以本人為例，從初中到高中數(shù)學(xué)從來(lái)沒(méi)有及格過(guò)，但是物理卻一直非常好。這是為什么呢？后來(lái)我個(gè)人猜測(cè)是思維習(xí)慣的問(wèn)題，我習(xí)慣或者擅長(zhǎng)物理的那種思維方式，而對(duì)數(shù)學(xué)卻完全摸不著頭腦，常常糾結(jié)于公式定理的來(lái)歷，比如通分，我一直想知道誰(shuí)定義了通分非要那么做，為什么要那么通分，在我看來(lái)數(shù)學(xué)的那套邏輯我完全無(wú)法理解，我甚至覺(jué)得有些“荒謬”…希望各位大神一起探討一下。
【張英鋒】
你的直覺(jué)是對(duì)的，數(shù)學(xué)不好的確是思維習(xí)慣不好造成的，唯一不足的是誤用了智商這個(gè)詞，其實(shí)用“思考能力的高低”可能更好些。
在智商這個(gè)詞上，經(jīng)常有人會(huì)把因果顛倒
常?？吹接腥嗽u(píng)價(jià)別人能力差是因?yàn)樗闹巧痰?，這完全擰巴了。
瞎子摸象的寓言我們都學(xué)過(guò)，其實(shí)智商就是摸象的瞎子之一，不過(guò)摸得是“人類(lèi)思考能力”這只大象。要知道人類(lèi)思考的原理遠(yuǎn)比大象的外形復(fù)雜的多！
智商只是一個(gè)局部測(cè)量量，測(cè)智商就像測(cè)體溫，在不同的位置測(cè)，結(jié)果是不同的。它只能反應(yīng)局部的、表面的狀態(tài)，盡管可以作為系統(tǒng)整體性能的參考，卻不能說(shuō)系統(tǒng)整體都是這樣的，更不能說(shuō)這就是系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)理。
還是用體溫類(lèi)比，疾病和體溫是因與果的關(guān)系，人體受到病菌入侵使免疫系統(tǒng)激活，促使體溫上升，才使測(cè)體溫時(shí)的溫度偏高，所以體溫高不是患病的原因，是癥狀！
同樣，不同人的思維習(xí)慣有好有壞，好的思維習(xí)慣會(huì)提高正確率和反應(yīng)速度，在測(cè)智商時(shí)分?jǐn)?shù)會(huì)偏高，所以思維習(xí)慣好才是根本原因，智商高只是表面的結(jié)果。
總之，智商是結(jié)果、是癥狀，而不是思考能力高低的原因，不要顛倒因果。
為什么物理很好，但數(shù)學(xué)卻不理想？
因?yàn)槟氵€不具備好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，數(shù)學(xué)比物理要抽象一些，需要進(jìn)行更多的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練才能掌握。
物理比數(shù)學(xué)好學(xué)一點(diǎn)，是因?yàn)槲锢硎蔷唧w的，所有的物理定律都有現(xiàn)實(shí)中的物理現(xiàn)象來(lái)對(duì)應(yīng)，只要你注意觀察和實(shí)驗(yàn)，就可以理解物理規(guī)律。很多人在思考物理問(wèn)題時(shí)，借助于頭腦想象和推演就可以得出結(jié)果，不需要用筆來(lái)算。
但是數(shù)學(xué)要難一些，因?yàn)閷?duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)是極為抽象的，在他們眼里，數(shù)學(xué)是數(shù)、是公式、是一大堆難記的定理。在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須依賴(lài)于紙筆去演算和推理結(jié)果，數(shù)學(xué)規(guī)律也是要靠反復(fù)做題的題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)熟悉，無(wú)法做到憑大腦的想象就能直觀的“看到”結(jié)果。
題海法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，教學(xué)上人人可做，但缺點(diǎn)是思維效率極低，高昂的學(xué)習(xí)成本和思維成本，毀掉了無(wú)數(shù)人對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和自信！以至于很多人懷疑起了自己的智商。
要想提高數(shù)學(xué)的思維效率，最關(guān)鍵的是用正確的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣來(lái)降低思考的成本，最終做到不借助紙筆演算就能思考數(shù)學(xué)問(wèn)題！
真的能做到不用紙筆來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？
其實(shí)數(shù)學(xué)家都是這樣的，接下來(lái)我通過(guò)數(shù)學(xué)史上的三個(gè)案例來(lái)分析是他們是如何做到的。
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好吧，我想做個(gè)實(shí)驗(yàn)，調(diào)查一下有多少人會(huì)對(duì)這個(gè)問(wèn)題感興趣，就不厚道的賣(mài)個(gè)關(guān)子吧^_^
只要點(diǎn)贊超過(guò)1000，我就揭開(kāi)這個(gè)數(shù)學(xué)史上的最大秘密。
各位學(xué)霸、學(xué)渣，感不感興趣？
稍微劇透一下，第一個(gè)案例是江湖人送綽號(hào)“數(shù)學(xué)王子”的高斯大神，另外兩個(gè)是彭XX和陶XX，數(shù)學(xué)愛(ài)好者應(yīng)該知道我說(shuō)的是哪兩位大神！
說(shuō)好了，要點(diǎn)贊，點(diǎn)感謝不算！
要是我寫(xiě)的狗屁不通，再點(diǎn)反對(duì)就行了！
如果坐等時(shí)無(wú)聊，建議先看我的另一篇數(shù)學(xué)方面的回答，也是目前知乎“數(shù)學(xué)”話題下最高票的答案，《數(shù)學(xué)里的 e 為什么叫做自然底數(shù)？是不是自然界里什么東西恰好是 e？》
看完后，應(yīng)該能提高你提前點(diǎn)贊的信心！
############# 2015年大家新年好！ ###############
咳咳！謝謝大家兩年來(lái)的支持（其實(shí)就是跨個(gè)年而已），順利達(dá)到1000贊！
因?yàn)楹芏嗳说鹊牟荒蜔┝?，所以就不廢話了，先揭曉另外兩個(gè)大神，他們分別是：
“最后的通才”——彭加勒（龐加萊）
他們都有正確的數(shù)學(xué)早期教育
他們都有最持久的動(dòng)力系統(tǒng)
他們都有遍歷整個(gè)領(lǐng)域的習(xí)慣
請(qǐng)牢記這三條，這些因素讓他們的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越常人，在很小的年齡就具備了內(nèi)在的視覺(jué)洞察力，成為普通人難以企及的數(shù)學(xué)“天才”。
什么是內(nèi)在的視覺(jué)洞察力？
以漢語(yǔ)為例，注意下面這三個(gè)字
靜夜思
你腦中的第一反應(yīng)是什么：
中國(guó)成年人，第一反應(yīng)可能浮現(xiàn)出李白這首詩(shī)所描繪的可視化場(chǎng)景。
中國(guó)兒童，第一反應(yīng)可能會(huì)馬上背誦唐詩(shī)，但要問(wèn)他這首詩(shī)是什么意思，他會(huì)說(shuō)不知道。
學(xué)過(guò)漢字的外國(guó)人，會(huì)把這三個(gè)字念出來(lái)，但不知道詩(shī)的內(nèi)容。
沒(méi)學(xué)過(guò)漢字的外國(guó)人，會(huì)認(rèn)為這是神秘的東方符號(hào)，反正完全看不懂。
中國(guó)人因?yàn)槭煜h語(yǔ)，所以可以把一首詩(shī)壓縮成一個(gè)短語(yǔ)，當(dāng)聽(tīng)到這個(gè)短語(yǔ)時(shí)就能喚起這首詩(shī)所對(duì)應(yīng)的意境，也就是視覺(jué)化的直觀思考。就好象歐美人聽(tīng)到"the die is cast"，就會(huì)浮現(xiàn)出凱撒渡過(guò)盧比孔河的情景。
數(shù)學(xué)家達(dá)布（Darboux）宣稱(chēng)他是un intuitif（直覺(jué)的），論證說(shuō)這可以從他經(jīng)常用視覺(jué)表示來(lái)工作顯示出來(lái)。他不關(guān)心嚴(yán)格性，且不喜歡邏輯。他相信邏輯不是發(fā)明之道，而是一個(gè)結(jié)構(gòu)化想法的方法，而且邏輯限制思想。
這是直觀化思維的特點(diǎn)，思維經(jīng)常大幅度的跳躍，不被邏輯所約束。這也是他總是能融會(huì)貫通各個(gè)領(lǐng)域、成為通才的原因。
另一個(gè)數(shù)學(xué)家的例子是拉馬努金。
印度歷史上最著名的數(shù)學(xué)家之一。沒(méi)受過(guò)正規(guī)的高等數(shù)學(xué)教育，沉迷數(shù)論，尤愛(ài)牽涉π、質(zhì)數(shù)等數(shù)學(xué)常數(shù)的求和公式，以及整數(shù)分拆。慣以直覺(jué)（或者是跳步）導(dǎo)出公式，不喜作證明（事后往往證明他是對(duì)的）。他留下的那些沒(méi)有證明的公式，引發(fā)了后來(lái)的大量研究。
軟件行業(yè)的人都知道，程序?qū)憰r(shí)間長(zhǎng)了，眼里的代碼都是系統(tǒng)中跳動(dòng)的模塊，而整個(gè)軟件系統(tǒng)則是一個(gè)復(fù)雜的生態(tài)系統(tǒng)。其實(shí)各行各業(yè)的專(zhuān)業(yè)人士都有這樣的“內(nèi)在的視覺(jué)洞察力”。
總之，這些內(nèi)在的視覺(jué)洞察力是后天反復(fù)運(yùn)用，自然形成的，只要具備正常的人類(lèi)基因都可以做到。
有人可能會(huì)說(shuō)：這些我明白了，是不是只要下苦功夫都可以成為那些天才？
不是滴！首先他們普遍都“拼爹”，其次他們下了功夫，但不是苦功夫。
正確的數(shù)學(xué)早期教育
如果看過(guò)很多天才的傳記，你會(huì)發(fā)現(xiàn)他們都“拼爹、拼娘”。
也就是父母的職業(yè)背景和教育方式，對(duì)他們有極為重要的影響。父母的影響之大被很多人誤以為是基因的遺傳，其實(shí)不是，這是教育在起作用，是屬于習(xí)慣的“遺傳”。
只是絕大多數(shù)的人不知道如何正確的教育，使上一代的好習(xí)慣無(wú)法復(fù)制到下一代身上，出現(xiàn)了“富不過(guò)三代”的現(xiàn)象。
而高斯、龐加萊和陶哲軒的父母則有意、無(wú)意的進(jìn)行了正確的早期數(shù)學(xué)教育。這為他們?cè)跀?shù)學(xué)界的頂尖地位奠定了堅(jiān)實(shí)的習(xí)慣基礎(chǔ)。
這個(gè)早期教育有多早呢？是不是胎教的時(shí)候就開(kāi)始？
也沒(méi)有那么早，最合適的時(shí)間大約在1歲到3歲之間，是在幼兒形成語(yǔ)言的時(shí)期同時(shí)進(jìn)行。
高斯的幼年
高斯的父親因?yàn)榫哂谐醯人阈g(shù)的能力，曾做過(guò)會(huì)計(jì)。高斯也曾說(shuō)過(guò)“我的母親是個(gè)非常善良的女性，我非常敬重她?！?br>
3歲那年，他父親正在給工人們發(fā)工資，小高斯突然指出“爸爸，你算錯(cuò)了！”，經(jīng)過(guò)檢查小高斯是對(duì)的，這讓周?chē)拇笕四康煽诖簟?br>
成年后的高斯說(shuō)，在他學(xué)會(huì)說(shuō)話之前就會(huì)計(jì)算了。這說(shuō)明在高斯的幼年經(jīng)常接觸到各種數(shù)字，無(wú)意間讓他很小的年齡就掌握了初等算術(shù)。
龐加萊的幼年
龐加萊的父親萊昂是第一流的生理學(xué)家兼醫(yī)生、南錫醫(yī)科大學(xué)教授，龐加萊的母親非常善良、聰明、慈愛(ài)，把所有的愛(ài)心和精力都用在他身上。因?yàn)槟托牡慕虒?dǎo)，龐加萊的智力發(fā)展的很快，很早就學(xué)會(huì)說(shuō)話。
作為英語(yǔ)國(guó)家的學(xué)前教育典范，來(lái)自美國(guó)的《芝麻街》兒童系列節(jié)目在當(dāng)時(shí)大受歡迎。陶象國(guó)夫妻把《芝麻街》作為陶哲軒的啟蒙教材。
就這樣，陶哲軒一面看電視節(jié)目，一面自己學(xué)習(xí)，不到2歲就學(xué)會(huì)了英文字母。他很快學(xué)會(huì)拼寫(xiě)，能用積木拼出單詞“狗”或“貓”。2 歲多時(shí)，陶哲軒對(duì)父親辦公室里的一臺(tái)打字機(jī)發(fā)生興趣，不辭辛苦地用一個(gè)手指頭敲出了兒童書(shū)上一整頁(yè)的內(nèi)容。
陶象國(guó)夫婦認(rèn)為，在很大程度上，陶哲軒是看《芝麻街》起步的。后來(lái)，陶象國(guó)在一次采訪中，曾推薦大陸引進(jìn)這個(gè)有益于早期兒童智力開(kāi)發(fā)的趣味節(jié)目。
回顧一下這三位“天才”在早期教育的優(yōu)勢(shì)：
基本算術(shù)能力：高斯和陶哲軒在掌握說(shuō)話之前就具備。
語(yǔ)言表達(dá)能力：龐加萊和陶哲軒很早學(xué)會(huì)。
識(shí)字閱讀能力：彭加勒和陶哲軒很早學(xué)會(huì)，高斯則缺少資料。但也不會(huì)差，因?yàn)樗诖髮W(xué)時(shí)還想從事人文方向。
如果你想讓孩子在數(shù)學(xué)方面的能力有優(yōu)勢(shì)，就可以盡早培養(yǎng)他算術(shù)、語(yǔ)言和閱讀的能力。
有人可能說(shuō)：這沒(méi)什么大不了??！我（或我的孩子）小時(shí)候也這樣，怎么沒(méi)有成為天才？
因?yàn)楹芏嗳说慕逃椒](méi)有隨著孩子成長(zhǎng)而調(diào)整，雖然可以在早期教育做對(duì)，但是在童年期教育卻做錯(cuò)，最終功虧一簣。還有更多人培養(yǎng)方法不合理，大部分人不是在培養(yǎng)孩子，而是在催逼孩子，這樣只能適得其反，還不如不培養(yǎng)，放任其自由發(fā)展。
童年期的數(shù)學(xué)習(xí)慣培養(yǎng)
幼兒期只是打基礎(chǔ)，很多父母都可以做到，但是數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練只有到童年期才是最關(guān)鍵的，做好了就會(huì)進(jìn)入能力爆炸時(shí)期，做錯(cuò)了就會(huì)“泯然眾人矣”。
為了說(shuō)明如何在不同階段用不同的教育方法，我們以自行車(chē)的學(xué)習(xí)為例：
輔導(dǎo)階段：需要父母手把手的訓(xùn)練，直到能穩(wěn)定車(chē)身不跌倒為止，做錯(cuò)了要警告。
跟隨階段：孩子跟隨父母騎行，學(xué)會(huì)交通規(guī)則、處理各種路況和意外，危險(xiǎn)情況要警告。
探索階段：讓孩子自己去嘗試，孩子會(huì)享受探索的樂(lè)趣，樂(lè)此不疲的到處騎行，多鼓勵(lì)和認(rèn)可。
提升階段：騎行能力已經(jīng)具備，多數(shù)人到此為止，如果孩子想挑戰(zhàn)高難度，放手讓他去試錯(cuò)。
你看，孩子通過(guò)自行車(chē)可以探索更廣闊的領(lǐng)域，這種體驗(yàn)是無(wú)以倫比的。
而大部分家長(zhǎng)往往用一種方法走到黑，把最初的警告和保守手段一直用到底。孩子很快就對(duì)騎車(chē)失去興趣，也不愿意挑戰(zhàn)更高難度。正是因?yàn)檫@樣，我們大部分人的騎車(chē)能力僅能達(dá)到夠用的水平。同樣，我們大部分人的數(shù)學(xué)也是夠用的水平，本質(zhì)的原因是相同的。
不同的教育方法效果有天地之別
我們以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的加法運(yùn)算為例，來(lái)看看3種掌握數(shù)學(xué)的方法，請(qǐng)思考不同方法的持久性。
老師主導(dǎo)的教學(xué)法：
老師講解10以?xún)?nèi)的加法規(guī)則。
老師要求學(xué)生背誦加法表。
老師提問(wèn)考察學(xué)生理解情況。
老師布置大量練習(xí)，指出學(xué)生的錯(cuò)誤和責(zé)令修改。
老師布置家庭作業(yè)讓學(xué)生課下練習(xí)。
老師安排階段性考試，進(jìn)行成績(jī)排名。
老師講解10以上的加法規(guī)則。
師生互動(dòng)的探索法：
老師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察演繹出加法規(guī)則。
老師引導(dǎo)學(xué)生提出各種問(wèn)題。
學(xué)生嘗試各種組合，自己尋找加法的規(guī)律，并解釋原因。
學(xué)生有問(wèn)題和老師一起分析討論。
老師幫助學(xué)生設(shè)定更高的挑戰(zhàn)目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生課下去研究。
學(xué)生提出自己的理論，運(yùn)用加法規(guī)則去驗(yàn)證自己的想法。
學(xué)生遇到問(wèn)題自己尋找解決方法。
老師讓學(xué)生研究10以上、100以上甚至更高位數(shù)的規(guī)則。
老師讓學(xué)生展示自己的研究成果。
“天才”的野蠻成長(zhǎng)：
經(jīng)常把數(shù)字進(jìn)行任意的排列、組合，以此作為天馬行空的娛樂(lè)方式。
每天滿(mǎn)腦子轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去的都是數(shù)字和比例關(guān)系的直觀圖像。
今天母親教了加法規(guī)則，真的很有趣，拿我的那些數(shù)字試一遍。為了驗(yàn)證規(guī)律，把自己已知的所有數(shù)字都嘗試用加法演算一遍。
每次用的數(shù)字都比上次更難，先從10以?xún)?nèi)嘗試，一直嘗試到100以?xún)?nèi)，發(fā)現(xiàn)加法規(guī)律仍然成立。
嘗試將數(shù)字從1加到10進(jìn)行累加，偶然發(fā)現(xiàn)如果將數(shù)列的首尾對(duì)稱(chēng)相加，計(jì)算效率會(huì)極高！
嘗試將已知的所有數(shù)字都用新方法累加，例如1加到100，或任意截取一串?dāng)?shù)列，發(fā)現(xiàn)依然成立，效率很高。
好棒！自己的演算工具箱又多了一個(gè)新工具！
這兩天沒(méi)事就用新工具演算各種等差數(shù)列，調(diào)整數(shù)列之間的公差，發(fā)現(xiàn)工具依然適用，更興奮了！
再?lài)L試變換加法的運(yùn)算順序，偶然發(fā)現(xiàn)其逆運(yùn)算——減法規(guī)律。哎喲！不錯(cuò)，這個(gè)diao，超級(jí)興奮！
繼續(xù)演算已知的所有數(shù)字來(lái)驗(yàn)證減法規(guī)律，并興奮的跑去告訴媽媽?zhuān)倚薷牧思臃樞颍l(fā)現(xiàn)了新運(yùn)算規(guī)律！
媽媽很驚訝，我還沒(méi)教你減法呢？
以上情節(jié)皆屬虛構(gòu)，若有雷同，純屬巧合！
但我相信你能感覺(jué)到：
第3種方法最能激發(fā)出的蓬勃和持久的動(dòng)力。
第2種的持久性雖然很好，但不如第3種，因?yàn)闆](méi)有老師的參與，學(xué)生仍有可能打回原形。
第1種的持久性則是最差的，也是最普遍的數(shù)學(xué)教育，把大部分人的數(shù)學(xué)自信心給毀了。
現(xiàn)在你能明白為什么我們奧賽總拿獎(jiǎng)，卻一直沒(méi)有出優(yōu)秀數(shù)學(xué)家了吧！
奧賽是技能訓(xùn)練，并不是獨(dú)立自主的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程。賽前拼命刷題，各種輔導(dǎo)，但當(dāng)奧賽結(jié)束了，學(xué)生依舊打回原形。
而天才是永不停歇、狂飆猛進(jìn)的，哪會(huì)有停下來(lái)的時(shí)候呢？！
后面我還會(huì)再分析天才的野蠻成長(zhǎng)過(guò)程，這里稍微從數(shù)學(xué)里出來(lái)一下，看看神經(jīng)科學(xué)。
早期的數(shù)學(xué)教育為什么重要？
因?yàn)檫@是大腦發(fā)育的關(guān)鍵期，在大腦發(fā)育的早期階段，人們會(huì)損失大量的灰質(zhì)細(xì)胞，只有最常用的灰質(zhì)細(xì)胞會(huì)保存下來(lái)。從下面的圖中，你可以看到隨著年齡增加，人腦的灰質(zhì)比例在逐漸減少。也就是年齡越小人腦的可塑性越強(qiáng)，年齡越大可塑性越弱，到20歲時(shí)主要習(xí)慣已經(jīng)逐漸固化下來(lái)了。
我入學(xué)時(shí)，學(xué)校安排我加入了一個(gè)“數(shù)學(xué)天才班”，那里集中了哥大所有的數(shù)學(xué)尖子，一個(gè)班只有七個(gè)人。我們?cè)谀抢飳W(xué)習(xí)微積分特別理論，但很快，我就發(fā)現(xiàn)我的數(shù)學(xué)突然由“最好的”變成“最差的”了。這時(shí)我才意識(shí)到，我雖然是“全州冠軍”，但是我所在的州是被稱(chēng)為“鄉(xiāng)下”的田納西州，當(dāng)我與這些來(lái)自加州或紐約州的真正的“數(shù)學(xué)天才”交手時(shí)，我不但技不如人，連問(wèn)問(wèn)題都膽怯了，生怕我的同學(xué)們看出我這個(gè)“全州冠軍”的真正水平。這么一來(lái)，我越來(lái)越落后。當(dāng)我上完這門(mén)課后，我深深地體會(huì)到那些“數(shù)學(xué)天才”都是因?yàn)椤皵?shù)學(xué)之美”而為它癡迷，但我卻并非如此。
再看看真正的數(shù)學(xué)“天才”從童年開(kāi)始的成長(zhǎng)歷程。
高斯童年到成年的成長(zhǎng)案例
有三個(gè)人對(duì)高斯童年的能力成長(zhǎng)有巨大的影響：
他的舅舅，弗里德里希（Friedrich）
小學(xué)老師，比特納（J.G. Büttner）
老師助理，巴特爾斯（Bartels）
高斯的舅舅弗里德里希是一個(gè)成功的紡織商人，他發(fā)現(xiàn)了高斯的才華，并經(jīng)常用很生動(dòng)的方式來(lái)啟蒙小高斯。如果不是舅舅經(jīng)常勸導(dǎo)高斯的爸爸往學(xué)術(shù)方面發(fā)展，高斯很可能會(huì)成為園丁或者泥瓦匠。高斯后來(lái)曾遺憾的說(shuō)，舅舅的早逝使"我們失去了一位天才"，因?yàn)榫司藦V博的思想對(duì)他的成才有非常重要的影響。
高斯的小學(xué)老師比特納則是一個(gè)非?？量痰睦蠋?，以虐待小孩著稱(chēng)，他在高斯9歲（3年級(jí)）時(shí)開(kāi)始教數(shù)學(xué)，有一次他給學(xué)生出了一道題，就是那個(gè)家喻戶(hù)曉的1+2+……+99+100的數(shù)列求和題。其實(shí)根據(jù)E·T·貝爾的考證，比特納出的題目更難，是計(jì)算81297+81495+81693+…+100899這樣的大數(shù)等差數(shù)列的和，數(shù)列公差為198，項(xiàng)數(shù)為100。尼瑪，這老師也太壞了！
比特納沒(méi)想到，他剛把題目寫(xiě)完，高斯就已經(jīng)算完，根本沒(méi)寫(xiě)演算過(guò)程，直接就把答案寫(xiě)到了石板上。比特納很震驚的發(fā)現(xiàn)答案是正確的！這說(shuō)明高斯不僅具有極為熟練的大數(shù)心算能力，而且計(jì)算技巧已經(jīng)非常嫻熟，這絕不是普通孩子靠按部就班的學(xué)習(xí)能做到的。比特納說(shuō)："你已經(jīng)超過(guò)了我，我沒(méi)有什么東西可以教你了。"就從漢堡買(mǎi)了很多更深的數(shù)學(xué)書(shū)籍讓他學(xué)習(xí)。
另一個(gè)對(duì)高斯有重大影響的是比特納的助手巴特爾斯（Bartels），不要小看這個(gè)助手，巴特爾斯后來(lái)到喀山大學(xué)教書(shū)，是另一個(gè)大數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基的老師，后來(lái)羅巴切夫斯基和高斯的得意門(mén)生黎曼一起開(kāi)創(chuàng)了非歐幾里得幾何，為愛(ài)因斯坦建立廣義相對(duì)論提供了有力的數(shù)學(xué)工具，當(dāng)然這是后話。
高斯的成長(zhǎng)離不開(kāi)與導(dǎo)師、朋友的交流和討論；
高斯驚為天人的計(jì)算能力來(lái)自于從小到大極高強(qiáng)度的數(shù)學(xué)計(jì)算；
高斯通過(guò)計(jì)算訓(xùn)練積累了大量的計(jì)算技巧，并能發(fā)明高效率的計(jì)算工具；
高斯通過(guò)計(jì)算訓(xùn)練形成了強(qiáng)大的直覺(jué)思考能力，其成果如能及時(shí)發(fā)表可以推進(jìn)高等數(shù)學(xué)50年；
高斯成為大數(shù)學(xué)家后仍然進(jìn)行極高強(qiáng)度的計(jì)算，并因此又開(kāi)創(chuàng)眾多的新學(xué)科。
看到這，很多人的心已經(jīng)“哇涼哇涼”滴了。
悲觀者：哎媽?zhuān)∵B高斯大神都這么拼，這么下苦功，看來(lái)我的數(shù)學(xué)是徹底沒(méi)戲了！
大神高斯：你丫才下苦功，你全家都下苦功！沒(méi)聽(tīng)前面說(shuō)嗎？這是成癮癥狀，我這是嚴(yán)重的計(jì)算成癮！誰(shuí)要是能靠毅力能干這樣高強(qiáng)度的事情，誰(shuí)就一SB！
呵呵，夸張一下。
其實(shí)高斯與那些連續(xù)幾個(gè)通宵打游戲的宅男們沒(méi)有太大區(qū)別！他們不是在下苦功，他們都是深陷在強(qiáng)烈的好奇心和成就感里無(wú)法自拔。
還有一個(gè)數(shù)學(xué)大神歐拉的作死故事：
1735年，28歲的歐拉發(fā)現(xiàn)了新的行星軌道計(jì)算方法，用了三天時(shí)間計(jì)算一個(gè)彗星的軌道，結(jié)果導(dǎo)致了右眼失明。高斯的評(píng)價(jià)是“如果我用那個(gè)方法計(jì)算三天，我的兩只眼睛都會(huì)瞎掉！”
幼兒階段，在語(yǔ)言能力形成期，建立算數(shù)的基礎(chǔ)設(shè)施
兒童階段，正確的教育和訓(xùn)練，建立起持久的動(dòng)力系統(tǒng)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)能力大爆炸
成年階段，依賴(lài)海量的計(jì)算訓(xùn)練出強(qiáng)大的直觀思維，不需要紙筆就可以思考數(shù)學(xué)問(wèn)題
專(zhuān)家階段：直觀思維比邏輯思維的成本更低，有助于發(fā)現(xiàn)多領(lǐng)域的相似性，開(kāi)創(chuàng)更新、更高層次的理論
可能你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，我前面提出的問(wèn)題——真的能做到不用紙筆來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？——其實(shí)已經(jīng)得到解決了，還順便論證了天才的形成既不是靠天賦、也不是靠勤奮，而是靠持久的動(dòng)力系統(tǒng)。
好了，接下來(lái)該說(shuō)龐加萊了，他的案例對(duì)成人學(xué)好數(shù)學(xué)有更強(qiáng)的借鑒價(jià)值，因?yàn)槌舜┰秸?，沒(méi)有人能回到童年重新開(kāi)始。
通才龐加萊的成長(zhǎng)歷程
前面提到“成人遷移知識(shí)和技能的成本很低，更擅長(zhǎng)于跨界”，那如何才能實(shí)現(xiàn)從自己的專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域向數(shù)學(xué)遷徙呢？
龐加萊就是很好的案例，因?yàn)樗钌瞄L(zhǎng)跨界，被譽(yù)為最后的通才（The Last Universalist）。
E.T.貝爾在《數(shù)學(xué)精英》中指出：
在今天起步的任何人，都不可能全面理解數(shù)學(xué)的四個(gè)主要部分——算數(shù)、代數(shù)、幾何、分析——中的兩個(gè)以上，更不用說(shuō)做出高質(zhì)量的創(chuàng)造性工作了，對(duì)天文學(xué)和數(shù)學(xué)物理就更談不上了。
十九世紀(jì)八十年代，在龐加萊的偉大事業(yè)開(kāi)始時(shí)，人們就普遍認(rèn)為高斯是最后一個(gè)數(shù)學(xué)通才。
所以這里的通才并不是指那種涉獵廣泛、樣樣精通的人才，而是特指一類(lèi)頂尖大數(shù)學(xué)家：
他們具有極廣的視野，不僅在數(shù)學(xué)內(nèi)的算數(shù)、代數(shù)、幾何、分析等領(lǐng)域開(kāi)天辟地，而且在天文學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，都有影響極深的開(kāi)創(chuàng)性成果。
例如目前公認(rèn)的三大數(shù)學(xué)家阿基米德、牛頓、高斯，都是這樣的通才大數(shù)學(xué)。
列一下他們的稱(chēng)號(hào)，看看他們的廣博程度。為什么不列成就只列稱(chēng)號(hào)？因?yàn)閷?shí)在太多了！
阿基米德：古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、發(fā)明家、工程師、天文學(xué)家，力學(xué)之父。
牛頓：英格蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家和煉金術(shù)士，鑄幣局局長(zhǎng)。
高斯：德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。
而龐加萊就是就是繼高斯之后，集數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家于一身的最后一個(gè)通才。
先看龐加萊在天文學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)
1887年，瑞典國(guó)王懸賞了高額獎(jiǎng)金，求解一個(gè)已經(jīng)困擾了天文學(xué)、物理學(xué)界200多年的天體物理問(wèn)題——三體問(wèn)題。很快龐加萊就簡(jiǎn)化了三體問(wèn)題，取得了突破性的進(jìn)展，并在第二年就獲得了獎(jiǎng)金。這時(shí)的龐加萊只有33歲，1年前他剛剛成為法蘭西科學(xué)院院士，9年后就成為科學(xué)院院長(zhǎng)！
龐加萊還發(fā)現(xiàn)，即使被簡(jiǎn)化的三體系統(tǒng)，只要微小的擾動(dòng)，就會(huì)極大的改變天體的循行，使其行為完全無(wú)法預(yù)測(cè)。這一發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了一個(gè)全新的科學(xué)分支——混沌理論——的誕生。
如果我不發(fā)現(xiàn)狹義相對(duì)論，5年以?xún)?nèi)肯定會(huì)有人發(fā)現(xiàn)它。如果我不發(fā)現(xiàn)廣義相對(duì)論，50年內(nèi)也不會(huì)有人發(fā)現(xiàn)它。
NND，總算給物理學(xué)家出了口惡氣！
不管怎樣，憑著從三體問(wèn)題到狹義相對(duì)論的諸多開(kāi)創(chuàng)性成就，龐加萊的物理大師地位是當(dāng)之無(wú)愧的。
可是為什么在19世紀(jì)末，大家都已經(jīng)對(duì)高斯之后出現(xiàn)通才不報(bào)希望的時(shí)候，龐加萊卻能以數(shù)學(xué)全能、跨界天文、物理的通才身份橫空出世呢？
他的成長(zhǎng)歷程和思維方式有什么獨(dú)到之處？
（未完，待續(xù)?。?br>
稍微劇透一下后面的內(nèi)容：
為什么龐加萊成為通才？
為什么是最后一個(gè)通才？
現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育出了什么問(wèn)題？
怎么做才能更高效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？
唉……我又給自己挖了個(gè)大坑，這鐵定是一篇超長(zhǎng)文！
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要良幣還是要劣幣，你們說(shuō)了算。
參考資料
《走近高斯 》
世界數(shù)學(xué)名人
《世界因你不同》
老版的《數(shù)學(xué)精英 》或新版的《數(shù)學(xué)大師——從芝諾到龐加萊 》
《高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何與非歐幾何》
《彭加勒——通才的絕唱 》
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