1.
周日回了趟民院, 正好碰上正上初二的妹妹在做作業(yè). 她說(shuō)之前有兩道題不是特明白, 讓我給看看.
拿來(lái)一看, 是兩道平面幾何...題目本身很容易懂, 我就給復(fù)述一下吧~順便請(qǐng)出很早就采購(gòu)的 nSpire CAS, 買(mǎi)來(lái)后就沒(méi)用過(guò)...真浪費(fèi). 這玩意可是真心強(qiáng)大啊~比咱們高中用的TI83強(qiáng)好多...
話(huà)說(shuō)古典幾何我一直就學(xué)得不怎么好, 一眼瞅過(guò)去還真沒(méi)啥思路. 這倆題乍一看貌似是同一個(gè)題, 感覺(jué)把一個(gè)做出來(lái)后順著思路另一個(gè)也就不難了.
當(dāng)然事實(shí)證明這個(gè)只是我一個(gè)平面幾何半吊子一廂情愿的想法. 在干瞪第一題十分鐘沒(méi)思路后, 我不得不去問(wèn)問(wèn)她們現(xiàn)在學(xué)的到底是啥. 后來(lái)被告知最近學(xué)的叫做旋轉(zhuǎn)應(yīng)用, 就是說(shuō)把圖中的一部分繞某個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)到另外一個(gè)地方去, 實(shí)際是一種做輔助線(xiàn)的思路.
這玩意真是太高級(jí)了, 我們當(dāng)年上學(xué)的時(shí)候完全木有聽(tīng)說(shuō)過(guò)這種方法. 不過(guò)既然有線(xiàn)索了, 那不妨試試. 實(shí)際第一題中把△APB繞著A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一下讓AB和AC重合后, 這題一下就木難度了...隨便再比劃比劃, 5分鐘就做出來(lái)了...
但是如果是按照這個(gè)思路的話(huà), 就發(fā)現(xiàn)第二題和第一題完全不是一碼事, 因?yàn)榈诙}是個(gè)任意三角形, 沒(méi)辦法再這么轉(zhuǎn)了...
2.
后來(lái)實(shí)在沒(méi)啥思路, 只好求助 Google 大神. 問(wèn)回來(lái)的結(jié)果大吃一驚, 原來(lái)這問(wèn)題還挺有來(lái)頭的...
話(huà)說(shuō)有一天, Descartes (就是發(fā)明直角坐標(biāo)系的那家伙) 給 Fermat 寫(xiě)了封信, 請(qǐng)他思考一個(gè)到四個(gè)定點(diǎn)的距離為定值的函數(shù)的問(wèn)題. 后來(lái) Fermat 想, 四個(gè)點(diǎn)比較復(fù)雜, 不如從三個(gè)點(diǎn)開(kāi)始考慮. 于是他就想到了, 說(shuō)假使給定一個(gè)三角形, 那么可以在三角形內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn), 它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和比其他點(diǎn)都要小. 問(wèn)題是, 對(duì)于任意的三角形, 這個(gè)點(diǎn)是不是都存在? 是不是唯一的? 是不是都有相同的特性?
其實(shí)到這個(gè)時(shí)候答案就已經(jīng)呼之欲出了 -- 這不就是那第二題么~由于 Fermat 最先提出了這個(gè)問(wèn)題, 所以這個(gè)點(diǎn)后來(lái)就被叫做 Fermat Point, 費(fèi)馬點(diǎn). 不過(guò) Fermat 和我一樣 (嘿嘿...), 函數(shù)和數(shù)論學(xué)得不錯(cuò), 古典幾何則學(xué)得不咋樣(話(huà)說(shuō) Descartes 最開(kāi)始問(wèn)他的也是函數(shù)問(wèn)題么). 于是他就給 Torricelli (就是那個(gè)發(fā)明了氣壓計(jì), 后來(lái)研究流體力學(xué)的家伙, 其實(shí)主流觀(guān)點(diǎn)他更像個(gè)物理學(xué)家) 寫(xiě)了封信, 求助這問(wèn)題.
再多廢話(huà)兩句吧. 其實(shí)這題用解析幾何來(lái)做的話(huà), 是比較無(wú)腦的. 假設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 的話(huà), 再假設(shè)費(fèi)馬點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x, y), 那么到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和就是
只需要令這坨東西對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)均為0, 得出的(x0, y0)就是費(fèi)馬點(diǎn)了.
當(dāng)然, 到了這一步, 計(jì)算能力無(wú)限差的我又不會(huì)算了...不過(guò)木關(guān)系, 時(shí)間已經(jīng)推進(jìn)到21世紀(jì)了, 會(huì)列式子就行了, 計(jì)算這種臟活累活可以交給計(jì)算器或者電腦來(lái)干...
但是在 Fermat 那個(gè)年代, 微積分還差著幾十年才能發(fā)明出來(lái), 所以 Fermat 雖然函數(shù)學(xué)得還不錯(cuò), 但是沒(méi)辦法應(yīng)用解析幾何這個(gè)大殺器. 所以古典幾何苦手的 Fermat 同學(xué)只能發(fā)信求助了...
后來(lái) Torricelli 在回信中解答了這個(gè)問(wèn)題. 當(dāng)然了, 這并不是說(shuō) Fermat 當(dāng)時(shí)的水平連初二學(xué)生都不如, 主要是 Torricelli 還要負(fù)責(zé)證明這個(gè)點(diǎn)存在, 找到這個(gè)點(diǎn), 證明這個(gè)點(diǎn)唯一, 最后才是證明這個(gè)點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì). 而初二同學(xué)只需要做最簡(jiǎn)單的最后一步就可以了...
話(huà)說(shuō)回來(lái), 再看這所謂最簡(jiǎn)單的最后一步, 看上去也很?chē)樔? 他需要在三角形的兩個(gè)邊上各長(zhǎng)出兩個(gè)正三角形, 然后畫(huà)上錯(cuò)綜復(fù)雜的輔助線(xiàn)...
現(xiàn)在的初二數(shù)學(xué), 已經(jīng)要學(xué)得這么難了么...?! 這...長(zhǎng)出兩個(gè)三角形, 這誰(shuí)想得到啊~!
當(dāng)年 Torricelli 其實(shí)也不是這么證明的, 據(jù)說(shuō)他是用到了橢圓焦點(diǎn)的性質(zhì). 我倒是搜到了一個(gè)以BC為焦點(diǎn)作橢圓并以A點(diǎn)為圓心做圓然后二者相切的證明, 要比上面那個(gè)簡(jiǎn)潔很多. 不過(guò)初二還木有學(xué)到橢圓...況且做橢圓的解法, 恐怕更難想到吧?
3.
不過(guò)這個(gè)問(wèn)題最有意思的一點(diǎn)是, 它是可以通過(guò)物理來(lái)證明的~
道理非常的簡(jiǎn)單: 假設(shè)我把三角形放在桌子上, 在三個(gè)頂點(diǎn)鉆上三個(gè)洞; 然后拿來(lái)三條繩子穿過(guò)這三個(gè)洞, 三根繩在桌面上面的一頭系在一起, 而在桌子下面的一頭則分別掛上重量相同的砝碼.
表述得很麻煩, 但是看圖就一目了然:
最后繩子顯然會(huì)自動(dòng)找到一個(gè)靜止的狀態(tài). 停住以后, 我們?cè)賮?lái)看看:
物理學(xué)告訴我們, 在靜止后, 整個(gè)系統(tǒng)的能量會(huì)保持在可能的最小狀態(tài). 靜止后系統(tǒng)所擁有的能量, 其實(shí)就是三個(gè)砝碼的勢(shì)能. 勢(shì)能最小, 就說(shuō)明在桌子下面的繩子長(zhǎng)度達(dá)到最長(zhǎng), 于是桌子上面的繩子的長(zhǎng)度之和就是最短 -- 于是繩結(jié)的位置, 不就是費(fèi)馬點(diǎn)了么~
那么再來(lái)看看繩結(jié)的具體情況, 實(shí)際上是三根繩子的合力為0. 三個(gè)等大小的力平衡的狀態(tài), 那顯然就是三根繩的夾角都是120°么. 嗯~就是這么簡(jiǎn)單~~
4.
這個(gè)證明可以說(shuō)得上是相當(dāng)精彩, 而且更重要的是, 它把費(fèi)馬點(diǎn)的概念引申了:
假使我掛的三個(gè)砝碼的重量不一樣呢?
這個(gè)引申的概念就是所謂的加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn). 在引申了這個(gè)概念之后, 費(fèi)馬點(diǎn)的概念一下就變得更加有意義了.
我們?cè)O(shè)想一下. 假設(shè)淘寶發(fā)現(xiàn)每天接到投訴的內(nèi)容最多的就是快遞問(wèn)題, 終于有一天馬云決定不忍了, 下決心自己做物流.
(插一句, 馬云現(xiàn)在好像真的在考慮這個(gè)事...)
淘寶相對(duì)于其他物流的優(yōu)勢(shì)在哪里呢? 那就是他擁有非常多的歷史數(shù)據(jù), 而且對(duì)于全國(guó)的物流網(wǎng)絡(luò)非常了解: 貨品從各地發(fā)出的數(shù)量, 價(jià)值, 收貨地址的分布等等...這些有價(jià)值的數(shù)據(jù)是其他物流肯定拿不到的.
而物流在規(guī)劃時(shí), 肯定是在每個(gè)城市建一個(gè)集散點(diǎn), 所有發(fā)往這個(gè)城市的快遞, 都先發(fā)到這個(gè)集散點(diǎn), 然后再向下一級(jí)各個(gè)網(wǎng)點(diǎn)分發(fā), 最后由派件人員把快遞送出去.
于是他們就要考慮這樣的問(wèn)題: 對(duì)于每個(gè)城市, 這個(gè)集散點(diǎn)應(yīng)該建在哪里?
就拿北京來(lái)說(shuō)吧, 比如每天快遞到達(dá)最多的地區(qū)是中關(guān)村, 北苑, 西單, CBD...等等一些地方, 而對(duì)這些地方投入的運(yùn)力預(yù)計(jì)會(huì)是 A, B, C, D...于是在考慮運(yùn)力和距離的情況下, 一定有一個(gè)地方, 如果把集散點(diǎn)建在這里, 物流投入的總運(yùn)力是最低的.
-- 這不就是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)么...
當(dāng)然了, 實(shí)際情況會(huì)復(fù)雜很多, 還要考慮地價(jià)啊周邊運(yùn)營(yíng)成本啊等等...不過(guò)把這些問(wèn)題綜合考慮進(jìn)去后挑選到的地點(diǎn), 是確確實(shí)實(shí)可以降低運(yùn)營(yíng)成本的.
5.
反過(guò)來(lái)想一想, 既然初二數(shù)學(xué)已經(jīng)學(xué)到這里了, 不知道老師在講課的時(shí)候會(huì)不會(huì)引申一下呢...我記得當(dāng)年我們?cè)谏险n的時(shí)候, 王玉生還是很喜歡引申的, 只是不知道大家有木有好好聽(tīng). 可能很多同學(xué)覺(jué)得和考試木有關(guān)系, 下課就忘了, 真的挺可惜的...
但是~! 別忘了, 我有很多當(dāng)年上數(shù)學(xué)課的全本錄音哦~~! 現(xiàn)在補(bǔ)課仍然來(lái)得及~~
話(huà)又說(shuō)回來(lái), 不知道又有多少老師會(huì)這樣講呢...反正我是覺(jué)得, 在國(guó)內(nèi), 反而是基礎(chǔ)教育的水平比較高, 等到了大學(xué), 那幫小年輕博士后給你講課的時(shí)候只知道背書(shū). 我有時(shí)候隱約都會(huì)覺(jué)得, 你不就是多看了倆月書(shū)么, 我要好好看兩個(gè)月, 講得絕對(duì)比你強(qiáng)100倍...
話(huà)又說(shuō)回來(lái), 現(xiàn)在的初中, 真的要學(xué)得這么難了么...?
不過(guò)和主流觀(guān)點(diǎn)相背的一點(diǎn)是, 我倒是覺(jué)得, 在基礎(chǔ)教育階段多學(xué)一些數(shù)學(xué)是非常有意義的. 數(shù)學(xué)有助于你理清思維的邏輯性. 當(dāng)邏輯很清楚的時(shí)候, 就會(huì)很習(xí)慣于在生活中也多想一些, 更容易發(fā)現(xiàn)很多事情背后的本質(zhì).
現(xiàn)在看看這些90后, 00后的孩子們, 他們所擁有的教育資源真的比我們那時(shí)候豐富太多了. 等到他們真正成長(zhǎng)起來(lái)的時(shí)候, 又會(huì)是神馬樣子呢...
隱隱約約地, 我心里還真是有一點(diǎn)期待的...
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