江俊
《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教師版）》2011 年第 15 期
【摘要】在幾何畫板中作圓錐曲線的切線對初學(xué)幾何畫板的使用者來說是有一定難度的，為解決這個問題，浙江省黃巖中學(xué)的趙國藩老師在其論文《在“幾何畫板”中作圓錐曲線的切線》一文中介紹了利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)作其切線的方法。在文中他指出在“幾何畫板”中不能直接得到直線與圓錐曲線的交點，而最新的“幾何畫板”5.01版中是可以直接得到交點的，故不用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)亦可作圓錐曲線的切線。本文將介紹其他幾種作圓錐曲線切線的方法。
【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；切線；“幾何畫板”
一、在橢圓上一點作切線的幾種常用方法
1在高中數(shù)學(xué)教科書（北師大版）選修2-1《橢圓》中有一道例題如下：
求證：點M（acosθ，bsinθ）（0≤θ<2π）在橢圓
=1上。
此題實際上揭示了橢圓的一種生成方法：作兩個半徑不等的同心圓，在大圓上任意取一點作P,過P作x軸的垂線l，連接OP與小圓交于點A，過A作l的垂線，交點為C,則C的軌跡為橢圓（圖1）。
由此可知橢圓的一種切線作法如下：
①以橢圓的中心O為圓心，長半軸為半徑作圓；
②在橢圓上任意取一點A,并過A點作x軸的垂線交大圓于點B;
③連接OB，并過B點作OB的垂線，交x軸于點C，連接AB，即為過A點的切線（圖2）。
2在文［3］中作者給出了橢圓上一點切線的作法如下：
①過P作x軸的垂線交x軸于點N，以O(shè)為圓心、長半軸a為半徑作圓，與直線OP交于點R；
②過點A（a,0）作NR的平行線，交直線OP于點S；
③以O(shè)為圓心、線段OS為半徑作圓交x軸于點Q，則PQ為過點P的切線（圖3）。
在橢圓上一點作切線的方法還有很多，以上兩種是比較簡單的作法。
二、利用參數(shù)方程作圓錐曲線及切線
1用參數(shù)方程作橢圓及切線
作法如下：①新建參數(shù)a=2,b=1和函數(shù)f（x）=acosx，g（x）=bsinx；
②繪制參數(shù)函數(shù)
即畫出方程為
對應(yīng)的橢圓；
③在橢圓上任意取一點B并分別度量它的橫、縱坐標(biāo)xB和yB，并計算
；
④繪制函數(shù)y=k（x-xB）+yB的圖像，即為橢圓在點B處的切線。
注 參數(shù)a,b的大小可以自由控制，以下參數(shù)a,b都是如此。
2用參數(shù)方程作雙曲線及切線
3用參數(shù)方程作開口向上的拋物線及切線
。
4用參數(shù)方程作開口向右的拋物線的切線
注 類似可以作開口向下、向左拋物線的切線方程。
利用參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)在幾何畫板中能比較方便地畫出圓錐曲線的切線，易于初學(xué)者掌握。
【參考文獻(xiàn)】
［1］趙國藩。用“幾何畫板”作圓錐曲線的切線。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009（9）。
［2］尉貞肆。關(guān)于橢圓及其切線的畫法。陜西教育學(xué)院學(xué)報，1999（2）。
［3］劉自敏。橢圓切線的幾何作法?？萍夹畔?。
［4］席高文。圓錐曲線切線幾何作圖的充要條件。洛陽師范學(xué)院學(xué)報，2002（5）。
