教學(xué)目的 使學(xué)生理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念，熟練掌握對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算，掌握對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的一些物理應(yīng)用.
教學(xué)重點(diǎn) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法.
教學(xué)難點(diǎn) 定理的證明.化曲線積分為定積分計(jì)算.
教學(xué)時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí).
教學(xué)過(guò)程
定義于某一幾何形體上的函數(shù)
，點(diǎn)
．在這幾何形體上的積分記為
，當(dāng)幾何形體為區(qū)間
時(shí)，則有定積分
,點(diǎn)
.當(dāng)幾何形體為平面區(qū)域D時(shí),則有二重積分，點(diǎn).當(dāng)幾何形體為空間立體時(shí)，則有三重積分.如果這幾何形體為(平面或空間)曲線段，則有曲線積分.如果這幾何形體為一曲面，則有曲面積分．這一章就要把積分概念推廣到積分范圍為一段曲線的情形，推廣后的積分稱為曲線積分．
一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)
(1) 分割：我們用上的點(diǎn)把分割成n個(gè)小段(圖1)，取其中一個(gè)小段來(lái)分析．在線密度連續(xù)變化的前提下，只要這小段很短就可以用這小段上任何一點(diǎn)處的線密度代替這小段上其他各點(diǎn)處的線密度．
(2) 近似求和：這小段構(gòu)件的質(zhì)量，其中表示小段曲線弧的長(zhǎng)度．于是整個(gè)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量．
(3) 取極限：用表示個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，為了計(jì)算構(gòu)件中質(zhì)量的精確值．取上式右端之和當(dāng)時(shí)的極限，從而得到．
在研究其他問(wèn)題時(shí)也常常會(huì)遇到這種和式的極限．比如：曲線構(gòu)件對(duì)某個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，曲線構(gòu)件的重心坐標(biāo)等．對(duì)這種和式的極限我們引進(jìn)下面定義.
2．定義 設(shè)為坐標(biāo)面的一條光滑曲線弧，函數(shù)在上有界．在上任意插入一點(diǎn)列把分成個(gè)小弧段.設(shè)第個(gè)小弧段的長(zhǎng)度為，又為第個(gè)小弧段上的任意取定的一點(diǎn)，作乘積，并作和，如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為在曲線弧上的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即
，
其中叫作被積函數(shù)，叫作積分弧段．
在第二目的定理中將說(shuō)明當(dāng)在光滑曲線弧上連續(xù)時(shí)，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是存在的．以后我們總假定在上是連續(xù)的．
根據(jù)這個(gè)定義，曲線構(gòu)件的質(zhì)量當(dāng)線密度在上連續(xù)時(shí)就等于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，即
．
上述定義可以類似推廣到函數(shù)在空間曲線弧上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，即有
．
如果曲線積分是閉曲線，那么函數(shù)在閉曲線上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為．
由對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義，可知有如下性質(zhì)：
性質(zhì)一 設(shè)為常數(shù)，則
．
性質(zhì)二 如果是分段光滑的，則函數(shù)在上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上曲線積分之和．比如可分為兩段光滑曲線(可記為)則
．
性質(zhì)三 在上，若則
，
特別地有
．
二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法
定理 設(shè)在曲線弧上有定義，的參數(shù)方程為
，
其中在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，則曲線積分存在，且
．
分析 定理的結(jié)論表明，曲線積分可以化為對(duì)曲線方程中參數(shù)的定積分．因此，為了完成定理的證明只需通過(guò)變量替換把曲線積分中的極限形式轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的定積分的極限形式，而轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于的變換．
證 假定當(dāng)參數(shù)由變到時(shí)，上的點(diǎn)依點(diǎn)到點(diǎn)的方向描出曲線，在上取一列點(diǎn)
，
它們對(duì)應(yīng)一列單調(diào)增加的參數(shù)值
.
根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義，有
．
設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，即，這里，由于
，
應(yīng)用積分中值定理，有
，
其中于是
.
由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，我們可以把上式中的換成，從而
.
上式右端的和的極限恰好就是函數(shù)在區(qū)間上的定積分，由于這個(gè)函數(shù)在上連續(xù)，所以這個(gè)定積分是存在的，因此上式左端的曲線積分也存在，并且有
. (1)
這個(gè)定理指出，在一定的條件下對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的存在性，并且給出了對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的實(shí)際計(jì)算方法．即在計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分時(shí),只要把依次換為、、，然后以參數(shù)作為積分變量，從到作定積分即可．其中，正是曲線弧的弧微分公式．
注 (1) 這里定積分的下限一定要小于上限，這是因?yàn)樾』《蔚拈L(zhǎng)度總是正的，從而，所以對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分化為定積分時(shí)，下限一定小于上限．
(2) 如果曲線由方程
從而公式(1)成為
(2)
同理，則公式(1)成為
(3)
(3) 公式(1)可以推廣到空間曲線由參數(shù)方程
給出的情形，這時(shí)有公式
(4)
解 由于由方程給出，因此按公式(2)以為積分變量得到
．
分析 (1)這里沒(méi)有明確給出曲線的方程，我們?nèi)A弧的對(duì)稱軸為軸．建立坐標(biāo)系如圖3圓弧的方程為，既可以以為自變量化為形式，也可以以為自變量化為形式，但為了便于計(jì)算，我們選用圓的參數(shù)方程為好．
(2)在坐標(biāo)系中，圓弧對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理定義可知，曲線對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即對(duì)于弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為線密度，因?yàn)轭}設(shè)，所以現(xiàn)在的問(wèn)題化為計(jì)算曲線積分．
解 設(shè)圓弧的參數(shù)方程為(以為參數(shù))
，，．
按式(1)把曲線積分化為定積分計(jì)算時(shí)，不妨先計(jì)算弧微分
于是，
=．
作為比較，讀者可將曲線方程化為或的形式，分別計(jì)算曲線積分.
例3 計(jì)算曲線積分，其中為螺旋線，上對(duì)應(yīng)于從0到的一段弧．
解 曲線是空間曲線，按公式(4)先計(jì)算
=
=，
從而
．
三、總結(jié)
1．以曲線形構(gòu)件的質(zhì)量為物理背景，引入了對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念.
2．通過(guò)定理的證明，重點(diǎn)講述了對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法，其要點(diǎn)是：選取適當(dāng)?shù)那€方程，并計(jì)算曲線弧微分將
依次代入曲線積分表達(dá)式中的，化為以參數(shù)為積分變量的定積分，積分下限為，上限為．
四、課堂練習(xí)題
1．計(jì)算，其中為連接兩點(diǎn)的直線段．
2． 其中為上半圓時(shí)的邊界曲線．
解一
的方程為，，
的方程為，．
解二
的方程為，，，
的方程為，．
作業(yè) 習(xí)題10-1(131頁(yè)) 3(3，4，5，7)，4，5(1)．
提示 平面曲線的質(zhì)心坐標(biāo)，，．
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