
答：水杯能裝452.16ml水。
【設(shè)計意圖】在得出計算方法后，引導(dǎo)學(xué)生解決情景中的兩個實際問題，體會數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活。在解決的過程中讓學(xué)生關(guān)注給出的已知條件，和所求問題，進一步體會圓柱的體積學(xué)習(xí)的必要性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
4回顧總結(jié) 暢談收獲
師：這節(jié)課你有什么收獲呢？
生：知道圓柱的體積=底面積×高。
師：我們是怎么樣得到圓柱的體積計算公式呢？
師：（回顧補充板書箭頭）我們先根據(jù)長方體、正方體和圓柱它們是直柱體的特點猜測，圓柱的體積=底面積×高，又進行了驗證，通過兩種方法，一個是疊硬幣，發(fā)現(xiàn)圓柱的體積是面的累加，高度決定了體積大小，也是體積單位的疊加。第二種方法是動手操作，把圓柱體轉(zhuǎn)化為長方體得出結(jié)論。
師：在同學(xué)們身上我看到了，大膽的的思考，勇敢地實踐。其實數(shù)學(xué)就是這樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，需要我們縝密的思考才能推導(dǎo)出正確結(jié)論。
師：你知道我們今天學(xué)習(xí)的知識，我們祖先多久以前就會了嗎？
（數(shù)學(xué)文化課件）
師：我國古代勞動人民早在2000多年前，就會計算各種不同形狀物體的體積《九章算術(shù)》中記載的圓柱體積的計算辦法是“周自相乘，以高乘之，十二而之”就是底面周長的平方乘高再除以12.這種計算方法與現(xiàn)在是一致的。只不過那時候取圓周率的近似值為3.課后感興趣的同學(xué)可以嘗試推導(dǎo)一下。
師：（生活圓柱圖片）讓我們一起來看看人類是怎樣應(yīng)用這項技能使自己的生活更美好的。
師：希望同學(xué)們回去找一找身邊的圓柱體哪些問題可以用我們今天這節(jié)課的知識解決。今天這節(jié)課就上到這里。
【設(shè)計意圖】通過對圓柱的體積的推導(dǎo)過程的回顧，積累了學(xué)生研究圖形的經(jīng)驗。在數(shù)學(xué)文化的了解中，關(guān)注了學(xué)生的情感態(tài)度價值觀，使學(xué)生民族自豪感的教育。讓學(xué)生把數(shù)學(xué)知識與生活實際緊密聯(lián)系起來，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看生活問題，用數(shù)學(xué)的知識和頭腦去想生活中的現(xiàn)象。不但使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，而且能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。
