擴展資料
再述“三角形”一章的編寫思路
李慧君
三角形是最常見的幾何圖形之一，在日常生活和生產(chǎn)中到處可見。在幾何里，三角形是多邊形中最簡單的一種，任何復(fù)雜的多邊形的問題，都可以通過分割，分解成若干個三角形，運用三角形的知識來解決；三角形的許多重要性質(zhì)，是進一步研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)，根據(jù)這些性質(zhì)，可以推出許多有價值的幾何結(jié)論，所以三角形這一章知識，是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識。另外，在本套教科書中，三角形這一章的教學(xué)負擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的任務(wù)，這種能力是學(xué)生必須具備的基本能力，而且在本章學(xué)習(xí)中獲得的這種能力的程度，直接影響后續(xù)課程學(xué)習(xí)的質(zhì)量。所以，三角形一章，對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和工作，對幾何后幾章的教學(xué)都是非常重要的，它是初中幾何教學(xué)的重點。為了幫助廣大教師理解和掌握本章教材，下面介紹編寫時的一些想法和做法。
一、 內(nèi)容和要求
?。ㄒ唬?本章的內(nèi)容和重點、難點
本章的主要內(nèi)容包括：一般三角形的概念、性質(zhì)；全等三角形的定義、性質(zhì)、判定；等腰三角形的性質(zhì)、判定及直角三角形的性質(zhì)。另外，利用全等三角形的性質(zhì)推證了角平分線、線段的垂直平分線、對稱圖形的重要性質(zhì)，并介紹了尺規(guī)作圖的簡單知識。
在這些內(nèi)容中，三角形的性質(zhì)，包括等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)是這一章的重點，它們在理論上和實踐中都占有重要地位，這都要求學(xué)生切實掌握。全等三角形的性質(zhì)與判定，是證明線段相等和角相等的重要工具，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的必要基礎(chǔ)，這一部分也是本章的重點。
掌握幾何里的推理論證，需要有一個過程，尤其是當(dāng)學(xué)的定理逐漸增多以后，要證明某個結(jié)論，常常有多種途徑可供選擇。如何根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)亩ɡ碜鳛橥评淼囊罁?jù)進行證明，靈活性較強，這是本章教學(xué)的難點。為解決這個難點，教科書一方面做了精心安排，力求使推理論證的訓(xùn)練由淺入深，由簡到繁，循序漸進；另一方面要在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的實際提出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)要求，不要盲目加大題目的難度，同時注意及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困難，加強個別輔導(dǎo)，以使學(xué)生的困難得以及時解決，以免影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。
?。ǘ?教學(xué)要求
本章中出現(xiàn)的概念、性質(zhì)、方法等，在教科書中所處的地位和所起的作用是不同的。教科書根據(jù)不同情況，分別提出了不同的要求。
1. 理解三角形，三角形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、角平分線、中線和高的概念；了解全等、全等三角形的概念；結(jié)合直角三角形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，理解余角的概念，了解逆命題、逆定理的概念；了解軸對稱和軸對稱圖形的概念。
2. 理解一般三角形邊之間的關(guān)系，掌握三角形內(nèi)角和定理；掌握全等三角形的性質(zhì)和判定方法，了解三角形的穩(wěn)定性；掌握等腰三角形和等邊三角形的幾個重要性質(zhì)，掌握直角三角形全等的判定方法，掌握勾股定理；掌握角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理；了解軸對稱的簡單性質(zhì)。
3. 初步掌握根據(jù)命題的題設(shè)和有關(guān)定理、公理、定理推證命題的結(jié)論；會按角的大小和邊長的關(guān)系對三角形進行分類；能用各種工具畫出學(xué)過的幾何圖形，能利用尺規(guī)完成一些基本作圖，了解作圖的步驟，會寫簡單尺規(guī)作圖題的已知、求作和作法。
4. 能運用學(xué)過的定理解決簡單的證明題、計算題和畫圖的問題。
5. 結(jié)合知識教學(xué)，使學(xué)生進一步了解運動、變換思想，并通過觀察、變換圖形獲得美的感受
二、 本章編寫的特點
?。ㄒ唬?降低理論深度，控制教學(xué)要求
1. 進一步擴大了公理。把原教科書中判定兩個三角形全等的“邊邊邊”定理和判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理，作為公理處理。通過畫圖、實驗，使學(xué)生確信它們是正確的，直觀承認它們，在這個基礎(chǔ)上，把重點放在運用這些公理去推證其他圖形的性質(zhì)上。
2. 教學(xué)大綱中關(guān)于逆命題、逆定理的概念的教學(xué)要求不高，教科書重點介紹了題設(shè)和結(jié)論最簡單的命題的逆命題的構(gòu)造方法。等腰三角形性質(zhì)定理的推論，即等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一，它的逆命題是一個真命題，它也可以作為判定等腰三角形的這個判定定理。有些教師為了證明某些題目的需要，在教學(xué)中補充了這個定理，這是不可取的。
3. 直角三角形的性質(zhì)，教科書沒有集中編排。在三角形內(nèi)角和定理之后，作為推論，給出了直角三角形兩個銳角互余的性質(zhì)；在等腰三角形的性質(zhì)和判定以后，給出了“直角三角形中，30o角所對的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì)，它的逆定理刪掉了；“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這條性質(zhì)移到了“四邊形”一章。這樣處理有兩點想法。一是簡化內(nèi)容，突出重點，突出直角三角形重要的內(nèi)容——勾股定理；二是考慮它們在相關(guān)知識的教學(xué)中，證明起來更容易，可節(jié)省教學(xué)時間。例如“直角三角形中，30o角所對的邊等于斜邊的一半”，作為等腰三角形判定定理的推論，學(xué)生很容易理解，而且在學(xué)過銳角三角函數(shù)以后，對于這個性質(zhì)的應(yīng)用會更容易些。
4. 控制習(xí)題的難度。這次編寫時，將原教科書中較難的題，或移至B組題中，或刪掉了，另外增加了數(shù)量較多的基本練習(xí)題，以保證學(xué)生達到大綱規(guī)定的基本要求。
?。ǘ?精心設(shè)計推理訓(xùn)練的步驟和進程
推理論證的訓(xùn)練，需要循序漸進，又要與教學(xué)內(nèi)容配合。結(jié)合本章各大章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，教科書在不同階段安排了不同的訓(xùn)練內(nèi)容，提出了不同階段的要求。
在第一冊里，學(xué)生已學(xué)過一些推理知識，會做一兩步的推理，但沒有要求學(xué)生獨立完成幾何命題的證明。第二冊本應(yīng)從第一大節(jié)開始進行完整的證明訓(xùn)練。但這一大節(jié)兩個定理的證明都不適合作為“證明”的范例使用，所以教科書暫不安排“證明”訓(xùn)練，把訓(xùn)練的重點放在用代數(shù)方法解幾何題上，在代數(shù)法解題過程中，強調(diào)說明，為下一大節(jié)訓(xùn)練做準(zhǔn)備。
在全等三角形這一大節(jié)中，由于運用公理證明兩個三角形全等，以及進一步證明線段或角相等的推理過程簡化了，證明過程的書寫容易規(guī)范化，便于學(xué)生模仿，所以教科書把訓(xùn)練學(xué)生學(xué)習(xí)書寫證明過程的任務(wù)放在這里。開始時，要求得死板些，嚴(yán)格按書上例題的樣子寫，待學(xué)生入門以后，在后面各大節(jié)中逐步放開，允許適當(dāng)?shù)撵`活或簡化。
第三大節(jié)重點訓(xùn)練學(xué)生掌握作圖常用的語言，這對于今后復(fù)雜證明過程的表述非常有幫助。在前面已有了一些知識積累的情況下（包括第一冊中訓(xùn)練方面的積累），要求學(xué)生會寫簡單作圖題中的“作法”，同時掌握尺規(guī)作圖的實際操作方法。
第四大節(jié)里重點訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會分析證題思路。因為在這個階段，學(xué)過的定理已經(jīng)比較多了，學(xué)生在做證明題時，往往不知道選擇哪些定理作為根據(jù)，同時證明過程的表達又比較靈活，學(xué)生普遍會感到困難。這時，要教給學(xué)生用“逆推法”去尋找證明的途徑，然后按照相反的思路寫出證明過程。在這一大節(jié)里，還要求學(xué)生基本上掌握用文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}的證明。
第五大節(jié)中勾股定理的證明使用了拼圖法，并與代數(shù)知識緊密結(jié)合，書寫表達更為靈活，所以這一節(jié)對學(xué)生的要求又有提高。
這樣的安排是從大多數(shù)學(xué)生的認知水平和規(guī)律出發(fā)的，但學(xué)生的情況是有差別的，教學(xué)中可以根據(jù)情況靈活處理。要注意，不論怎樣處理，都應(yīng)遵循循序漸進的原則，不能不顧學(xué)生的實際，隨意提高要求，或從升學(xué)的要求考慮，加快進度。
（三） 注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
按照全套教材的設(shè)計思想，在本章的編寫中，注意進行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。除有計劃地安排邏輯推理方法的訓(xùn)練外，還結(jié)合不同內(nèi)容的特點，對學(xué)生進行了以下一些數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練。
1. 化歸思想。這是一個重要的科學(xué)思想，在數(shù)學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。本章結(jié)合對證明思路的分析，使學(xué)生會通過將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)達化為簡單問題，從而找到解決問題的途徑。
2. 結(jié)合三角形分類的教學(xué)，使學(xué)生進一步明確分類時要用同一個標(biāo)準(zhǔn)，將被分類的集合中的元素不重不漏地分在不同的子集中，分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，會得到不同的子集。
3. 在運用三角形內(nèi)角和定理、勾股定理解決證明題和計算題時，向?qū)W生滲透形數(shù)結(jié)合的思想，增強學(xué)生綜合運用形和數(shù)的知識來解決問題的意識。
4. 結(jié)合圖形全等和對稱的教學(xué)，滲透運動變換思想，使學(xué)生逐步學(xué)會從變換的角度認識幾何圖形。
三、 教學(xué)中要注意的問題
?。ㄒ唬?及時總結(jié)復(fù)習(xí)，是鞏固知識和加深理解知識的重要方法
三角形一章內(nèi)容多，課時也多，教學(xué)時間長，全章內(nèi)容要講到二年級第二個學(xué)期的第二周末，這就給本章的復(fù)習(xí)和小結(jié)提出了新的課題。為解決這個問題，教科書在每一大節(jié)最后一節(jié)課都盡量安排以例題教學(xué)為主的內(nèi)容，并且在可能的情況下，選擇帶有綜合性的題目，希望通過例題的教學(xué)，或在例題教學(xué)前，對所學(xué)知識進行復(fù)習(xí)和小結(jié)。在教學(xué)中一方面要充分利用教科書中的例題，另一方面根據(jù)實際情況布置學(xué)生自我小結(jié)，使學(xué)過的知識得到階段性的鞏固和提高。
在全章教學(xué)結(jié)束時，可以按教科書中小結(jié)與復(fù)習(xí)的做法進行知識總結(jié)，也可以從另外的角度，按問題的性質(zhì)把學(xué)過的知識串聯(lián)起來，這樣會使學(xué)生靈活地掌握知識。
（二） 循序漸進，因材施教
1. 教科書在第一冊中滲透了推理論證思想，可以做一兩步推理。但學(xué)生的程度有差別，在本章教學(xué)前要摸清學(xué)生的情況，以便根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)，有針對性地安排本章訓(xùn)練。
2. 教科書在推理訓(xùn)練方面做了較細致的安排，目的是使訓(xùn)練能做到循序漸進漸進，教學(xué)時要注意兩點：一是要加強作業(yè)的批改，尤其是開始階段，學(xué)生往往心里明白，不會有條有理地表達，不能按邏輯順序?qū)懗鰜?，為此要及時指導(dǎo)，特別是個別輔導(dǎo)，開始階段投入的時間、精力多些，后面會順利得多；二是學(xué)過等腰三角形一大節(jié)后，證明題的難度增加，要鼓勵學(xué)生多嘗試，不要怕碰釘子，讓他們在不斷的試控中積累經(jīng)驗，千萬不要逢題必講，代替學(xué)生思考。
3. 學(xué)生的接受力有差異，興趣愛好也不同，一定要注意因材施教。對大多數(shù)學(xué)生要保證他們達到基本要求；對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以布置做B組題或其他有一定難度的題目，保護他們學(xué)習(xí)的積極性。
（三） 注意與代數(shù)的配合
由于幾何教學(xué)提前到初一下學(xué)期開始，這就使勾股定理的教學(xué)與代數(shù)中二進制次根式的教學(xué)之間的銜接出現(xiàn)了新問題。教科書根據(jù)這一情況，調(diào)整了勾股定理一大節(jié)的教學(xué)要求，即在學(xué)習(xí)勾股定理及其逆定理的開始階段，題中不涉及二次根式的問題，只出現(xiàn)求具體數(shù)的平方根，在學(xué)過代數(shù)二次根式的內(nèi)容以后，也就是在第三章的小結(jié)與復(fù)習(xí)階段，在復(fù)習(xí)題中再出現(xiàn)涉及二次根式知識的題目。由于各學(xué)校教學(xué)的實際情況不同，可能會出現(xiàn)代數(shù)課的進度拖后的情況，給勾股定理的教學(xué)帶來一些困難。為解決這個問題，可以適當(dāng)調(diào)整代數(shù)與幾何的教學(xué)進度，如果代數(shù)進度慢，可在短期內(nèi)增加代數(shù)課時，然后再增加幾何課時，以便在總課時數(shù)不變的情況下解決銜接問題。
?。ㄋ模?控制教學(xué)要求
教學(xué)大綱對初中幾何教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求都做了調(diào)整，降低了對學(xué)生用綜合法證明幾何命題的要求。教科書按照這個精神，注意控制題目的難度。希望教學(xué)中把握好教學(xué)要求，不要將教科書中已刪掉的題目再補回來，更不要為證明一些難題而把刪去的定理教給學(xué)生，增加學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)。
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