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（2013·莆田）如圖，直線l：y=x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱．反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上且位于C點(diǎn)左側(cè)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線分別交直線l于M、N兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求AN·BM的值．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．

專題：計(jì)算題．

分析：（1）連接AC，BC，由題意得：四邊形AOBC為正方形，對(duì)于一次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出對(duì)于y與x的值，確定出OA與OB的值，進(jìn)而C的坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）過M作ME⊥y軸，作ND⊥x軸，根據(jù)P在反比例解析式上，設(shè)出P坐標(biāo)得出ND的長(zhǎng)，根據(jù)三角形AND為等腰直角三角形表示出AN與BM的長(zhǎng)，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）連接AC，BC，
∵y=x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱．
∴OA=OB=1，
∴OC與AB互相平分，且垂直，相等，
∴四邊形AOBC為正方形，
對(duì)于一次函數(shù)y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=-1，
∴OA=OB=1，
∴C（-1，1），
將C（-1，1）代入y=

k

x

得：1=

k

1

，即k=-1，
則反比例函數(shù)解析式為y=-

1

x

；

（2）過M作ME⊥y軸，作ND⊥x軸，
設(shè)P（a，-

1

a

），可得ND=-

1

a

，ME=|a|=-a，
∵△AND和△BME為等腰直角三角形，
∴AN=

2

×（-

1

a

）=-

2

a

，BM=-

2

a，
則AN·BM=-

2

a

·（-

2

a）=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．

（2013·莆田）如圖，直線l：y=x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱．反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上且位于C點(diǎn)左側(cè)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線分別交直線l于M、N兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求AN·BM的值．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．

專題：計(jì)算題．

分析：（1）連接AC，BC，由題意得：四邊形AOBC為正方形，對(duì)于一次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出對(duì)于y與x的值，確定出OA與OB的值，進(jìn)而C的坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）過M作ME⊥y軸，作ND⊥x軸，根據(jù)P在反比例解析式上，設(shè)出P坐標(biāo)得出ND的長(zhǎng)，根據(jù)三角形AND為等腰直角三角形表示出AN與BM的長(zhǎng)，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）連接AC，BC，
∵y=x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱．
∴OA=OB=1，
∴OC與AB互相平分，且垂直，相等，
∴四邊形AOBC為正方形，
對(duì)于一次函數(shù)y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=-1，
∴OA=OB=1，
∴C（-1，1），
將C（-1，1）代入y=

k

x

得：1=

k

1

，即k=-1，
則反比例函數(shù)解析式為y=-

1

x

；

（2）過M作ME⊥y軸，作ND⊥x軸，
設(shè)P（a，-

1

a

），可得ND=-

1

a

，ME=|a|=-a，
∵△AND和△BME為等腰直角三角形，
∴AN=

2

×（-

1

a

）=-

2

a

，BM=-

2

a，
則AN·BM=-

2

a

·（-

2

a）=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．

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