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線性代數(shù)的核心問題是解方程。高斯消去法啟示的初等變換，至今仍是解線性方程組和矩陣計(jì)算的基礎(chǔ)。行列式因研究線性方程組解而被引入，帶來矩陣的表示，進(jìn)而聯(lián)系起抽象的代數(shù)。代數(shù)能應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)中，在于它具備解方程的有效手段。解方程的算法從空間的角度來看是坐標(biāo)變換，不僅由此易于得出解的表示，也因此能夠看到定性的結(jié)果。線性方程的解從理論到算法都有著清晰明確的結(jié)果。這導(dǎo)致成功的科學(xué)理論系統(tǒng)基本都是線性的。

9.1 線性方程的定性理論

從X到Y線性空間抽象的線性算子A，作用在向量x，映射得到x的像b，于是有等式Ax=b。這便是線性方程。這式子可以表示任何線性空間中線性算子的作用，一切線性方程都可以表示成這個(gè)等式。從已知的A和b，求x，是解方程。如果這是微分算子的線性組合在函數(shù)空間中的作用，則是線性微分方程；對積分算子則是積分方程；在有限維空間則是代數(shù)線性方程組。它們有著共同的性質(zhì)。

Ax=0，叫做齊次方程，它的解構(gòu)成Y的一個(gè)子空間Ker(A)，即零空間。滿足Ax=b的等式任何一個(gè)向量x₀叫做特解，通解則是特解與零空間中任何一個(gè)向量之和。只有b在算子的像空間Im(A)中，解才存在。如果像空間就是Y的全空間，即映射是滿的，解總是存在的。當(dāng)零空間只有一個(gè)0向量時(shí)，線性方程若有解，則是唯一的。線性空間是無窮維時(shí)，上述的結(jié)論還涉及到收斂的問題，這要求算子是閉的。巴拿赫空間（定義了距離且柯西列都收斂的向量空間）中，線性算子定義域D(A)中的序列(x_n)，當(dāng)x_n→x，Ax_n→b，有x也在D(A)中，且Ax=b，則稱A是閉的。

從代數(shù)的角度來看，從Y映射到X的線性算子A^R和A^L，若AA^R= I，稱A^R是A的右逆；若A^LA=I，稱A^L是A的左逆。如果算子有右逆，從A(A^R b)= b得知，至少存在著一個(gè)解x₀=A^Rb。如果有左逆，若x是方程的解，因?yàn)?/span>x=A^L(Ax)=A^Lb，它則是唯一的解。當(dāng)A^L=A^R時(shí)，依定義是A的逆A^-1，這時(shí)方程的解存在且是唯一的，反之亦然。對此不難有，無窮維的巴拿赫空間（包括了希爾伯特空間）的逆算子定理：一一滿映射閉算子的逆存在，而且是有界的。

9.2有限維線性方程組

在有限維線性空間，線性算子表達(dá)為矩陣A，可以從空間看到更清晰的圖像。

表示成m*n矩陣形式，用算子和向量的符號把方程簡記如下：

從線性算子角度來看，它自然擁有上面抽象線性方程的全部結(jié)論。

將矩陣第j列看成是一個(gè)列向量，記為A_j，即

這意味著解是將方程組右邊的向量b，表示為矩陣中列向量線性組合的系數(shù)。算子A的像空間，即是矩陣A的列空間。線性方程組有解的充要條件是：方程組右邊的向量是矩陣列向量的線性組合，或說它與它們是線性相關(guān)的。齊次方程Ax=0沒有非零解，意味著A的列向量是線性無關(guān)的。顯然，如果非齊次方程有解，方程組右邊的向量，是這些線性無關(guān)的列向量的線性組合，這個(gè)組合的表示是唯一的。如果齊次方程有非零解，線性相關(guān)的列向量則有多種的線性組合，表示同一個(gè)向量。這對應(yīng)著這方程組有唯一解或無數(shù)的解。

再從空間的幾何圖像來看。線性方程組的每個(gè)方程，例如第i個(gè)方程，

這m個(gè)線性方程組的解，是這m個(gè)超平面的交集，它是n維空間里的一個(gè)子集，在極端情況可以是一個(gè)點(diǎn)或空集。也就是說線性方程組可以有無數(shù)個(gè)解，有唯一的解或無解。

9.3 解線性方程組

線性方程具有非常確定的解法和清晰理論結(jié)果。這是它能被廣泛應(yīng)用的原因。我們必須充分地了解這些結(jié)果，才有把握應(yīng)用好計(jì)算機(jī)求解的軟件。

中學(xué)代數(shù)讓我們習(xí)慣于方程的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，其他情況沒有答案。在應(yīng)用中，我們可能有多于或少于未知數(shù)的方程，實(shí)際上即使等量的方程數(shù)，由于在數(shù)學(xué)模型中抽象為屬性的未知數(shù)相關(guān)或相近，方程作為實(shí)驗(yàn)的樣本也可能是線性相關(guān)的相近的，這樣解方程也可能陷入無解、多解或不確定解的情況。我們需要了解從實(shí)用角度怎么處理這些問題，并理解計(jì)算軟件解方程的函數(shù)。下面我們分析n個(gè)未知數(shù)m個(gè)線性方程組Ax=b中，矩陣A的不同情況，然后匯總答案。

A是滿秩方陣。這時(shí)A的逆A^-1存在，方程個(gè)數(shù)m與未知個(gè)數(shù)n相等，且列向量線性無關(guān)，方程的解可以表示為x = A^-1b.

A是列滿秩的長方陣。這是列向量線性無關(guān)，方程個(gè)數(shù)多于未知個(gè)數(shù)的情況，矩陣A的秩r = n < m，這時(shí)方程可能有解也可能無解。我們不能扔掉幾個(gè)方程來求解，那犯了丟棄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去修改計(jì)算的錯(cuò)誤，正確的做法是求誤差最小的解y，

用最小二乘法可以推出正規(guī)方程（normal equation）A^TAy=A^Tb，它的解y是滿足方程式約束的最小誤差向量。在幾何直觀上，這最小誤差解y對應(yīng)著向量b在A列空間投影Pb的解，即Ay = Pb。投影的算子P=A (A^TA)^-1A^T.

對于列滿秩的A，方陣A^TA是滿秩的，A^TA的逆存在。顯然A^L=(A^TA)^-1A^T是A的左逆。若方程右邊向量b就在A的列空間中，方程有解，這時(shí)Pb=b，正規(guī)方程的解y也就是原方程的解x。從左逆的存在，知道x=(A^TA)^-1A^Tb是唯一的解。

A是行滿秩的扁方陣。這是矩陣列向量線性相關(guān)，方程個(gè)數(shù)少于未知個(gè)數(shù)的情況，矩陣A的秩r =m < n，這時(shí)方程有多個(gè)解，解點(diǎn)構(gòu)成n維空間中一個(gè)n-m維的超平面。只要求出一個(gè)特解x₀，通解便是x₀加上A零空間的向量。對于這個(gè)行滿秩的A，方陣AA^T的逆存在，顯然A^R=A^T(AA^T)^-1是A的右逆，x₀= A^T(AA^T)^-1b是方程的一個(gè)特解，若z是A的零空間中的一個(gè)向量，它們的內(nèi)積〈x₀, z〉=〈A^T(AA^T)^-1b, z〉=〈(AA^T)^-1b, Az〉=〈(AA^T)^-1b, 0〉= 0，這說明x₀與零空間正交。而方程的通解是由x₀與零空間中向量之和，這些端點(diǎn)構(gòu)成了解平面。x₀與這解平面垂直，x₀的長度是從原點(diǎn)到這解平面的距離，是這方程中長度最短的解。

A是秩虧缺的。這是矩陣列向量線性相關(guān)，方程個(gè)數(shù)多于線性無關(guān)的未知個(gè)數(shù)情況，矩陣A的秩r小于m和n，這方程可能是無解但一旦有解則有多解。這時(shí)矩陣A沒有左逆或右逆，更不可能有逆。但有一種偽逆（Moore–Penrosepseudoinverse）可以用來給出它的廣義解。讓我們看看這是什么？

秩數(shù)為r的m*n矩陣A，都可以做奇異值分解 A= UΣV^T，這里U是m階正交陣，V是n階正交陣，Σ是主對角線上有從大到小的r個(gè)正數(shù)，其余都是0的m*n矩陣。將Σ主對角線上非零元素取倒數(shù)，構(gòu)造n*m矩陣Σ⁺如下：

令A⁺=VΣ⁺U^T，A⁺稱為A的偽逆。從這偽逆的構(gòu)造中很容易看出它的幾何意義：AA⁺是對A的像空間Im(A)投影算子， A⁺A是對A^T像空間Im(A^T)的投影算子。不難從幾何含義中或從代數(shù)式子中推出，它還有這些性質(zhì)：AA⁺A=A，A⁺AA⁺=A⁺，(AA⁺)^T=AA⁺，(A⁺A)^T=A⁺A.

這個(gè)偽逆A⁺，當(dāng)A是滿秩方陣時(shí)等于它的逆A⁺=A^-1，A是列滿秩時(shí)等于左逆A⁺=A^L，A是行滿秩時(shí)等于右逆A⁺=A^R，所以它是包含了這三種情況廣義的逆。

令y₀=A⁺b，它是方程Ay=AA⁺b的解。因?yàn)?/span>AA⁺是A的像空間投影算子，如果b在A的像空間中，y₀就是Ax=b方程的一個(gè)解，否則它是與之最小誤差的解。如果矩陣A的秩小于它的列數(shù)，方程的解或最小誤差解是多個(gè)的。這個(gè)y₀是從原點(diǎn)到解平面的垂線?？傊?/span>y₀=A⁺b，可以作為各種情況下，滿足線性方程組約束的最好結(jié)果。

上述都是解線性方程組最基本的內(nèi)容。下面的練習(xí)是熟悉、記憶、應(yīng)用這些知識的最好手段。

在MATLAB或Octave中，通過驗(yàn)證下面的例子來熟悉用計(jì)算機(jī)的矩陣計(jì)算。賦值2x4矩陣 A=[1 2 3 4;2 3 4 5]，函數(shù)N=null(A)給出A的零空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基（線性無關(guān)向量組），rank(A)給出矩陣A的秩，size(A)給出A的行數(shù)和列數(shù)。用矩陣乘法A*N，驗(yàn)證N是A的零空間，隨機(jī)給幾個(gè)矩陣通過以上指令，來驗(yàn)證秩-零度定理。

在數(shù)值計(jì)算中的定性結(jié)果與允許的誤差有關(guān)，在一些函數(shù)變量中都有允許誤差的參數(shù)tol，如null(A,tol)和rank(A,tol)，不同的誤差允許值可能得出不同的結(jié)果。設(shè)A2=[1 2 3 4;2 3 4 5;2 4 6 8.01]計(jì)算tol=0.01和 0.001時(shí)，B的秩，零空間。為什么B*N也近似為0矩陣？

在MATLAB和Octave中用于計(jì)算矩陣A的逆的指令函數(shù)是：inv(A)，計(jì)算偽逆是：pinv(A).建議讀者在計(jì)算軟件中，用幾種2x3和3x2行滿秩、列滿秩，秩虧缺的矩陣A及相應(yīng)的b向量，運(yùn)用矩陣的乘法和這些函數(shù)，計(jì)算左逆，右逆，偽逆，投影算子，方程解并驗(yàn)證它們間的關(guān)系。

可以用x=A\b來得到線性方程組A*x=b的一個(gè)解，它等于pinv(A)*b. 驗(yàn)證x與Null(A)中任何向量的和，都是這線性方程組的解。

9.4 微分方程

微分方程與代數(shù)方程的區(qū)別，在于前者算子作用的線性空間是無窮維，后者則是有限維的。微分和積分都是線性算子，微積分的計(jì)算基本都是映射和線性代數(shù)運(yùn)算，只因涉及有無窮個(gè)線性無關(guān)的向量，則要考慮無窮個(gè)線性組合的收斂問題。有這個(gè)理解在心，就不至迷惑于在線性代數(shù)中未見的許多條件，放心從抽象的高度，透視許多繁雜的定理和計(jì)算方法。

在計(jì)算機(jī)時(shí)代之前，人們用函數(shù)族作為無窮維線性空間的基，用級數(shù)或積分來表示解與系數(shù)中的函數(shù)，在算子作用下將微分方程變成代數(shù)方程來求解。這在物理研究中被廣泛地采用。

另一種解法是對無窮維線性空間進(jìn)行線性變換，如拉普拉斯變換，將解微分方程變成在另一個(gè)線性空間中的代數(shù)運(yùn)算。在現(xiàn)代控制理論中，對線性動態(tài)系統(tǒng)的微分方程，應(yīng)用這種解法，已成為分析和計(jì)算的必備的數(shù)學(xué)工具。

在計(jì)算機(jī)時(shí)代，機(jī)器可以直接給出數(shù)值解。應(yīng)用者不必像舊時(shí)代那樣，花費(fèi)大量時(shí)間學(xué)習(xí)各種計(jì)算方法和技巧了。只需要有一些基本的概念。

高階常微分方程，通過定義導(dǎo)數(shù)變量x_k+1(t)=x’_k(t)的方式，把它寫成一階微分方程的向量形式x‘(t) = f(x, t), x(0) = c. 將方程兩邊積分后，有定理證明只要這個(gè)f“足夠光滑”（滿足Lipschitz條件），微分方程存在著唯一的解，整理成線性算子作用的形式是：x(t) =Φ(x,t)x(0). 對于一個(gè)離散的時(shí)間序列，可以寫成遞推的式子，如龍格－庫塔法，來計(jì)算這些向量值。

離散的數(shù)值計(jì)算作為精確解的近似是否有意義，取決于它對初值和參數(shù)變化的穩(wěn)定性。對于線性常微分方程，這個(gè)穩(wěn)定性可以通過對微分方程矩陣的特征值分析容易得知。這在現(xiàn)代控制理論中的課程中有詳細(xì)介紹。

（待續(xù)）