從《數(shù)學課程標準》看，關于數(shù)的內(nèi)容，第三學段主要學習有理數(shù)和實數(shù)，它們是“數(shù)與代數(shù)”領域的重要內(nèi)容．對于有理數(shù)和實數(shù)，本套教科書安排了3章內(nèi)容，分別是7年級上冊第1章“有理數(shù)”，7年級下冊第6章“實數(shù)”和8年級下冊第16章“二次根式”．本章是在學生學習了“有理數(shù)”的基礎上認識實數(shù)，對于實數(shù)的學習，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運算，進一步認識實數(shù)的運算．
本章首先介紹平方根與立方根的概念，并通過開平方、開立方運算認識一些不同于有理數(shù)的數(shù)，在此基礎上引入無理數(shù)，把數(shù)的范圍擴充到實數(shù)；類比有理數(shù)，引入實數(shù)在數(shù)軸上的表示和實數(shù)的運算；并用這些知識解決一些實際問題．通過本章的學習，學生對數(shù)的認識就由有理數(shù)范圍擴大到實數(shù)范圍．本章之前的數(shù)學內(nèi)容都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的，學習本章之后，將在實數(shù)范圍內(nèi)研究問題．雖然本章的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學數(shù)學中占有重要地位，本章內(nèi)容不僅是后續(xù)學習二次根式、一元二次方程以及銳角三角函數(shù)等知識的基礎，也是學習高中數(shù)學中函數(shù)、不等式以及解析幾何等知識的基礎．
本章共安排三個小節(jié)和兩個選學內(nèi)容，教學時間大約需要8課時，具體安排如下（僅供參考）：
13．1 平方根 3課時
13．2 立方根 2課時
13．3 實 數(shù) 2課時
數(shù)學活動
小 結(jié) 1課時
一、教科書內(nèi)容和本章學習目標
（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖
本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示：
（二）教科書內(nèi)容
本章主要包括算術平方根、平方根、立方根，以及實數(shù)的有關概念、運算以及實數(shù)在數(shù)軸上的表示等內(nèi)容．本章的重點是算術平方根和平方根的概念和求法，難點是平方根和實數(shù)的概念．
教科書的第一節(jié)是平方根，本節(jié)先研究算術平方根，再研究平方根．教科書首先創(chuàng)設一個問題情景，從中抽象出的數(shù)學問題為：已知正方形的面積求其邊長．這是一個典型的求算術平方根的問題，它與學生熟悉的已知正方形的邊長求其面積是一個互逆的過程．通過對這類問題的探討，引出算術平方根的概念，給出其符號表示，這時教科書所涉及到的被開方數(shù)本質(zhì)上都是完全平方數(shù)．接著，教科書設置一個“探究”欄目，讓學生嘗試能否將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，進而求出這個大正方形的邊長．這也是一個已知正方形的面積求它的邊長的問題，由于這個大正方形的面積為2，根據(jù)前面學過的算術平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是
，這樣教科書就引進了用根號形式表示的無理數(shù)（但暫時不出現(xiàn)無理數(shù)的概念），這是教科書第一次出現(xiàn)這樣的數(shù)．另外，通過學生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形的活動，也使學生感受到無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，是一種不同于有理數(shù)的數(shù)．出現(xiàn)
后，一個很自然的問題是，
到底多大．教科書采用用有理數(shù)夾逼的方法，利用不足近似值和過剩近似值來估計
的大小，通過一步一步的估計，得到
的越來越精確的近似值，進而指出
是一個無限不循環(huán)小數(shù)的事實，并進一步指出
，
，
等也是無限不循環(huán)小數(shù)，這就為后面認識無理數(shù)打下基礎．會使用計算器求數(shù)的算術平方根是本章的一個教學要求，教科書通過一個例題，介紹了使用計算器求算術平方根的方法．用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小，也是學習本章應該注意的一個問題，教科書結(jié)合一個實際例子（例3）介紹了用有理數(shù)估計無理數(shù)的常用方法．至此，教科書討論了有關算術平方根的內(nèi)容，包括算術平方根的概念、求法，無限不循環(huán)小數(shù)以及用有理數(shù)估計無理數(shù)等內(nèi)容．接著，教科書設置一個“思考”欄目，對平方根展開討論．在這個“思考”欄目中，要求學生算出平方等于9的數(shù)，通過對這個問題的探討，找到解決問題的方法，利用這種方法進一步求出平方等于1，16，36…的數(shù)，由此抽象概括出平方根的概念和開平方運算．開平方運算與平方運算是互逆運算，教科書通過舉例分析了這兩種運算的互逆過程，并用圖示進一步說明．最后，教科書結(jié)合具體例子，通過具體計算一些數(shù)的平方根，探討數(shù)的平方根的特征，歸納出“正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負數(shù)沒有平方根”．
教科書的第二節(jié)是立方根．對于立方根，教科書采用了與討論平方根類似的方法進行討論．首先設置一個問題情景，從中抽象出的數(shù)學問題是：已知立方體的體積求它的邊長，這是一個典型的求數(shù)的立方根的問題．教科書從這個典型問題出發(fā)，引出立方根的概念和開立方運算．接著，教科書指出，和平方運算與開平方運算互為逆運算一樣，立方運算與開立方運算也互逆，并通過一個“探究”欄目，運用這種互逆關系求一些正數(shù)、負數(shù)和0的立方根．在此基礎上歸納出數(shù)的立方根的特征：“正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0”．最后，教科書介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質(zhì)（
）．
學習了平方根、立方根以及開方運算后，教科書在第三節(jié)安排了實數(shù)．本節(jié)首先設置一個“探究”攔目，要求學生將一些有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式，并分析這些小數(shù)的共同特點，進而歸納出有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，然后直接指出反過來的結(jié)論也成立，即任何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，這樣教科書就將有理數(shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)一起來．在此基礎上指出，像
，
，
等只能化成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)就是無理數(shù)，從而引出無理數(shù)的概念．教科書采用這種與有理數(shù)對照的方法引出無理數(shù)，有利于揭示有理數(shù)和無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，也有助于學生理解“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)”這個構(gòu)造性定義．為了是學生全面了解實數(shù)的概念，教科書根據(jù)不同的標準對實數(shù)進行分類，揭示出實數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)．隨著無理數(shù)的引入，實數(shù)概念的出現(xiàn)，數(shù)的范圍由有理數(shù)擴充到實數(shù)，在這個擴充過程中，既體現(xiàn)了概念、運算等的一致性，又體現(xiàn)了它們的發(fā)展變化．教科書通過幾方面的例子說明了這種一致性和發(fā)展變化．首先，教科書通過探究在數(shù)軸上畫出表示
和
的點，說明了無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示，并指出當數(shù)由有理數(shù)擴充到實數(shù)后，直線上的點與實數(shù)就是一一對應的；接著，教科書通過設置思考問題，讓學生體會，在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的一些概念（如絕對值、相反數(shù)等）在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；最后，教科書結(jié)合具體例子，指出有理數(shù)的運算（如加、減、乘、除、乘方運算等），以及運算律、運算性質(zhì)（如交換律、分配律、結(jié)合律等）在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，并且可以進行新的運算（如正數(shù)和0可以進行開平方運算、任何一個實數(shù)可以進行開立方運算）等．
與大綱教材相比，本章內(nèi)容在原教科書“數(shù)的開方”一章的基礎上，適當增加了有關實數(shù)運算的內(nèi)容（實數(shù)的運算在本套書“二次根式”一章繼續(xù)學習）；從內(nèi)容安排上看，改變原教科書先講平方根，將算術平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實際問題出發(fā)，先講算術平方根，再講平方根，加強了與實際的聯(lián)系；在教學目標方面，強調(diào)所有學生都應會使用計算器進行開平方、開立方運算，加強了對估算的要求等．
（三）本章學習目標
1．了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的算術平方根、平方根、立方根．
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應的負整數(shù)）的立方根，會用計算器求平方根和立方根．
3．了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值．
4．能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．
二、編寫時考慮的幾個問題
（一）加強與實際的聯(lián)系
本章內(nèi)容與實際的聯(lián)系是非常密切的．例如，無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的一種數(shù)，開平方運算和開立方運算也是實際中經(jīng)常用到的兩種運算，用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到等等．因此，本章內(nèi)容在編寫時注意聯(lián)系實際，對于一些重要的概念和運算緊密結(jié)合實際生活展開．例如，算術平方根是從已知正方形的面積求它邊長、立方根是從已知立方體的體積求它邊長等典型的實際問題引出的；再如，用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小也是緊密結(jié)合實際問題展開的（6.1 節(jié)的探究1,2和例3）．將本章內(nèi)容與實際緊密聯(lián)系起來，可以使學生在解決實際問題的過程中，認識實數(shù)的有關概念和運算．
（二）加強知識間的縱向聯(lián)系，突出類比的作用
本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領域，有關數(shù)的內(nèi)容，學生在７年級上冊已經(jīng)系統(tǒng)地學過有理數(shù)，對有理數(shù)的概念和運算等有了較深刻的認識，本章是在有理數(shù)的基礎上學習實數(shù)的初步知識，本章很多內(nèi)容是有理數(shù)相關內(nèi)容的延續(xù)和推廣，因此，編寫時，注意加強知識間的相互聯(lián)系，突出類比的作用，使學生更好地體會數(shù)的擴充過程中表現(xiàn)出來的概念、運算等的一致性和發(fā)展變化．例如，類比有理數(shù)，引入實數(shù)的絕對值和相反數(shù)的概念，實數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應關系；平方與開平方、立方與開立方的互為逆運算關系等都是在有理數(shù)的基礎上展開的．另外，本章前兩節(jié) “平方根”“立方根”在內(nèi)容和展開方式上是基本平行的，因此，編寫“立方根”這節(jié)時，充分利用了類比的方法．例如，類比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念，類比開平方運算給出開立方運算，類比平方與開平方運算的互逆關系研究立方與開立方運算的互逆關系等．這樣的編寫方法，有助于加強知識間的相互聯(lián)系，通過類比已學的知識學習新知識，使學生的學習形成正遷移．
（三）留給學生探索交流的空間
根據(jù)本章內(nèi)容的特點，對于一些重要的概念和結(jié)論，編寫時注意了讓學生通過觀察、思考、探究等活動歸納得出結(jié)論的過程．例如，對于平方根概念的引入，教科書首先通過一個問題情景，引出已知正方形的面積求邊長的問題，接著又讓學生通過填表的方式，計算幾個不同面積的正方形的邊長，使學生感受到這些問題與以前學過的已知正方形的邊長求面積的問題是一個相反的過程，并由此指出，這些問題抽象成數(shù)學問題就是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題，并在此基礎上給出算術平方根的概念，這樣就讓學生通過一些具體活動，在對算術平方根一定的感性認識的基礎上歸納給出這個概念．再比如，在討論數(shù)的立方根的特征時，教材首先設置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學生計算一些具體的正數(shù)、負數(shù)和0的立方根，尋找它們各自的特點，通過學生討論交流等活動，歸納得出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)”的結(jié)論，這樣就讓學生通過探究活動經(jīng)歷了一個由特殊到一般的認識過程，在探究活動的過程中發(fā)展思維能力，有效改變學生的學習方式．
三、對教學的幾個建議
（一）加強數(shù)學思想方法的引導與滲透
本章類比有理數(shù)，引入實數(shù)的相反數(shù)、絕對值等概念，以及實數(shù)的運算和運算律，教學時應注意引導學生體會類比這種研究方法的作用．實數(shù)與數(shù)軸上點是一一對應的，因此，可以利用數(shù)軸將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來，這不僅對理解實數(shù)的有關概念及運算很有幫助，而且對后續(xù)學習數(shù)學乃至研究數(shù)學都將產(chǎn)生深遠影響，教學時，應注意讓學生初步認識“數(shù)形結(jié)合”的思想方法的作用．
（二）把握好教學要求
與大綱教材和以往的課標教材相比，本章對開平方、開立方運算的要求有所降低，課程標準規(guī)定“會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應的負整數(shù)）的立方根”，教學時要注意把握好這個變化．
實數(shù)理論非常高深，初中生不可能充分理解，這就決定了教學時應充分利用學生已有的有理數(shù)的經(jīng)驗，不能追求嚴密的邏輯體系．例如，對于實數(shù)運算法則和運算性質(zhì)，本章是通過一個實數(shù)的簡單運算的例題來學習的．這樣安排的目的是，通過類比有理數(shù)的運算，指出有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，此處不宜深究．關于實數(shù)的運算，在后面的“二次根式”一章中還要繼續(xù)研究．
使用計算器進行比較復雜的運算，可以使學習的重點更好地集中到理解數(shù)學的本質(zhì)上來，估算是一種具有實際應用價值的運算能力．提倡使用計算器進行復雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養(yǎng)學生的運算能力，是本章的一個教學要求．為了達到這個教學目的，本章專門安排了利用計算器求數(shù)的平方根和立方根以及利用有理數(shù)估計無理數(shù)的大致范圍等內(nèi)容．因此，教學中應結(jié)合具體內(nèi)容，綜合利用各種途徑培養(yǎng)學生的運算能力．
（四）關注實數(shù)的文化價值
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學史上的第一次危機，是數(shù)學發(fā)展史上的重要里程碑．引入無理數(shù)經(jīng)歷了一個漫長而艱苦的過程，這個過程體現(xiàn)了人類為追求真理而不懈努力的精神．因此，教學時可以結(jié)合無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)和引入，挖掘數(shù)學知識的文化內(nèi)涵，使學生感受豐富的數(shù)學文化，開闊他們的眼界，增長他們的見識．
