第六講 簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算
一、四種常見幾何體的平面展開圖
1.正方體
沿正方體的某些棱將正方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖，這一展開圖是由六個(gè)全等的正方形組成的，見圖6—1。
圖6─l只是正方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。
2.長方體
沿長方體的某些棱將長方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖。這一展開圖是六個(gè)兩兩彼此全等的長方形組成的，見圖6—2。圖6—2只是長方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。
3.（直）圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開鋪平，就得到圓柱體的平面展開圖。它由一個(gè)長方形和兩個(gè)全等的圓組成，這個(gè)長方形的長是圓柱底面圓的周長，寬是圓柱體的高。這個(gè)長方形又叫圓柱的側(cè)面展開圖。圖6—3就是圓柱的平面展開圖。
4.（直）圓錐體
沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐體剪開鋪平，就得到圓錐的平面展開圖。它是由一個(gè)半徑為圓錐體的母線長，弧長等于圓錐體底面圓的周長的扇形和一個(gè)圓組成的，這個(gè)扇形又叫圓錐的側(cè)面展開圖。具體圖形見圖6—4。
二、四種常見幾何體表面積與體積公式
1.長方體
長方體的表面積=2×（a×b+b×c+c×a）
長方體的體積=a×b×c（這里a、b、c分別表示長方體的長、寬、高）。
2.正方體
正方體的表面積=6×a2
正方體的體積=a3（這里a為正方體的棱長）。
3.圓柱體
圓柱體的側(cè)面積=2πRh
圓柱體的全面積=2πRh+2πR2=2πR（h+R）
圓柱體的體積=πR2h（這里R表示圓柱體底面圓的半徑，h表示圓柱的高）。
4.圓錐體
圓錐體的側(cè)面積=πRl
圓錐體的全面積=πRl+πR2
母線長與高）。
三、例題選講
例1 圖6—5中的幾何體是一個(gè)正方體，圖6—6是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開圖，圖6—7（a）、（b）、（c）也是這個(gè)正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個(gè)面上的圖案沒畫出來，請(qǐng)你給補(bǔ)上。
分析與解：從圖6—5和圖6—6中可知：
?。╝）、（b）、（c）三個(gè)展開圖中，判定誰與誰處在互為對(duì)面的位置上，則標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案便可以補(bǔ)上。
先看圖6—7中的（a），仔細(xì)觀察可知，1與4，3與
再看圖6—7中的（b），同上，1與3，2與
最后再看圖6—7中的（c），同上，1與
圖6—7（a）、（b）、（c）標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見圖6—8中的（a）、（b）、（c）。
例2 圖6—9中的幾何體是一個(gè)長方體，四邊形APQC是長方體的一個(gè)截面（即過長方體上四點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖碎L方體的平面展圖上，標(biāo)出線段AC、CQ、QP、PA來。
分析與解：只要能正確畫出圖6—9中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖6—10中的粗實(shí)線，就是題目中所要標(biāo)出的線段AC、CQ、QP、PA。
例3 在圖6—11中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短？
分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖6—12，從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)。實(shí)際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N。而兩點(diǎn)間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對(duì)角線，見圖6—12和圖6—13。
例4 圖6—14中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（π=3.14）？
分析與解：因?yàn)檎襟w的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個(gè)圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。
正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）
一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28（平方厘米）
幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
例5 圖6—15是由18個(gè)邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？
分析與解：從圖6—15中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè)。另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。因?yàn)樾≌襟w的棱長是1厘米，所以
上面的表面積為12×9=9（平方厘米）
前面的表面積為12×8=8（平方厘米）
左面的表面積為12×7=7（平方厘米）
幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=
答：（略）
例6 圖6—16中所示圖形，是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6厘米，高20厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（π=3.14）
分析與解：因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。
因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為
設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（π=3.14）？
分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積×高。假設(shè)圓鋼長為x，因?yàn)閷A鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積，所以有下面式子：
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2
=2πx+4π
根據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：
2πx+4π=75.36
解方程：
圓鋼的體積為π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）
答：（略）。
例8 一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少（π=3.14）？
分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖6—17。在圖6—17中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長公式：弧長=2лR×n÷360（這里R是圓的半徑，n為弧所對(duì)圓心角的度數(shù)），便可求出弧長來。這個(gè)弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖6—17中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h(yuǎn)。
所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：
102=h2+R2，即h2=102-R2
=100-36=64，h=8（厘米）
答：（略）
例9 圖6—18中的圖形是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn)?，F(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？
分析與解：因?yàn)殇彽舻氖橇⒎襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。
三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、
而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為
答：（略）
例10 圖6—19是一個(gè)里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖6—20是這個(gè)三棱柱的平面展開圖。當(dāng)以A面作為底面放在桌面上時(shí)，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時(shí)，水面高各為多少厘米？
分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時(shí)容器內(nèi)的水的體積。此時(shí)水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖6—20可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因?yàn)镻TJQ是個(gè)長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點(diǎn)是GJ的中點(diǎn)，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為
以C面為底面時(shí)，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值
此時(shí)水面的高度為：
54÷6=9（厘米）
以B面作為底面時(shí)，原來以A面為底面時(shí)不裝水的那一部分，現(xiàn)在應(yīng)裝水，原來裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來，下面來討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。
為方便起見，我們把C面適當(dāng)放大成圖6—21，在圖6—21中，因?yàn)镻Q平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、QG的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因?yàn)镕J長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現(xiàn)在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時(shí)，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。
答：（略）
習(xí)題六
1.圖6—22是一個(gè)正方體，一小蟲從頂點(diǎn)A1出發(fā)，沿正方體的表面爬到頂點(diǎn)C，沿什么樣的路線走距離最短，（請(qǐng)?jiān)谡归_圖上表示出來）？
2.用厚1厘米的木板，釘成一個(gè)小信箱，從外面量得這個(gè)長方體形信箱的長、寬、高如圖6—23所示之尺寸。在信箱的前面開了一個(gè)長20厘米、寬5厘米的投信孔，問做成這個(gè)小信箱所用木材的實(shí)際面積是多少平方厘米？
3.圖6—24中的圖形，是一個(gè)棱長為6厘米的正方體，切去了一個(gè)長方體（尺寸見圖），求剩余幾何體的表面是多少？
4.圓錐形塔尖，它的側(cè)面積是62.8平方米，側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為288度，其底面圓的半徑是4米，求塔尖的高是多少（π=3.14）？
5.一車工用一段長20厘米、直徑為6厘米的圓鋼，車一個(gè)如圖6—25所示的零件，求這個(gè)零件的表面積是多少（π=3.14）？
6.長方體的體積是12立方厘米，有兩個(gè)側(cè)面的面積分別是3平方厘米和12平方厘米，另一個(gè)側(cè)面的面積是多少？
7.圖6—26中的幾何體，是將長方體挖去一個(gè)圓柱體一半得到的，求圖中幾何體的體積是多少（π=3.14）？
8.一塊長24分米的長方形鐵皮，在它的四個(gè)角上都剪去一邊長為3分米的正方形，然后將它焊成一個(gè)無蓋的盒子，已知盒子的容積是486立方分米，問這塊鐵皮原來寬多少？
9.一塊方木料，橫截面是正方形，這個(gè)正方形的邊長為1.8分米，木料長5分米，現(xiàn)在要把它加工成盡可能大的圓柱體，求這塊方木料的利用率是多少？（π=3.14）？
10.把一塊長30厘米、寬20厘米、高5厘米的長方形鋁錠，和一底面周長為37.68厘米、高30厘米的圓柱形鉛塊，熔鑄成一底面圓半徑為13厘米的圓錐體鋁塊，求這個(gè)圓錐體鋁塊的高是多少（л=3.14）？
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