（作者：張東林）
一、早期數(shù)學(xué)史中的輝格編史學(xué)
當(dāng)代的數(shù)學(xué)史研究興起于19世紀(jì)末20世紀(jì)初，在那之后相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里，一種明顯的輝格編史學(xué)在數(shù)學(xué)史學(xué)科中占據(jù)著主導(dǎo)地位。數(shù)學(xué)史家習(xí)慣于從當(dāng)下的數(shù)學(xué)概念出發(fā)去分析古代數(shù)學(xué)文本，認(rèn)為這些文本的全部?jī)r(jià)值在于它們包含了一些數(shù)學(xué)思想，能夠被納入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。原始文本的表達(dá)方式被認(rèn)為是“笨拙”和“累贅”的，掩蓋了其中“真正的”數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此數(shù)學(xué)史家的任務(wù)就是從原始文本中把這些內(nèi)容打撈出來(lái)，將原始的表述棄之不顧，采用更適合于表達(dá)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)重新表述它們，使之更加清晰和容易理解。在這種編史觀念之下，一位古代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)無(wú)非就是闡述了前人未知的“有意義的”數(shù)學(xué)概念和命題，或發(fā)明了“更好的”表述形式，從而成為某種現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論或方法的先驅(qū)。
整個(gè)數(shù)學(xué)史被描寫成數(shù)學(xué)知識(shí)的累積式發(fā)展，即數(shù)學(xué)概念和命題的不斷積累，以及表述形式的逐漸優(yōu)化，呈現(xiàn)為一個(gè)向著當(dāng)下的數(shù)學(xué)體系不斷進(jìn)步的歷程。凡是不符合這一發(fā)展方向的數(shù)學(xué)工作，都被視為倒退、停滯或誤入歧途，數(shù)學(xué)史家有義務(wù)為這類異常提供一個(gè)解釋，指出有哪些可能的因素阻止了古代數(shù)學(xué)家作出應(yīng)有的發(fā)現(xiàn)或發(fā)明，數(shù)學(xué)中的史詩(shī)英雄們又是依靠什么新武器沖破了這些障礙，引導(dǎo)數(shù)學(xué)走向凱旋。按照這樣的歷史圖景，當(dāng)代數(shù)學(xué)處在進(jìn)步階梯的頂端，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、方法和語(yǔ)言擁有最為深刻和高屋建瓴的理解，因此，一位精通當(dāng)代數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家天然地就是撰寫數(shù)學(xué)史的最佳人選。顯而易見(jiàn)，由這一編史綱領(lǐng)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)史只能是一部勝利者為勝利者書寫的歷史，一部典型的輝格史。
這種編史綱領(lǐng)的一項(xiàng)典型成果就是在希臘數(shù)學(xué)史研究中采取所謂的“代數(shù)解釋”，即把歐幾里得《原本》中的諸多內(nèi)容和許多其它的希臘幾何學(xué)命題解讀為隱蔽的代數(shù)定理，聲稱這些內(nèi)容“本質(zhì)上”與今天的符號(hào)代數(shù)并無(wú)差異，只不過(guò)表述形式不同，是用幾何語(yǔ)言表達(dá)的，可稱為一種“幾何式的代數(shù)”（geometric algebra）。這種解釋方式可追溯到希臘數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的開拓者法國(guó)科學(xué)史家塔納里（Paul Tannery）和丹麥數(shù)學(xué)家措伊滕（Hieronymus Zeuthen）19世紀(jì)末的工作，后來(lái)被希思（Thomas Heath）和諾伊格鮑爾（Otto Neugebauer）等具有重大影響力的歷史學(xué)家繼承，從而成為一種標(biāo)準(zhǔn)解釋，在很長(zhǎng)時(shí)間里都沒(méi)有受到挑戰(zhàn)，直到上世紀(jì)六七十年代仍然處于主流地位[Unguru 1975, pp. 69–74; Saito 1986, pp. 25–26; Grattan-Guinness 1996, p. 356]。按照這種解釋，希臘數(shù)學(xué)之所以給代數(shù)穿上幾何的外衣，是因?yàn)橄ＥD人的數(shù)系不完整，只包括了正整數(shù)和正有理數(shù)。
當(dāng)畢達(dá)哥拉斯派發(fā)現(xiàn)某些線段的比無(wú)法表達(dá)為整數(shù)的比時(shí)，希臘數(shù)學(xué)就遭遇了邏輯基礎(chǔ)缺失的危機(jī)。為了確保邏輯嚴(yán)密性，希臘數(shù)學(xué)家不得不將代數(shù)重新建立在幾何的基礎(chǔ)之上，用幾何定理的形式闡述代數(shù)問(wèn)題的解。在這種幾何式的代數(shù)中，幾何量代表現(xiàn)代的正實(shí)數(shù)，量的合并分割代表了加減法，以兩條線段為邊的矩形或平行四邊形代表線段的乘積，在一條給定線段上貼附一個(gè)給定大小的矩形或平行四邊形則代表除法，正方形代表其邊的平方，正方體代表立方，于是許多幾何定理可以被翻譯為代數(shù)命題，用現(xiàn)代的符號(hào)“更清晰地”表達(dá)出來(lái)。例如，歐幾里得《原本》第二卷的全部14條關(guān)于矩形和正方形的定理都被翻譯成類似 (a + b) a + (a + b) b = (a + b)2 這樣的代數(shù)恒等式或方程，這種翻譯被認(rèn)為反映了歐幾里得“真正的”想法，理由是這些定理從幾何角度來(lái)看過(guò)于明顯，沒(méi)有什么幾何意義，只能解讀為代數(shù)命題。第五卷和第七卷闡述的比例理論也被翻譯為代數(shù)語(yǔ)言，兩個(gè)數(shù)或量的比被翻譯成a / b，四個(gè)數(shù)或量成比例被翻譯成等式a / b = c / d，比的復(fù)合（compounding）被理解為分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算。第十卷關(guān)于不可公度量的討論被視為無(wú)理數(shù)理論的一個(gè)繁瑣、不完整的替代品。此外還有許多作圖命題被視為用幾何手段解代數(shù)方程。
根據(jù)這樣的解讀，幾何直觀就成了希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的障礙，因?yàn)閹缀螣o(wú)法超越三維，所以幾何式的代數(shù)無(wú)法有效地處理三次以上的代數(shù)方程，只能求助于比例論，不但繁復(fù)累贅，而且只能處理極少數(shù)情形，這一障礙的突破有賴于數(shù)系的擴(kuò)大，將無(wú)理數(shù)納入數(shù)的集合之后才能用數(shù)表示幾何量，使量的代數(shù)重新成為數(shù)的代數(shù)。
直到上世紀(jì)六七十年代，代數(shù)解釋才開始遭到全面系統(tǒng)的批判，但事實(shí)上足以否定代數(shù)解釋的思想資源早就存在。哲學(xué)家、思想史家克萊因（Jacob Klein）在1934–36年發(fā)表的《希臘數(shù)學(xué)思想與代數(shù)的起源》（Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra）?[1]中已經(jīng)揭示了代數(shù)學(xué)的一個(gè)根本特征，這一特征與數(shù)概念的演變有密切關(guān)系。
梵蒂岡教皇簽字大廳壁畫《雅典學(xué)派》，右下角為歐幾里得給年輕人講課
克萊因所講的數(shù)概念的演變不是數(shù)系的擴(kuò)張，而是數(shù)在“意向”方面的變化，他追問(wèn)的是希臘人與現(xiàn)代人在談?wù)摵褪褂脭?shù)的時(shí)候所采取的意向樣式有何差別，這種與眾不同的追問(wèn)方式使他能夠揭示出代數(shù)學(xué)的獨(dú)特意義?？巳R因看到，希臘人的數(shù)（arithmos）總是指“被計(jì)數(shù)之物”，是由確定數(shù)目的確定之物組成的東西。在這樣的概念下，數(shù)不但不包括無(wú)理數(shù)，也不包括分?jǐn)?shù)，甚至“一”也不是一個(gè)數(shù)。希臘人始終認(rèn)為，“一”是數(shù)的本原，是構(gòu)成數(shù)的單元，是用于計(jì)數(shù)的尺度，它本身絕不能被視為一個(gè)數(shù)。
作為單元的“一”反映的是從日常生活世界中誕生的那種對(duì)于物的原初把握，即每個(gè)物都可以被稱為“一個(gè)”，不同的物總能被歸入同一類，從而能用相同的單元來(lái)對(duì)它們計(jì)數(shù)。與此相適應(yīng)的是像自然史那樣的分類式的研究，尋找每一個(gè)物所屬的恰當(dāng)類型是希臘人理解整個(gè)宇宙的基本方式?，F(xiàn)代的數(shù)則完全喪失了原初的直接指向確定之物的“第一意向”，僅僅指向與物相分離的概念，成為一種抽空了意義的符號(hào)，正因如此，它才能夠把一些最初僅由運(yùn)算規(guī)則規(guī)定出來(lái)的對(duì)象（如負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)、虛數(shù)等）納入其中。只有在這種符號(hào)性的思想方式之下，一種普遍適用于數(shù)和量的代數(shù)學(xué)才是可能的，符號(hào)性的數(shù)的誕生和代數(shù)學(xué)的誕生實(shí)際上是一回事，它們都起源于韋達(dá)（Fran?ois Viète）對(duì)丟番圖（Diophantus of Alexandria）著作的重新闡釋，最終由斯臺(tái)文（Simon Stevin）、笛卡爾（René Descartes）和沃利斯（John Wallis）等人加以完成。
從克萊因的論述中我們可以看到，代數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言不是單純的“表達(dá)工具”，而是現(xiàn)代人的符號(hào)性思想方式的實(shí)現(xiàn)。希臘人的思想方式則基于對(duì)“物”的原初理解，每個(gè)物總是作為切身的“這一個(gè)”被直接把握，而不是在一個(gè)已經(jīng)作為整體預(yù)先被理解的時(shí)空框架中定位出它的個(gè)體性。這一特點(diǎn)明顯地反映在希臘數(shù)學(xué)的特定用詞上，數(shù)學(xué)定理的陳述總是使用“這一個(gè)”和“每一個(gè)”，而從不說(shuō)“某一個(gè)”或“任意一個(gè)”[希思1998，頁(yè)179]。希臘幾何學(xué)研究的是圖形而不是幾何空間，圖形的位置（topos）是指它的擺放方式，而不是在某個(gè)背景空間中的定位，希臘人根本沒(méi)有這種作為背景的空間概念，“歐氏空間”并不是歐幾里得的創(chuàng)造[吳國(guó)盛2010，頁(yè)46]。在這種思想方式下，數(shù)學(xué)家不可能擁有符號(hào)性的數(shù)或量的概念，不但數(shù)是指確定之物，量也是如此，希臘幾何學(xué)的量始終指的是具有確定形狀和邊界的圖形，而非長(zhǎng)度、面積等，量的相等總是指兩個(gè)特定圖形的相等，即能夠通過(guò)特定的作圖將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為另一個(gè)。
希臘數(shù)學(xué)沒(méi)有真正意義上的“運(yùn)算”概念，被代數(shù)解釋視為加法、減法、除法運(yùn)算的那些步驟從未被希臘數(shù)學(xué)家賦予專門的名稱。例如歐幾里得任意地使用suntithemi（放在一起）和sugkeimai（平放在一起）等十分日常的詞匯來(lái)表示所謂的“加法”而從未加以定義[Fowler 1987, p. 142]。任何兩個(gè)量擺放在一起的方式都不一樣，依證明的語(yǔ)境不同而表現(xiàn)為不同的幾何作圖，這層意義是形式化的加法規(guī)則無(wú)法體現(xiàn)的[Grattan-Guinness 1996, p. 360]。量也沒(méi)有相乘的概念，兩條線段圍成的是具有確定位置的矩形。
《原本》中唯有數(shù)的相乘有定義，但這定義也沒(méi)有脫離“擺放”的含義，兩數(shù)相乘的結(jié)果被稱為一個(gè)“面”（卷七定義16），這也是乘法規(guī)則無(wú)法反映的?！对尽分械谋纫膊荒艿韧诜?jǐn)?shù)，比是兩個(gè)同類量的關(guān)系而非運(yùn)算，歐幾里得從不說(shuō)兩個(gè)比“相等”，而只說(shuō)“相同”、“如同”，在《原本》中，比和比例從不脫離確定的圖形，不會(huì)在沒(méi)有具體圖形的語(yǔ)境下把兩個(gè)比復(fù)合在一起，拋開圖形去考察比的復(fù)合的做法直到古代晚期才出現(xiàn)[Saito 1986, p. 58]。代數(shù)解釋對(duì)以上所有這些特征視而不見(jiàn)，為了能夠自圓其說(shuō)，代數(shù)解釋不得不經(jīng)常忽略古代數(shù)學(xué)家的工作的某些方面，在無(wú)法忽略時(shí)就加以貶低，稱之為平庸的、低效的或缺乏清晰性和普遍性的，這樣它才能維持自身的一致性。代數(shù)解釋把現(xiàn)代的符號(hào)性思考方式強(qiáng)加于希臘幾何學(xué)，掩蓋了希臘幾何學(xué)家原本的純粹幾何學(xué)的思考方式，以及這種思考方式與對(duì)物的原初經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，因此無(wú)法幫助我們理解希臘的數(shù)和量，也無(wú)法從根本上揭示現(xiàn)代的符號(hào)數(shù)學(xué)思想的深刻意義。不僅希臘數(shù)學(xué)史研究如此，對(duì)其他時(shí)代的考察也是如此，由于將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的某些觀念神圣化為永恒的、普適的，導(dǎo)致這些觀念落入不能被反思的境地，這注定了輝格式數(shù)學(xué)史的貧乏。
二、數(shù)學(xué)史家擺脫輝格編史學(xué)的嘗試
上世紀(jì)六十年代末，克萊因《希臘數(shù)學(xué)思想與代數(shù)的起源》的英譯本（1968）和匈牙利數(shù)學(xué)史家紹博（árpád Szabó）的《希臘數(shù)學(xué)的開端》（Anf?nge der griechischen Mathematik, 1969）兩書的出版，激發(fā)了一些數(shù)學(xué)史家重新審視流行的代數(shù)解釋，并進(jìn)而對(duì)它所代表的編史綱領(lǐng)提出批評(píng)。紹博的研究聚焦于長(zhǎng)期受到忽視的“原始表述”，依據(jù)文字學(xué)和詞源學(xué)的考察，從歐幾里得的一些習(xí)慣用詞出發(fā)，去追溯不可公度量和比例理論可能的起源。在書末的附錄中，紹博論述了《原本》第二卷命題5的幾何意義，指出代數(shù)解釋將它理解為代數(shù)恒等式 (a ? b) (a + b) = a2 ? b2 的替代表達(dá)是毫無(wú)根據(jù)的[Szabó 1978, pp.332–353]。
受這兩部著作的啟發(fā)，溫古魯（Sabetai Unguru）在1975年發(fā)表了一篇情緒激昂的檄文，題為“重寫希臘數(shù)學(xué)史的必要性”（On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics），矛頭直指代數(shù)解釋，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)容跟形式不可分離。文中盛贊紹博和克萊因的工作，并言辭激烈地指控代數(shù)解釋是一種輝格史，聲稱導(dǎo)致這種數(shù)學(xué)史盛行的原因之一在于大部分?jǐn)?shù)學(xué)史都是由退休的或喪失了數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)家所寫的，他們太熟悉數(shù)學(xué)而不了解歷史學(xué)，誤以為從事歷史學(xué)不需要專門的訓(xùn)練，因而用數(shù)學(xué)代替了歷史。被溫古魯激怒的數(shù)學(xué)家范德瓦爾登（B. L. van der Waerden）和韋伊（André Weil）[2]等撰文反擊，掀起了一場(chǎng)曠日持久的論戰(zhàn)[Saito 1986, pp. 26–28; Grattan-Guinness 1996, p. 359]。與此同時(shí)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)史家開始有意識(shí)地尋找新的道路，擺脫輝格編史學(xué)，以確立自身的歷史學(xué)家身份。顯然，僅僅大聲疾呼要強(qiáng)化歷史意識(shí)，或空洞地呼吁回到歷史的本來(lái)語(yǔ)境中去，并不足以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，新一代的數(shù)學(xué)史家需要更多其它的思想資源的幫助。
一個(gè)很自然的想法是向科學(xué)史學(xué)習(xí)?？茖W(xué)史早期也同樣充斥著輝格史，但從上世紀(jì)五、六十年代開始，以物理學(xué)史為代表的科學(xué)史在清除輝格編史學(xué)方面取得了顯著的成就，到六十年代中后期，科學(xué)史家已經(jīng)能夠自信地宣告科學(xué)史正在成為一門真正的歷史學(xué)[霍爾1994，頁(yè)225]。在這一進(jìn)程中，庫(kù)恩（Thomas Kuhn）的科學(xué)革命敘事做出了很大貢獻(xiàn)，因此它成為數(shù)學(xué)史家們首先想到的一項(xiàng)思想資源，不少數(shù)學(xué)史家開始嘗試描述某種變革式的發(fā)展，以打破輝格史的進(jìn)步史觀。
但是一個(gè)明顯的困難隨即出現(xiàn)：科學(xué)革命敘事要求承認(rèn)同一門學(xué)科在歷史上至少存在過(guò)兩種互相異質(zhì)的理論，這樣才會(huì)有所謂的革命，即研究范式的競(jìng)爭(zhēng)和更替，而數(shù)學(xué)史家卻感到，似乎很難找到一種類似于燃素說(shuō)或亞里士多德運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)中似乎從來(lái)不曾出現(xiàn)新理論取代舊理論的非連續(xù)變革，兩個(gè)數(shù)學(xué)家的爭(zhēng)論似乎總是能確切地分出對(duì)錯(cuò)，而不是形成范式的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。庫(kù)恩自己就把數(shù)學(xué)排除在他的論述之外。數(shù)學(xué)史家意識(shí)到，這一困難意味著輝格史學(xué)包含的某種預(yù)設(shè)仍然困擾著他們。
數(shù)學(xué)史家大多注意到了輝格式數(shù)學(xué)史的一項(xiàng)基本預(yù)設(shè)：存在一些永恒不變的數(shù)學(xué)實(shí)體或數(shù)學(xué)真理，它們不依賴于數(shù)學(xué)家的思想，不會(huì)受到任何“數(shù)學(xué)之外的”因素的影響而改變，具有超越時(shí)代、超越文化的同一性。在這一預(yù)設(shè)之下，數(shù)學(xué)史研究根本不存在時(shí)代錯(cuò)置的問(wèn)題，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯古代文本是完全合法的；數(shù)學(xué)只有一種，它是一個(gè)囊括一切可能的數(shù)學(xué)概念和命題的邏輯結(jié)構(gòu)，不同歷史時(shí)期甚至不同文明中的數(shù)學(xué)工作都是對(duì)這同一個(gè)結(jié)構(gòu)的探索，這就使得累積式的進(jìn)步史觀成為可能。發(fā)現(xiàn)這一預(yù)設(shè)并不困難，因?yàn)槟承﹫?jiān)持傳統(tǒng)編史綱領(lǐng)的數(shù)學(xué)史家?guī)缀跏侵卑椎爻姓J(rèn)了這一點(diǎn)，例如韋伊在為自己的編史學(xué)辯護(hù)時(shí)舉例說(shuō)，雖然今天的數(shù)學(xué)描述對(duì)數(shù)概念時(shí)用上了半群、同構(gòu)等新概念，但這種表述“背后的事實(shí)”跟17世紀(jì)數(shù)學(xué)家發(fā)明對(duì)數(shù)時(shí)所理解到的數(shù)學(xué)事實(shí)是完全相同的[Richards 1995, p. 125]。
作為布爾巴基學(xué)派的代表人物，韋伊在他的數(shù)學(xué)史中貫徹了該學(xué)派對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)調(diào)，他們的主張所反映的上述預(yù)設(shè)常常被貼上“柏拉圖主義”或“先驗(yàn)論”的標(biāo)簽。新一代的數(shù)學(xué)史家雖然努力拒斥韋伊的極端立場(chǎng)，嘗試探討不同時(shí)代數(shù)學(xué)的意義差別，但他們?nèi)匀桓械綌?shù)學(xué)的有效性似乎確實(shí)不依賴于歷史——舊的數(shù)學(xué)并不會(huì)像舊的物理學(xué)那樣死去，畢達(dá)哥拉斯派的“有形狀的數(shù)”、笛卡爾對(duì)代數(shù)方程的作圖之類的數(shù)學(xué)理論雖然已不再受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注，但也不會(huì)像燃素說(shuō)那樣被視為謬誤，它們看起來(lái)仍然正確，只是喪失了研究?jī)r(jià)值。因此，有的數(shù)學(xué)史家將舊的數(shù)學(xué)比喻為荒廢的城堡，它們并沒(méi)有被摧毀，只是不再有人占據(jù)而已[Richards 1995, p. 126]。既然發(fā)生變化的只是數(shù)學(xué)家的興趣焦點(diǎn)，科學(xué)革命敘事也就無(wú)法給數(shù)學(xué)史提供更多的幫助，關(guān)于數(shù)學(xué)中是否存在革命的爭(zhēng)論無(wú)果而終，數(shù)學(xué)史家大多避免使用“革命”一詞，而采用“變革”或“準(zhǔn)革命”的說(shuō)法。
數(shù)學(xué)史家意識(shí)到，“只有一種數(shù)學(xué)”的觀念實(shí)際上將數(shù)學(xué)完全置于人的領(lǐng)域之外，成為歷史學(xué)無(wú)法干預(yù)的獨(dú)立王國(guó)，無(wú)論是否采取科學(xué)革命敘事，都應(yīng)該設(shè)法清除這一觀念?？茖W(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)（SSK）的創(chuàng)始人布魯爾（David Bloor）為了將數(shù)學(xué)納入他的“強(qiáng)綱領(lǐng)”，在其代表作《知識(shí)和社會(huì)意象》（Knowledge and Social Imagery, 1976）中專門討論了“是否存在另一種數(shù)學(xué)”，他批評(píng)那種永恒完備的數(shù)學(xué)統(tǒng)一體觀念實(shí)際上包含了循環(huán)論證，一方面主張不存在“真正的”另類數(shù)學(xué)，另一方面又認(rèn)為自己有權(quán)規(guī)定人們應(yīng)當(dāng)把什么樣的數(shù)學(xué)視為“真正的”。布魯爾引用克萊因所揭示的“一不是數(shù)”與基于分類的希臘宇宙論之間的必然聯(lián)系，用以論證每一種數(shù)學(xué)的意義都依賴于它所處的社會(huì)群體共有的背景預(yù)設(shè)，因此不同的社會(huì)背景下可以有不同的數(shù)學(xué)，“只有一種數(shù)學(xué)”的主張是通過(guò)把畢達(dá)哥拉斯派宇宙論之類的內(nèi)容貶斥為神秘主義和迷信而加以排除才得以維持的。[布魯爾2001，第169–205頁(yè)]
但是布魯爾的SSK進(jìn)路沒(méi)有立刻得到數(shù)學(xué)史家的理解。到上世紀(jì)八十年代后期，受SSK研究的影響，科學(xué)史已經(jīng)揚(yáng)棄內(nèi)史與外史的劃分，而此時(shí)在數(shù)學(xué)史中“內(nèi)部”與“外部”之間的鴻溝反而越來(lái)越深，這也進(jìn)一步加深了數(shù)學(xué)史與科學(xué)史的隔閡[Richards 1995, p. 124]。有數(shù)學(xué)史家認(rèn)為，科學(xué)史對(duì)內(nèi)史和外史的超越實(shí)際上是對(duì)自然和社會(huì)這兩極的超越，因此數(shù)學(xué)史也應(yīng)該找出相應(yīng)于自然的那一極，于是他們寄希望于某種能夠刻畫數(shù)學(xué)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)性或“準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)性”的數(shù)學(xué)哲學(xué)[Richards 1995, p. 124]，不再去數(shù)學(xué)知識(shí)體系中尋找變革，而是到數(shù)學(xué)家的實(shí)際工作中去尋找。在這一思路下，數(shù)學(xué)史家考察了特定時(shí)代的數(shù)學(xué)思維模式、研究方法、證明風(fēng)格，以及使數(shù)學(xué)界對(duì)特定領(lǐng)域保持興趣或喪失興趣的因素等，在其中找到了較為明顯的變革。數(shù)學(xué)史家更改了前述的城堡比喻，認(rèn)為舊的數(shù)學(xué)城堡不只是被遺棄，而且被拆毀，只不過(guò)大部分磚塊仍然保留下來(lái)，被用在新的建筑中，磚塊沒(méi)有變，但整個(gè)建筑的結(jié)構(gòu)以及砌墻的灰漿可能已經(jīng)發(fā)生了根本的變革。[Richards 1995, pp. 129–132]
經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)史家們幾十年的努力，數(shù)學(xué)史已經(jīng)從早期那種刻意的輝格式寫法中擺脫出來(lái)，但是沒(méi)有被意識(shí)到的時(shí)代錯(cuò)置仍然十分常見(jiàn)。直到本世紀(jì)，仍然有一些數(shù)學(xué)史家感到有必要提醒同行注意避免某些帶有輝格色彩的做法，例如格拉頓－吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）在2004年的一篇文章中提請(qǐng)數(shù)學(xué)史家注意區(qū)分“歷史”和“遺產(chǎn)”，他用“觀念”（notion）一詞籠統(tǒng)地指稱數(shù)學(xué)理論、定義、證明方法、技巧、算法、記號(hào)或整個(gè)數(shù)學(xué)等，認(rèn)為我們可以辨認(rèn)出一系列數(shù)學(xué)觀念構(gòu)成的前后相繼的序列，“歷史”和“遺產(chǎn)”就是對(duì)這種序列的不同描述：“歷史”是觀念發(fā)展的細(xì)節(jié)，“遺產(chǎn)”則是觀念對(duì)后來(lái)的工作的影響，以及觀念怎樣嵌在后來(lái)的語(yǔ)境中。數(shù)學(xué)處理的是遺產(chǎn)，而數(shù)學(xué)史應(yīng)該處理的是歷史。在他看來(lái)，這兩種描述方式經(jīng)常被混淆。[Grattan-Guinness 2004, pp. 164–165]
可以說(shuō)，迄今為止數(shù)學(xué)史仍然未能擺脫輝格傾向。這反映的是一種缺乏徹底反思的自然態(tài)度，數(shù)學(xué)史家默認(rèn)了一個(gè)“數(shù)學(xué)世界”的存在，這個(gè)世界僅僅是一些數(shù)學(xué)“對(duì)象”的集合，諸如數(shù)、圖形、概念、命題、證明方法、嚴(yán)格性標(biāo)準(zhǔn)等都只被視為某種對(duì)象性的東西。在自然態(tài)度下，數(shù)學(xué)史家僅僅考察數(shù)學(xué)對(duì)象的所指，而不會(huì)像克萊因那樣關(guān)注數(shù)學(xué)家談?wù)摵瓦\(yùn)用這些對(duì)象時(shí)的意向樣式，因而容易把數(shù)學(xué)史研究的東西跟數(shù)學(xué)研究的東西混為一談；數(shù)學(xué)實(shí)踐也被對(duì)象化，沒(méi)有作為包含內(nèi)在意向結(jié)構(gòu)的活動(dòng)來(lái)考察，因而不足以溝通內(nèi)史和外史。從前面的回顧中我們可以看到，無(wú)論是韋伊的“數(shù)學(xué)事實(shí)”還是兩則城堡比喻，或格拉頓－吉尼斯的“數(shù)學(xué)觀念”，都是對(duì)象化的談?wù)摲绞?，沒(méi)有脫離自然態(tài)度。
三、數(shù)學(xué)史的輝格傾向的根源
我們應(yīng)該注意到，像代數(shù)解釋這樣的做法并不是數(shù)學(xué)史這門學(xué)科誕生以后才有的，近代早期的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)開始這么做了。例如笛卡爾就聲稱他所闡述的普遍方法或者說(shuō)“普遍數(shù)學(xué)”（mathesis universalis）其實(shí)是每個(gè)人心中都有的，帕普斯（Pappus of Alexandria）和丟番圖等古代數(shù)學(xué)家早就掌握了這種“發(fā)現(xiàn)的技藝”，只不過(guò)古人刻意將它隱瞞起來(lái)，用歐幾里得式的綜合證明去掩蓋發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，笛卡爾認(rèn)為他自己所做的不過(guò)就是在復(fù)興這一失傳技藝，作為一門普遍數(shù)量科學(xué)的代數(shù)學(xué)正是這一技藝的典范[笛卡爾1991，頁(yè)15–18]。類似的聲明在十六、十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作中相當(dāng)常見(jiàn)，二十世紀(jì)數(shù)學(xué)史家不過(guò)是繼承了先輩們的做法。正如溫古魯所看到的，代數(shù)解釋預(yù)設(shè)了“數(shù)學(xué)是一門普遍科學(xué)（scientia universalis），是思想的代數(shù)，包含了普遍的推理方式、永恒的結(jié)構(gòu)以及不依賴于時(shí)間的理想探究模式，這些東西在有文明的人類的整個(gè)歷史中都可以辨認(rèn)出來(lái)，它們完全獨(dú)立于其形式，形式只不過(guò)是它們?cè)谀硞€(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)上偶然呈現(xiàn)的樣子”[Unguru 1975, p. 74]。這里提到的“普遍科學(xué)”正是笛卡爾及其同時(shí)代人追尋的“普遍數(shù)學(xué)”。
這提示我們，為了理解數(shù)學(xué)史在擺脫輝格傾向方面遭遇的困難，我們不能僅僅依靠一種關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)如何產(chǎn)生的數(shù)學(xué)哲學(xué)，我們更需要的是對(duì)數(shù)學(xué)史本身的起源的追溯，這一追溯必須是雙重的，包含數(shù)學(xué)和歷史兩方面。這種追根溯源的工作構(gòu)成了克萊因的“現(xiàn)象學(xué)與科學(xué)史”一文的核心。在這篇為紀(jì)念胡塞爾（Edmund Husserl）而寫的文章中，克萊因指出，以“發(fā)展”為焦點(diǎn)的現(xiàn)代歷史學(xué)實(shí)際上與現(xiàn)代數(shù)理科學(xué)有著共同的根源：
我們不能忽視這一事實(shí)：“歷史意識(shí)”的發(fā)展緊緊跟隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展。關(guān)于自然的“新科學(xué)”在關(guān)于歷史的scienza nuova（新科學(xué)，維柯）中有其補(bǔ)充?，F(xiàn)代歷史學(xué)既不是事件的編年史，也不是對(duì)過(guò)去值得紀(jì)念的事跡作啟迪性、教化性或歌頌性的記述，而是要將人發(fā)現(xiàn)為、描述為一種尤其是歷史性的存在，他遵從一種“發(fā)展”，這種發(fā)展超越任何個(gè)體生命，甚至超越民族和國(guó)家的生命?，F(xiàn)代歷史學(xué)不僅——像古代歷史學(xué)那樣——是對(duì)“事實(shí)”的詮釋和戲劇性展現(xiàn)，而且是對(duì)歷史“運(yùn)動(dòng)”本身的詮釋。在這一點(diǎn)上，它是數(shù)學(xué)物理學(xué)的孿生兄弟。它們都是主宰著我們實(shí)際生活的支配性力量，設(shè)定了我們思想的視域，決定著我們實(shí)踐的范圍。近幾十年的歷史主義只不過(guò)是那個(gè)總的歷史趨勢(shì)的一個(gè)極端后果。[Klein 1940, p. 149]
克萊因進(jìn)一步說(shuō)，這種歷史主義已經(jīng)被界定為心理主義的延伸和放大，反過(guò)來(lái)，心理主義最初在英國(guó)經(jīng)驗(yàn)論者那里發(fā)展起來(lái)的時(shí)候，也是第一次嘗試將新生的數(shù)理科學(xué)納入某種“歷史的”視野，企圖為科學(xué)所立足的那些概念撰寫一部“自然史”，從而填補(bǔ)日常生活與日益形式化的科學(xué)之間的裂隙，這正是科學(xué)史的濫觴。這樣的科學(xué)史充當(dāng)?shù)氖沁壿嬻w系的前言，是對(duì)科學(xué)的方法論基礎(chǔ)和概念基礎(chǔ)的闡述，在克萊因看來(lái)，這種描述心理之物的發(fā)展運(yùn)動(dòng)的歷史學(xué)，正如胡塞爾所批評(píng)的那樣，無(wú)法揭示其自身的起源，因而沒(méi)有能力理解自身，也就不可能完成填補(bǔ)裂隙的任務(wù)。要實(shí)現(xiàn)一種“回到根源”的研究，我們需要考察的不是概念在現(xiàn)實(shí)時(shí)間（客觀時(shí)間）中的發(fā)生，而應(yīng)轉(zhuǎn)向胡塞爾所說(shuō)的“內(nèi)時(shí)間性”，在內(nèi)時(shí)間意識(shí)的“絕對(duì)之流”中考察概念的“意向發(fā)生”，克萊因把這種考察稱為對(duì)“意向歷史”（intentional history）[3]的研究。[Klein 1940, pp. 149–150]
正如內(nèi)時(shí)間意識(shí)是客觀時(shí)間得以可能的條件，“意向歷史”也是實(shí)際的歷史得以可能的條件，胡塞爾在《歐洲科學(xué)的危機(jī)和先驗(yàn)現(xiàn)象學(xué)》（Die Krisis der europ?ischen Wissenschaften un die transzendentale Ph?nomenologie）以及“幾何學(xué)的起源”（Vom Ursprung der Geometrie）一文中分析的正是這種“意向歷史”。胡塞爾認(rèn)為，像幾何學(xué)這樣的科學(xué)具有“理念的客觀性”（ideal objectivity），也就是說(shuō)，它能夠被任何時(shí)代、任何文明的人理解，它的可理解性是超時(shí)間的，但幾何學(xué)作為“第一位幾何學(xué)家”的發(fā)明，作為個(gè)體心靈的意向產(chǎn)物，必定在實(shí)際歷史中有其起源，幾何學(xué)并不是在起源處就擁有理念的客觀性，而需要另外獲得。
據(jù)克萊因總結(jié)，這種獲得被胡塞爾揭示為三個(gè)步驟：最初的發(fā)明作為內(nèi)在于心靈的意義構(gòu)成（significant formation），包含著原初的直接被給予的明見(jiàn)性（evidence），這種明見(jiàn)性首先轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N“滯留”的意識(shí)，在遺忘中逐漸消褪卻并不消失，當(dāng)它被重新喚起時(shí)，就使得原初的意義構(gòu)成物獲得了同一性、可以被不斷地復(fù)制；第二步是將這種意義構(gòu)成物嵌入到語(yǔ)言中，使原初的明見(jiàn)性能夠通過(guò)交談傳達(dá)、復(fù)制給他人；最后一步是將語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為無(wú)需交談也能實(shí)現(xiàn)傳達(dá)的書面文字，使原初的意義構(gòu)成物“沉積”下來(lái)，獲得完滿的理念客觀性。這種沉積同時(shí)也是遺忘，語(yǔ)言本身的特性使得原初的明見(jiàn)性在語(yǔ)詞的使用者對(duì)語(yǔ)詞的不斷熟悉中被逐漸忘卻，成為沉積在語(yǔ)言共同體的共同理解之下的隱含基礎(chǔ)，新的意義又將沉積于其上。歷史就是這樣由原初意義的構(gòu)成和意義的沉積相互交織而成的。[4] [Klein 1940, pp. 154–156]
胡塞爾力圖揭示的是，已經(jīng)日益遠(yuǎn)離生活世界的科學(xué)世界仍然在生活世界中有其根源，因此可以通過(guò)“重新激活”這個(gè)被遺忘的根源來(lái)解決現(xiàn)代科學(xué)喪失生活意義的危機(jī)，這正是先驗(yàn)現(xiàn)象學(xué)的任務(wù)。胡塞爾的分析并不基于任何現(xiàn)實(shí)的歷史事件，考據(jù)的、實(shí)證的歷史學(xué)在他的計(jì)劃中沒(méi)有任何地位。但克萊因認(rèn)為，當(dāng)胡塞爾斷言幾何學(xué)必定在時(shí)間中有一個(gè)起源的時(shí)候，他實(shí)際上提供了意向歷史與實(shí)際歷史的一個(gè)必然連接，從這里我們完全可以展開對(duì)于實(shí)際歷史的刻畫。上述三個(gè)步驟結(jié)束的地方正是一門科學(xué)的真實(shí)歷史開始的地方，這一歷史必定不只是關(guān)于進(jìn)步和知識(shí)積累的歷史，它同時(shí)也是關(guān)于失敗的歷史，它可以跟意向歷史完全對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而能夠?qū)崿F(xiàn)重新激活原初基礎(chǔ)的任務(wù)。為了做到這一點(diǎn)，歷史學(xué)不能把它的問(wèn)題限定在找出所謂的“事實(shí)”及其關(guān)聯(lián)，而應(yīng)該把主要問(wèn)題放在揭開意義沉積的全部地層，深入到任何一種科學(xué)以及前科學(xué)概念的真正開端，發(fā)掘出它們的根，最終得以重新激活被掩蔽的原初明見(jiàn)性。在這種理解下，歷史學(xué)不可能跟哲學(xué)分離，歷史學(xué)的合法形式只有一種，那就是人類思想的歷史。[Klein 1940, pp. 154–156]
由以上的概述我們看到，通過(guò)追問(wèn)“歷史”本身的起源，克萊因最終提出了一種完全不同于輝格史，也不同于庫(kù)恩式科學(xué)史的編史綱領(lǐng)，這一綱領(lǐng)主張一切歷史都是思想史，其核心任務(wù)不是去建立“歷史事實(shí)”銜接成的直線式、階梯式、螺旋上升式或其它任何形式的因果鏈條，而是要揭示所有從根本上決定了我們的視域、決定了我們跟世界打交道的方式的那些東西，為此，思想史必須注重對(duì)文本和語(yǔ)詞的考察，因?yàn)樗鼈冋且饬x沉積之處。在克萊因看來(lái)，一門科學(xué)史如果不致力于上述任務(wù)，那就辜負(fù)了它自身的目的，無(wú)論它在其余方面顯得多么有價(jià)值[Klein 1940, p. 161]。《希臘數(shù)學(xué)思想與代數(shù)的起源》正是這種思想史研究的實(shí)踐，克萊因在笛卡爾的“普遍數(shù)學(xué)”那里找到了代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)理科學(xué)的共同根源，從而將現(xiàn)代思想的關(guān)鍵特征揭示為符號(hào)性的抽象，這種抽象方式使得現(xiàn)代人不再像古希臘人那樣按照一種有秩序的分類來(lái)理解整個(gè)世界，世界不再是事物各依其類的有序安排（taxis），而是變成了一種能夠被符號(hào)運(yùn)算把握的抽象結(jié)構(gòu)，被理解為由“事件”構(gòu)成的“合乎定律”的過(guò)程[Klein 1992, p. 185]。只有在這一思想方式下，“幾何空間”的概念才成為可能，它誕生于笛卡爾的“廣延”概念，最終成為牛頓數(shù)學(xué)物理學(xué)的基石[Klein 1992, p. 211]。
但這種思想方式的影響絕不只限于自然領(lǐng)域，克萊因在“現(xiàn)代理性主義”（Modern Rationalism）這篇演講中指出，“普遍數(shù)學(xué)”的符號(hào)性特征決定了整個(gè)現(xiàn)代生活的方向，不但整個(gè)自然世界，就連我們的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)也都變成了一種外在于我們自己的、純粹抽象的主宰性力量，而現(xiàn)代理性主義卻把它們默認(rèn)為對(duì)我們自身的真實(shí)表達(dá)[Klein 1985, pp. 63–64]。前面提到的現(xiàn)代數(shù)理科學(xué)與現(xiàn)代歷史學(xué)的共同根源也在于此，克萊因在另一篇演講“歷史學(xué)與自由技藝”（History and the Liberal Arts）中明確地說(shuō)，維柯（Giambattista Vico）的一切民族必然經(jīng)歷的“理想的永恒歷史”，正是導(dǎo)源于一種笛卡爾式的“普遍數(shù)學(xué)”觀念，這種歷史意識(shí)導(dǎo)致現(xiàn)代人把“歷史趨勢(shì)”當(dāng)成對(duì)自身行動(dòng)的指導(dǎo)，把“歷史性”當(dāng)成自身的本性，這種“歷史性”并不意味著傳統(tǒng)，反而意味著割斷自身與傳統(tǒng)的連接[Klein 1985, pp. 134–136]。
由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史在擺脫輝格傾向方面遇到的困難并非偶然，它恰恰反映出近代以來(lái)的數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)代人思想的重新塑造有多么徹底。近代數(shù)學(xué)至少在雙重的意義上設(shè)定了數(shù)學(xué)史家的視域，一方面使他們將數(shù)學(xué)視為普遍的永恒結(jié)構(gòu)，另一方面使他們將歷史視為理性必然的發(fā)展運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在這樣徹底現(xiàn)代的視域中，數(shù)學(xué)史家無(wú)法反思自身，沒(méi)有能力分辨出數(shù)學(xué)觀念中沉積的現(xiàn)代性，也看不到沉積在更深處的、與古希臘一脈相承的原初意義，從而把運(yùn)算、空間之類的概念看成理所當(dāng)然的，不假思索地用它們?nèi)ブ貥?gòu)古代文獻(xiàn)，因而不可避免地陷入輝格史。要擺脫這種雙重的約束，數(shù)學(xué)史必須首先成為克萊因說(shuō)的那種思想史，只有這樣，它才能揭示自身的根源，從而更好地理解自身的任務(wù)并超越輝格史。
四、數(shù)學(xué)史可以是思想史嗎？
數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)代思想的奠基性作用決定了數(shù)學(xué)史的巨大潛力，假如數(shù)學(xué)史真正實(shí)現(xiàn)為一門思想史，它將能夠幫助現(xiàn)代人理解自身在現(xiàn)代生活諸方面遭遇的困境。而如果把它的任務(wù)限制為理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，那將是一種嚴(yán)重的浪費(fèi)。遺憾的是，盡管今天的數(shù)學(xué)史已經(jīng)嘗試過(guò)多種研究進(jìn)路，呈現(xiàn)出較為豐富的面貌，但仍然缺少思想史的向度?？巳R因的研究雖然受到贊譽(yù)，但并沒(méi)有被數(shù)學(xué)史家真正理解，數(shù)學(xué)史中很難找出另一部像克萊因那樣“回到根源”的著作，在此我們僅能舉出一例，這項(xiàng)研究不是由數(shù)學(xué)史家，而是由一位哲學(xué)家拉克特曼（David R. Lachterman）做出的。
拉克特曼在《幾何學(xué)的倫理：現(xiàn)代性的一種譜系》（The Ethics of Geometry: A Genealogy of Modernity, 1989）中考察幾何作圖在希臘幾何學(xué)與笛卡爾的幾何學(xué)中的意義，揭露了一種難以察覺(jué)的輝格解釋。這種解釋也肇始于措伊滕，將希臘幾何作圖稱為“構(gòu)造”，并理解為幾何對(duì)象的存在性證明。拉克特曼論證說(shuō)，這種解釋是康德式的現(xiàn)代觀念的產(chǎn)物，在整個(gè)古典思想中從未有過(guò)實(shí)存意義上的“存在性”問(wèn)題，更重要的是，在希臘人那里，幾何作圖從未被看成一種構(gòu)造。作為一門知識(shí)（episteme）的希臘幾何學(xué)并不像技藝（techne）那樣同制作、制造（poiesis）結(jié)盟，而是跟實(shí)踐智慧（phronesis）相關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)性體現(xiàn)在教學(xué)活動(dòng)中。
幾何學(xué)作為一種mathesis，即可以學(xué)、可以教的東西，只有在教學(xué)活動(dòng)中才能實(shí)現(xiàn)自身；幾何證明（apodeixis）就其原意而言是一種展示，是教師向?qū)W生展示某物，因此必須在教學(xué)對(duì)話中展開。實(shí)踐智慧的意思是根據(jù)目的明智地選擇恰當(dāng)?shù)氖侄?，幾何學(xué)的實(shí)踐智慧就在于為了教學(xué)對(duì)話能夠順利展開而選擇恰當(dāng)?shù)挠迷~，這在《原本》中有充分體現(xiàn)。歐幾里得敘述作圖步驟時(shí)總是刻意將特定的動(dòng)詞用于特定類型的圖形，這表明圖形的樣子或形式（eidos），即圖形的本性，是先于作圖的，學(xué)生必須在看到作圖結(jié)果之前已經(jīng)對(duì)這種本性有所熟悉，才有可能學(xué)習(xí)幾何學(xué)，幾何教學(xué)就是教師通過(guò)表演作圖去喚起這種潛在的理解，將它實(shí)現(xiàn)為知識(shí)。在這里，幾何作圖的意義只是展示、現(xiàn)出（apodeixis）圖形固有的本性，使之成為可學(xué)的東西，而不是在構(gòu)造出圖形的本質(zhì)或存在[Lachterman 1989, pp. 54–61, pp. 121–122]。教師必須充分熟悉幾何學(xué)的傳統(tǒng)，熟悉過(guò)去和同時(shí)代幾何學(xué)家的工作，才能擁有實(shí)踐智慧，懂得如何恰當(dāng)?shù)財(cái)⑹鲎鲌D。所有這一切在以笛卡爾為代表的近代數(shù)學(xué)家那里都被顛覆了。
在笛卡爾看來(lái)，教師、權(quán)威、傳統(tǒng)、實(shí)踐智慧都是可疑的，最多只具有輔助作用，最根本的是掌握一套“指導(dǎo)心靈的規(guī)則”，憑借自己內(nèi)心的“自然之光”即可獲得全部知識(shí)，于是數(shù)學(xué)變成了一門技藝，數(shù)學(xué)證明變成了個(gè)體心靈的思想運(yùn)動(dòng)[笛卡爾1991，頁(yè)1–14]。相應(yīng)地，幾何作圖變成了一種構(gòu)造，笛卡爾的《幾何》就是企圖用簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)逐次構(gòu)造出一切幾何曲線，從而達(dá)到“解決一切幾何問(wèn)題”的目的，他的曲線不再具有可預(yù)先熟悉的本性，作為本性的形式（eidos）已被抽象的符號(hào)方程取代，方程僅僅是對(duì)曲線的生成過(guò)程的潛在表達(dá)，曲線的個(gè)體性最終要依賴于心靈的構(gòu)造性力量來(lái)實(shí)現(xiàn)[Lachterman 1989, pp. 197–200]。這種構(gòu)造性力量，在拉克特曼看來(lái)，正是現(xiàn)代性的標(biāo)志，它最終在康德的工作中徹底展開，心靈構(gòu)造自身，并通過(guò)構(gòu)造將自身外化，去掌控作為他者的自然，使人成為自身的創(chuàng)造者和為自然立法的主宰[Lachterman 1989, pp. 1–24]。拉克特曼的工作不但展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史作為一門思想史的可能性，也充分顯示了數(shù)學(xué)史所能達(dá)到的思想深度。
除了借鑒克萊因和拉克特曼的工作之外，數(shù)學(xué)史還可以向科學(xué)思想史學(xué)習(xí)。我們不應(yīng)忘記，庫(kù)恩一代科學(xué)史家深受科學(xué)思想史家柯瓦雷（Alexandre Koyré）的影響，正是柯瓦雷的科學(xué)思想史工作促使科學(xué)史家認(rèn)識(shí)到自己的自然態(tài)度，從而轉(zhuǎn)向一種歷史的態(tài)度[雷東迪2010，頁(yè)60]。然而數(shù)學(xué)史卻未能同樣地受益于科學(xué)思想史，一個(gè)可能的原因是，科學(xué)思想史在八十年代似乎已經(jīng)不太流行，尤其是在科學(xué)史越來(lái)越多地引入社會(huì)因素的情況下，柯瓦雷的研究進(jìn)路往往被視為單純的內(nèi)史，甚至被批評(píng)為帶有輝格傾向。但是從根本上說(shuō)，把柯瓦雷的研究稱為內(nèi)史真的合適嗎？假如“內(nèi)”的意思是指學(xué)科的內(nèi)部，有哪一種物理學(xué)的內(nèi)部史會(huì)像柯瓦雷那樣不厭其煩地考察神學(xué)上的爭(zhēng)論呢？假如“內(nèi)”、“外”的劃分是指一切思想的東西都是內(nèi)在于心靈的，而社會(huì)的東西則外在于個(gè)人，那又跟心理主義毫無(wú)二致了。
對(duì)照克萊因的“意向歷史”，我們會(huì)看到，柯瓦雷的研究實(shí)際上與克萊因的主張十分相似，這不僅體現(xiàn)在他對(duì)文本分析的強(qiáng)調(diào)，也體現(xiàn)在他的研究意圖上：《伽利略研究》（études galiléennes）的目的不是確認(rèn)從沖力物理學(xué)到慣性定律的概念演化路線，《從封閉世界到無(wú)限宇宙》（From the Closed World to the Infinite Universe）也不是為了建立從庫(kù)薩的尼古拉到牛頓的觀念承繼鏈條，這兩部著作都是為了揭示科學(xué)革命作為一種思想嬗變的真正意義，將現(xiàn)代科學(xué)的思想根源揭示為秩序宇宙（cosmos）的解體和空間的幾何化。這里的關(guān)鍵不在于柯瓦雷將歷史發(fā)展描述為連續(xù)還是斷裂，而在于他已經(jīng)跳出了“發(fā)展”的概念，致力于克萊因說(shuō)的“揭示根源”的任務(wù)，這已經(jīng)超越了一般意義上的內(nèi)史與外史，超越了輝格史。數(shù)學(xué)史應(yīng)該繼承這一豐富的思想資源?？峦呃缀推渌茖W(xué)思想史家已經(jīng)將科學(xué)革命的意義揭示為質(zhì)的量化、空間的幾何化，數(shù)學(xué)史完全可以延續(xù)他們的工作，去考察數(shù)量、空間等概念在近代早期的起源，揭示其中更深層的意義。
為了從更廣泛的意義上理解思想史，我們還可以對(duì)克萊因的“意向歷史”作一點(diǎn)補(bǔ)充。在他總結(jié)的三個(gè)步驟中，后兩個(gè)步驟放在語(yǔ)言和文字上的理由是，它們使原初的明見(jiàn)性成為可以在不同主體間傳達(dá)的東西。循著這一思路，我們可以不必把問(wèn)題限定在語(yǔ)言和文字上，一切可以稱為媒介的東西，諸如用具、儀器、社會(huì)建制、藝術(shù)、技術(shù)等，也都可以作為傳達(dá)意義構(gòu)成物的中介和意義沉積的場(chǎng)所，從而都可以成為意向歷史分析的內(nèi)容。由此我們可以不必將SSK這樣的研究看成科學(xué)思想史進(jìn)路的反面，而可以看成是科學(xué)思想史的延續(xù)和拓展。在這種擴(kuò)展的視野下，我們將擁有更多的思想資源來(lái)幫助數(shù)學(xué)史成為一門思想史，數(shù)學(xué)史不但可以跟科學(xué)思想史建立良好的互動(dòng)，還可以跟政治思想史乃至技術(shù)史、藝術(shù)史銜接，從技術(shù)哲學(xué)、政治哲學(xué)獲得啟發(fā)。依靠這些思想資源，數(shù)學(xué)史將能夠沿著克萊因開辟的道路更進(jìn)一步地去揭示現(xiàn)代思想的根源，幫助我們更好地認(rèn)識(shí)自己。
“認(rèn)識(shí)你自己”，這是柏拉圖賦予數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一，數(shù)學(xué)是修習(xí)倫理學(xué)和政治學(xué)的必要前奏，一個(gè)人只有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)上升到理念世界，才能充分認(rèn)識(shí)自己，從而成為一個(gè)在城邦政治生活中發(fā)揮應(yīng)有積極作用的公民。中世紀(jì)大學(xué)也繼承了數(shù)學(xué)作為人文教育的傳統(tǒng)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育卻遺棄了這種“認(rèn)識(shí)自身”的任務(wù)，數(shù)學(xué)史應(yīng)該義不容辭地把它接過(guò)來(lái)，這是數(shù)學(xué)史家不可回避的使命。
注釋
[1] 這是英譯本采用的標(biāo)題，最初在Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik上發(fā)表時(shí)的標(biāo)題是“Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra”（希臘計(jì)算術(shù)與代數(shù)的起源）。
[2] 作為數(shù)學(xué)家，范德瓦爾登對(duì)20世紀(jì)抽象代數(shù)領(lǐng)域的發(fā)展有無(wú)可比擬的貢獻(xiàn)，他在數(shù)學(xué)史和科學(xué)史方面的著作有《科學(xué)的覺(jué)醒》（Ontwakende wetenschap, 1950）、《古代文明中的幾何與代數(shù)》（Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, 1983）、《代數(shù)史》（A History of Algebra, 1985）等。韋伊是布爾巴基小組的創(chuàng)始人之一，他在數(shù)論和代數(shù)幾何領(lǐng)域都做了奠基性的工作，在數(shù)學(xué)史方面寫過(guò)一些關(guān)于數(shù)論歷史的著作。
[3] 盡管克萊因反復(fù)提及“胡塞爾的‘意向歷史’”，但實(shí)際上胡塞爾并沒(méi)有用過(guò)“意向歷史”一詞，這個(gè)詞應(yīng)該是克萊因的發(fā)明，它可能源于胡塞爾曾用過(guò)的“沉淀的歷史”這個(gè)提法[Hopkins 2011, p. 25, n. 21]。
[4] 可對(duì)照“幾何學(xué)的起源”中的相關(guān)段落[胡塞爾2001，頁(yè)430–439]。
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