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在處理實驗數(shù)據(jù)的時候，我們常常會遇到個別數(shù)據(jù)偏離預(yù)期或大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)結(jié)果的情況，如果我們把這些數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)放在一起進(jìn)行統(tǒng)計，可能會影響實驗結(jié)果的正確性，如果把這些數(shù)據(jù)簡單地剔除，又可能忽略了重要的實驗信息。這里重要的問題是如何判斷異常數(shù)據(jù)，然后將其剔除。判斷和剔除異常數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理中的一項重要任務(wù)，目前的一些方法還不是十分完善，有待進(jìn)一步研究和探索。

目前人們對異常數(shù)據(jù)的判別與剔除主要采用物理判別法和統(tǒng)計判別法兩種方法。

所謂物理判別法就是根據(jù)人們對客觀事物已有的認(rèn)識，判別由于外界干擾、人為誤差等原因造成實測數(shù)據(jù)偏離正常結(jié)果，在實驗過程中隨時判斷，隨時剔除。

統(tǒng)計判別法是給定一個置信概率，并確定一個置信限，凡超過此限的誤差，就認(rèn)為它不屬于隨機(jī)誤差范圍，將其視為異常數(shù)據(jù)剔除。

第一節(jié)  拉依達(dá)準(zhǔn)則

如果實驗數(shù)據(jù)的總體x是服從正態(tài)分布的，則

式中，μ與σ分別表示正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差。此時，在實驗數(shù)據(jù)中出現(xiàn)大于μ＋3σ或小于μ—3σ數(shù)據(jù)的概率是很小的。因此，根據(jù)上式對于大于μ＋3σ或小于μ—3σ的實驗數(shù)據(jù)作為異常數(shù)據(jù)，予以剔除。

具體計算方法如下：

對于實驗數(shù)據(jù)x₁, x₂, x₃,……，x_n，先計算其均值

（i=1,2,3,…n）

再計算殘差

則標(biāo)準(zhǔn)差

如果某個測量值

則認(rèn)為x_d為異常數(shù)據(jù)，予以剔除。

拉依達(dá)準(zhǔn)則是最常用的異常數(shù)據(jù)判定與剔除準(zhǔn)則。

第二節(jié)  肖維勒準(zhǔn)則

如果某個測量值

則

x_d被視為異常數(shù)據(jù)，予以剔除。上式中，w_n可查表得到。其中，殘差v_d和標(biāo)準(zhǔn)差σ的計算方法同上。

第三節(jié)  格拉布斯準(zhǔn)則

對于服從正態(tài)分布的實驗數(shù)據(jù)：

 x₁, x₂, x₃,……，x_n，

將實驗數(shù)據(jù)按值的大小排成順序統(tǒng)計量：

 x₍₁₎,≤x₍₂₎,≤ x₍₃₎,……≤x_(n)

格拉布斯導(dǎo)出了

    的分布。取置信度α，可得T₀(n, α), 而

    如果

則認(rèn)為x_d為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。

T₀(n, α)的值可查表得到。

T₀(n, α)值表

采用格拉布斯方法判定異常數(shù)據(jù)的過程如下：

1. 選定危險率α

α是一個較小的百分?jǐn)?shù)，例如1%，2.5%，5%，它是采用格拉布斯方法判定異常數(shù)據(jù)出現(xiàn)誤判的幾率。

2. 計算T值

如果x₍₁₎是可疑數(shù)據(jù)，則令

如果x_(n)是可疑數(shù)據(jù)，則令

其中

3. 根據(jù)n及α，查表得到T₀(n, α)值

4. 如果T≥T₀(n, α),則所懷疑的數(shù)據(jù)是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。如果T< T₀(n, α)，則所懷疑的數(shù)據(jù)不是異常數(shù)據(jù)，不能剔除。

采用此法判異常數(shù)據(jù)產(chǎn)生誤判的幾率為α。

第四節(jié)  狄克遜準(zhǔn)則

狄克遜準(zhǔn)則是通過極差比判定和剔除異常數(shù)據(jù)。與一般比較簡單極差的方法不同，該準(zhǔn)則為了提高判斷效率，對不同的實驗量測定數(shù)應(yīng)用不同的極差比進(jìn)行計算。該準(zhǔn)則認(rèn)為異常數(shù)據(jù)應(yīng)該是最大數(shù)據(jù)和最小數(shù)據(jù)，因此該其基本方法是將數(shù)據(jù)按大小排隊，檢驗最大數(shù)據(jù)和最小數(shù)據(jù)是否異常數(shù)據(jù)。具體做法如下：

將實驗數(shù)據(jù)x_i按值的大小排成順序統(tǒng)計量

x₍₁₎,≤x₍₂₎,≤ x₍₃₎,……≤x_(n)

按表1-3-1計算f₀值，然后根據(jù)表1-3-1將f₀與f_(n,a)進(jìn)行比較，如果

 f₀ > f_(n,a)

    則判定該數(shù)據(jù)為異常數(shù)據(jù)，予以剔除。

表1-3-1   狄克遜系數(shù)f_(n,a)與f₀的計算公式

第五節(jié)  t檢驗準(zhǔn)則（羅馬諾夫斯基準(zhǔn)則）

t檢驗準(zhǔn)則與狄克遜準(zhǔn)則相似，也是檢驗最大實驗數(shù)據(jù)和最小實驗數(shù)據(jù)。首先將實驗數(shù)據(jù)按大小排列

 x₍₁₎,≤x₍₂₎,≤ x₍₃₎,……≤x_(n)

對最小數(shù)據(jù)和最大數(shù)據(jù)分別進(jìn)行檢驗，如果

    或

則x₍₁₎或x_(n)是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。

式中

t檢驗中的K(n,α)可查表得到。

第六節(jié)  遺失數(shù)據(jù)的彌補(bǔ)

在一些情況下，每個實驗點都是經(jīng)過精心設(shè)計選擇的，此時每個實驗數(shù)據(jù)都是十分重要的。但是，如果不慎遺失了某些實驗數(shù)據(jù)，或某些實驗操作失誤缺少了某些實驗數(shù)據(jù)，該如何處理呢？當(dāng)然最好的辦法是補(bǔ)做這些實驗。但是，本節(jié)要介紹的是一種特殊情況——實驗數(shù)據(jù)遺失，而又無法補(bǔ)做實驗時的處理方法，也就是如何用數(shù)學(xué)的方法來彌補(bǔ)遺失的實驗數(shù)據(jù)。

這里方法主要有兩種：

一、當(dāng)實驗數(shù)據(jù)有重復(fù)，并且每一批實驗至少有一個數(shù)據(jù)沒有遺失時，可以用未遺失的數(shù)據(jù)的平均值代替遺失的數(shù)據(jù)。

表1-3-2所示為一組實驗數(shù)據(jù)，其中a和b為遺失的數(shù)據(jù)，現(xiàn)在我們來彌補(bǔ)這兩個數(shù)據(jù)：

表1-3-2  有重復(fù)實驗數(shù)據(jù)的彌補(bǔ)

這樣我們就得到了遺失數(shù)據(jù)的估計值。

二、如果沒有重復(fù) 數(shù)據(jù)得實驗，則用下法彌補(bǔ)：

表1-3-3所示為一組實驗數(shù)據(jù)，其中a和b為遺失的數(shù)據(jù)。與表1-3-2不同的是，這組數(shù)據(jù)沒有重復(fù)數(shù)據(jù)。現(xiàn)在我們來彌補(bǔ)這兩個數(shù)據(jù)：

表1-3-3  沒有重復(fù)實驗數(shù)據(jù)的彌補(bǔ)

令

則總離差平方和

L_T=3.5²＋2.3²＋2.0²＋a²+2.0²+1.9²+2.0²+1.5²+1.2²+1.4²+b²+0.3²-c

組間離差平方和

L_A=[7.8²+(3.9+a)²+4.7²+(1.7+b)²]/3 - c

L_B=[(6.9+a)²+(5.8+b)²+5.4²]/4 – c

剩余離差平方和

L_e= L_T- L_A- L_B

合理的a和b值應(yīng)使剩余離差平方和L_e最小，因此，我們的任務(wù)是求得L_e最小時的a、b值。為此。對L_e求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零：

可求得：

a=2.95

b=0.53