柯爾莫哥洛夫
龔光魯
(清華大學(xué))
柯爾莫哥洛夫，A．H．(Андрей Николаевич Колмогоров)1903年4月25日生于俄國坦波夫(Тамбов)；1987年10月20日卒于蘇聯(lián)莫斯科．?dāng)?shù)學(xué)、大氣力學(xué)．
柯爾莫哥洛夫的父親卡塔也夫(Николай Матвеевич Катаев)是農(nóng)藝師兼作家，母親柯爾莫哥洛娃(Мария Яковлевна Колмогорова)出身貴族．他們并沒有辦結(jié)婚手續(xù)，所以柯爾莫哥洛夫從母姓．十月革命后，卡塔也夫主持農(nóng)業(yè)人民委員部教育部門，在1919年A．И．鄧尼金(Деникин)進(jìn)攻時死于南方戰(zhàn)線．柯爾莫哥洛夫生后十天母親就去世，他由姨媽薇拉(Вира)與娜捷日達(dá)(Надежда)撫育，生活在沿伏爾加河的雅洛斯拉伏爾(Ярославлъ)下游約20公里的圖諾斯那村(Туношна)．她們都有民主思想，卒于50年代初．在柯爾莫哥洛夫幼年，兩個姨媽努力引導(dǎo)他對書本和自然的興趣，開拓他的好奇心，帶他去田野、森林，給他講花草樹木的知識、星星與宇宙演化的故事、安徒生的童話……．她們辦了一個有十個不同年齡的孩子組成的家庭學(xué)校，以適應(yīng)當(dāng)時新的教育模式．五六歲的他負(fù)責(zé)家庭雜志《春燕》(Beсенние Ласточки)的數(shù)學(xué)部分．在1963年發(fā)表的文章《我是如何成為數(shù)學(xué)家的》(Кат Я стал математиком)中寫道：“在五六歲時我就領(lǐng)受到數(shù)學(xué)‘發(fā)現(xiàn)’的樂趣，我觀察到
1=12，
1+3=22，
1+3+5=32
1+3+5+7=42
等等．我的發(fā)現(xiàn)被刊在《春燕》上，在那里還發(fā)表了我發(fā)明的算術(shù)問題(其中例如：要固定一個有四孔的扣子至少要用線縫合兩個孔，問有多少種不同的固定辦法？)．”孩子們還參加農(nóng)莊勞動、收集柴火、自己縫扣子等等．1910年他進(jìn)入莫斯科列普曼(Лепман)文法學(xué)校預(yù)班．該校崇尚自由，著重因材施教，學(xué)生可以自由選聽高年級的課程，還采用了很多試驗教學(xué)．在女性環(huán)境中成長的他特別珍視男孩特點的培養(yǎng)，諸如淘氣、嬉鬧、大膽、果敢、靈巧等．在該校他結(jié)識了A．Д．葉戈洛娃(Анна Демитриевна Егорова)．
她是通訊院士、歷史學(xué)家П．H．葉戈洛夫(Егоров)之女，后于1942年在莫斯科與柯爾莫哥洛夫成婚，她卒于1988年．少年時他對生物、物理、歷史、社會學(xué)、數(shù)學(xué)、俄國藝術(shù)、林業(yè)學(xué)都有濃厚的興趣，在14歲就自習(xí)高等數(shù)學(xué)，還夢想在荒漠中創(chuàng)建法律至上的公社，并為此起草了憲法．
1920年他畢業(yè)于第23高中(即前列普曼文法學(xué)校)．他曾向往學(xué)冶金，因為在那時候人們認(rèn)為工程比純科學(xué)更為重要和必需．他同時在國立莫斯科大學(xué)物理數(shù)學(xué)系和門捷列夫(Менделеев)化工學(xué)院冶金系注冊．但是不久以后他就下決心以數(shù)學(xué)為職業(yè)．他在莫斯科大學(xué)學(xué)習(xí)的同時又在門捷列夫化工學(xué)院數(shù)學(xué)部學(xué)習(xí)了一段時間，還參加了莫斯科大學(xué)歷史系教授C．V．巴赫羅欣(Вахрушин)的討論班．17歲的他對歷史發(fā)生了興趣，他曾對俄國諾夫格勒(Новгород)地區(qū)在15—16世紀(jì)房地產(chǎn)登記的資料，用數(shù)理統(tǒng)計進(jìn)行科學(xué)分析并寫出論文，得到了巴赫羅欣的贊賞．但是當(dāng)他問能否發(fā)表時，得到的回答是：只有一個論據(jù)是不夠的，必須有五個不同的論據(jù)．以后他專心致力于數(shù)學(xué)，因為數(shù)學(xué)問題只需一個證明就足夠了．
在進(jìn)入大學(xué)之前，他已有相當(dāng)多的數(shù)學(xué)知識，他從《數(shù)學(xué)的新概念》(Новые идей в мате матике)一書中知道了集合論基礎(chǔ)，他從《勃洛克豪斯與杰弗朗百科全書》(Brockhaus and Jefronencyclopedia)中學(xué)了很多專題，并用自己的語言改寫了這些過于濃縮的內(nèi)容．進(jìn)入莫斯科大學(xué)后，他立刻通過了集合論和射影幾何的免修考試．當(dāng)時魯金學(xué)派正處于頂峰時期，1921年他在H．H．魯金(Луэин)的解析函數(shù)論課上，對魯金的一個猜測舉出了反例，得到П．C．烏里松(Урысон)的贊揚，成為烏里松的學(xué)生．在聽了П．C．亞歷山德羅夫(Александров)的課后，他發(fā)表了“作用于集合上的算子的理論”(Теории операций над множествами)，推廣了E．波萊爾(Borel)、R．貝爾(Baire)、H．勒貝格(Lebesgue)、亞歷山德羅夫和M．蘇斯林(Суслин)等人的研究．1921年秋，他參加了B．B．斯捷班諾夫(Стенпанов)的三角級數(shù)討論班，這對他以后的事業(yè)有特殊的重要性．1922年他解決了魯金提出的構(gòu)造一個系數(shù)收斂到零的任意慢的傅里葉級數(shù)問題．此后他又定期向魯金學(xué)習(xí)，從而又成為魯金的學(xué)生．在三角級數(shù)討論班上，他還與Д．E．門曉夫(Меншов)建立了友誼．1922年，他取得了突出的成果，構(gòu)造了幾乎處處發(fā)散的傅里葉級數(shù)，它立刻使這位大學(xué)三年級的學(xué)生揚名世界(到1926年他進(jìn)而構(gòu)造了一個處處發(fā)散的傅里葉級數(shù))，并開始了他長達(dá)60多年的高強(qiáng)度與高創(chuàng)造性的時期．1925年他畢業(yè)于莫斯科大學(xué)后成為魯金的研究生，并開始與魯金的另一個學(xué)生A．Я．辛欽(Хинчин)一起從事概率論的研究．1929年研究生學(xué)習(xí)結(jié)束后，他成為莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)研究所助理研究員．1934年在蘇聯(lián)首次建立了博士學(xué)位制度，翌年他被授予數(shù)學(xué)物理學(xué)博士學(xué)位．1930年1月他與亞歷山德羅夫一起對德國和法國進(jìn)行了10個月的訪問．格丁根在當(dāng)時是數(shù)學(xué)的“麥加圣地”，研究人員少而精，只有D．希爾伯特(Hilbert)、E．蘭道(Landau)、R．柯朗(Courant)與S．N．伯恩斯坦(Bernstein)4位教授，那里的助教有K．O．弗里德里希(Friedrichs)，F(xiàn)．雷列希(Rellich)．H．萊維(Lewy)和E．諾特(Noether)的學(xué)生B．L．范·德·瓦爾登(Van der Waerden)等．希爾伯特時已66歲，即將退休，H．外爾(Weyl)已內(nèi)定取代他的位子．柯爾莫哥洛夫與這些人廣泛交往，與柯朗探討了極限定理的領(lǐng)域，與外爾討論了直覺邏輯，與蘭道交換了對函數(shù)論領(lǐng)域的看法．繼而，他前往慕尼黑與C．卡拉特奧多雷(Carathéodory)交談自己關(guān)于測度論與積分論的思想．后者對前者的測度論思想很喜歡，堅持要他盡快發(fā)表，但是對他的推廣的積分論反應(yīng)冷淡．在法國，他與M．弗雷歇(Fréchet)討論了馬爾科夫鏈，與P．勒維(Levy)進(jìn)行了長時間的科學(xué)討論，并與老一輩數(shù)學(xué)家勒貝格、波萊爾等建立了聯(lián)系．
1931年柯爾莫哥洛夫任莫斯科大學(xué)教授，開始指導(dǎo)研究生．1933年任莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)研究所所長(至1939年1月，后來在1951—1953年又任此職)．他在數(shù)學(xué)力學(xué)系創(chuàng)建了如下教研室：概率論(1935年，任主任至1966年)，數(shù)理統(tǒng)計(1976年，任主任至1980年)，數(shù)理邏輯(1980年，任主任至逝世)，概率統(tǒng)計方法(1960年，任顧問至1966年，任主任從1966年到1976年)．他對數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的形成起了很大作用，他創(chuàng)建了許多新課程，如數(shù)學(xué)分析Ⅲ、概率論、數(shù)理邏輯等．他教過的課程有數(shù)學(xué)分析、常微分方程、復(fù)函數(shù)與概率論、數(shù)理邏輯、信息論等．在這些課程中有的附有非常有趣的實踐練習(xí)，如用多項式逼近函數(shù)、范特波爾(Vander Pol)型方程的積分、微分方程的奇點、最小二乘法、用網(wǎng)絡(luò)來研究偏微分方程的積分等．他于1953年任莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)會名譽(yù)會員，后任理事長(1964—1966，1973—1985)．1954—1958年任莫斯科大學(xué)數(shù)力系主任．1939年，他被選為蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)理部院士、主席團(tuán)委員、數(shù)理部科學(xué)秘書(1939—1942)、科學(xué)院斯捷克洛夫(Стеклов)數(shù)學(xué)研究所所長(1939—1958，1980至逝世)．
在30年代末至40年代初，他研究湍流，隨后在蘇聯(lián)科學(xué)院地球物理研究所創(chuàng)建了大氣湍流實驗室(1946—1949)，以后該室發(fā)展成該所的主體部門．
在衛(wèi)國戰(zhàn)爭中，他與M．B．凱爾迪希(Келдыш)一起研究槍炮的火力與轟炸的理論．
1949年，柯爾莫哥洛夫任《大百科全書》數(shù)學(xué)部主任與編委．他長期任期刊《數(shù)學(xué)科學(xué)的進(jìn)展》(Успехи Матемдтических наук，Russian Mathematical Surveys)的主編．他創(chuàng)辦了期刊《概率論及其應(yīng)用》(Теории Вероятностии и её пременении)及以中學(xué)生為對象的雜志《量子》(KBaHT)．他還主持撰寫了數(shù)理系列叢書．
從1963年至逝世，他主要致力于文法學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)改革：編寫教科書、編制教學(xué)大綱．1963—1968年，他任科學(xué)院科教委員會數(shù)學(xué)部主任．1968—1978年任教育部中學(xué)教科書委員會委員及數(shù)學(xué)部主任．他是莫斯科大學(xué)物理數(shù)學(xué)寄宿學(xué)校的創(chuàng)建人之一(1963)，而第18寄宿學(xué)校則以他命名．
他與辛欽關(guān)于隨機(jī)過程的研究成果在1941年獲國家獎，他與A．И．阿諾爾德(Арнолд)關(guān)于經(jīng)典力學(xué)的研究在1965年獲列寧獎．他兩次獲得科學(xué)院獎——1951年與Б．B．格涅堅科(Гнеденко)一起獲車貝雪夫獎，1986年獲羅巴切夫斯基獎．1963年，他榮獲蘇維埃勞動英雄稱號．他還曾被授予十月革命勛章(1983)、勞動紅旗勛章(1940)、七枚列寧勛章(1944—1975)及“在偉大的愛國戰(zhàn)爭中英勇勞動”獎?wù)隆⒔鹦仟務(wù)?1963)等．
他獲得的國際榮譽(yù)稱號有：巴黎大學(xué)名譽(yù)博士(1955)，羅馬科學(xué)院通訊院士(1956)，波蘭科學(xué)院外國院士(1956)，國際統(tǒng)計學(xué)研究所名譽(yù)成員(1957)，波士頓美國藝術(shù)與科學(xué)院名譽(yù)院士(1959)，斯德哥爾摩大學(xué)名譽(yù)科學(xué)博士(1960)，加爾各答印度統(tǒng)計研究所名譽(yù)科學(xué)博士(1962)，荷蘭皇家科學(xué)院外國院士(1963)，倫敦皇家科學(xué)院外國院士(1964)，羅馬尼亞科學(xué)院名譽(yù)院士(1965)，匈牙利科學(xué)院名譽(yù)院士(1965)，美國國家科學(xué)院外國院土(1967)，法國科學(xué)院外國院士(1968)，匈牙利“榮譽(yù)事業(yè)”(Honoris causa)科學(xué)博土(1973)，歷史科學(xué)國際科學(xué)院名譽(yù)院士(1977)，民主德國科學(xué)院外國院士(1977)，聯(lián)邦德國“有成就”(Pour le Mérite)勛章學(xué)會外國會員(1977)，芬蘭科學(xué)院外國院士(1983)，等等．
他得到的國際獎有：國際巴爾桑(Balzan)獎(1963)，美國氣象學(xué)會獎?wù)?，民主德國科學(xué)院赫姆霍茲(Helmholtz)獎?wù)?1976)，匈牙利旂幟獎?wù)?1975)，1980年鑒于他“在調(diào)和分析、概率論、遍歷論和動力系統(tǒng)深刻而開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)”而獲得沃爾夫(Wolf)獎．
20世紀(jì)初以來，由于采用了集合論觀點研究函數(shù)，從而推廣了測度與積分、函數(shù)構(gòu)造等概念，這就大大擴(kuò)大了數(shù)學(xué)家們的視野．波萊爾、勒貝格等人為此都做出了重大貢獻(xiàn)．蘇聯(lián)的Д．T．葉戈洛夫(Егоров)、魯金、蘇斯林進(jìn)一步把函數(shù)與集合的研究推向新的高潮．柯爾莫哥洛夫正是在20—30年代魯金學(xué)派的頂峰時期成長的．魯金學(xué)派造就了蘇聯(lián)舉世聞名的一批數(shù)學(xué)大師，柯爾莫哥洛夫是其中最杰出的代表．在這個時期，數(shù)學(xué)領(lǐng)域還出現(xiàn)了大量極有挑戰(zhàn)性的問題，新思想、新方法、新探索、新成就相繼出現(xiàn)，其中包括：H．龐加萊(Poincare)關(guān)于太陽系發(fā)展的永恒性問題(龐加萊稱它為動力學(xué)基本問題)的提出，引導(dǎo)到哈密頓(Hamilton)系統(tǒng)在微擾下的穩(wěn)定性的研究；L．巴舍利艾(Bache－lier)、A．愛因斯坦(Einstein)、M．V．斯摩羅霍夫斯基(Smo－luchowski)、N．維納(Wiener)及勒維等長期研究的布朗運動的數(shù)學(xué)特性，揭示了隨機(jī)過程的基本規(guī)律；大氣物理的研究提出了湍流的統(tǒng)計規(guī)律刻畫；格丁根學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人希爾伯特在20世紀(jì)初提出了23個對數(shù)學(xué)發(fā)展具有決定性影響的問題；當(dāng)時函數(shù)論的研究正在從有限維擴(kuò)展為無窮維，這就需要把函數(shù)論、拓?fù)渑c代數(shù)等結(jié)合起來以產(chǎn)生新概念、新學(xué)科．以上種種背景是柯爾莫哥洛夫從學(xué)生時代開始在數(shù)學(xué)上面臨的一些客觀使命．
他一生共寫學(xué)術(shù)論文(包括合作)488篇，給《大百科全書》寫114條，給科普報刊撰寫57篇文章．
他是本世紀(jì)蘇聯(lián)最有影響的數(shù)學(xué)家，也是本世紀(jì)世界上為數(shù)極少的幾個最有影響的數(shù)學(xué)家之一．他所有的開創(chuàng)性工作是俄羅斯民族的驕傲，也是世界人民的寶貴財富．他研究的領(lǐng)域非常廣泛，幾乎遍及一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括：函數(shù)的距離理論、描述集合論、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、概率論及隨機(jī)過程、數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用、幾何、泛函分析、拓?fù)?、微分方程、湍流理論?武器的)火力理論、演算學(xué)與自動機(jī)、動力系統(tǒng)與經(jīng)典力學(xué)、函數(shù)的迭合理論、信息論、算法概率論、遍歷論、詩韻中的統(tǒng)計學(xué)等．他在這些領(lǐng)域的研究成果不僅被應(yīng)用于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展和開辟新的領(lǐng)域，而且在物理、化學(xué)、生物、地球物理、冶金學(xué)、結(jié)晶學(xué)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科中都有極重要的應(yīng)用．
他的開創(chuàng)性研究可分三個時期．
第一個時期開始于1921年秋．大學(xué)二年級的他開始研究三角級數(shù)與集合上的算子等一系列復(fù)雜問題．1926年他構(gòu)造了處處發(fā)散的一個傅里葉級數(shù)，直到1966年瑞典數(shù)學(xué)家L．卡勒遜(Carle-son)及1967年美國數(shù)學(xué)家R．亨特(Hunt)又證明了對p＞1，Lp函數(shù)的傅里葉級數(shù)處處收斂到這個函數(shù)，這就徹底解決了三角級數(shù)的發(fā)散問題(魯金問題)．他于1922年定義的在集合上的δS運算是描述集合論中的基本運算．他對三角級數(shù)和正交級數(shù)的興趣貫徹終生，不時地返回到這個領(lǐng)域，并安排年輕人繼續(xù)進(jìn)行研究，在這方面他發(fā)表的10篇文章中的每一篇都是延續(xù)至今的研究的起點．在這時期他在微分、積分、可測集等方面都做了重要的工作．此后他又轉(zhuǎn)向數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家對邏輯律的適用性、數(shù)學(xué)本質(zhì)及集合論悖論發(fā)生了無休止的爭論，產(chǎn)生了直觀主義者，他們否認(rèn)排中律在超限歸納中的有效性．柯爾莫哥洛夫在1925年證明：超限地使用排中律所得到的有限結(jié)論都是對的，而且都可以不用排中律來證明．他還構(gòu)造了他的直觀演算系統(tǒng)，從而創(chuàng)造了直觀邏輯的另一種解釋．1925年他證明了希爾伯特變換的一個車貝雪夫型不等式，這是M．里斯(Riesz)、A．濟(jì)格蒙德(Zygmund)、G．H．哈代(Hardy)等著名數(shù)學(xué)家關(guān)于奇異算子弱型概念研究的起點．作為柯爾莫哥洛夫開創(chuàng)性成果的核心部分之一是概率論與隨機(jī)過程．這一研究起始于他大學(xué)的第四年(1924年)，他與辛欽一起研究獨立隨機(jī)變量組成的級數(shù)的收斂性，得到了以后被稱為柯爾莫哥洛夫三級數(shù)定理的成果，其中他首次使用了以后用他命名的不等式以及相應(yīng)的下限估計，開創(chuàng)了概率論研究中的新方法．1928年他得到了獨立隨機(jī)變量列遵從大數(shù)律的必要且充分的條件．1930年他又得到了獨立隨機(jī)變量列遵從強(qiáng)大數(shù)律的一個非常一般的充分條件．這些結(jié)果至今是概率論教科書中的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容．1929年他又得到了獨立同分布隨機(jī)變量列的重對數(shù)律．他的結(jié)果和創(chuàng)用的方法是許多作者用來作為研究的泉源，其中如J．馬辛凱維茨(Marcinkiewicz)和濟(jì)格蒙德1937年證明了柯爾莫哥洛夫的結(jié)果中的一個小O條件不能改為大O；1941年P(guān)．哈特曼(Hartman)與維納改進(jìn)了柯爾莫哥洛夫的條件；1965年V．斯特拉森(Strassen)將其推廣為泛函類型的重對數(shù)律．20世紀(jì)初，G．波爾曼(Bohlmann)曾企圖給概率論建立一個公理系統(tǒng)．為此，波萊爾A．隆尼斯基(Lomnicki)、維納相繼在概率論中運用測度論，伯恩斯坦、R．馮·米賽斯(vonMises)也都企圖建造概率論的公理化基礎(chǔ)，但是都不很成功．柯爾莫哥洛夫在他1929年發(fā)表的文章“概率論與測度論的一般理論”(General measure theory and calculus of probabilities)，首次給出了測度論基礎(chǔ)的概率論公理結(jié)構(gòu)．5年以后該文編寫成單行本，即如今在數(shù)學(xué)界眾所周知的經(jīng)典著作《概率計算的基本概念》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)．概率論的公理化是他的巨大貢獻(xiàn)，它使概率論從自然哲學(xué)領(lǐng)域真正轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)的范圍，使概率論被確認(rèn)為數(shù)學(xué)的一個分支，并且日漸與其他數(shù)學(xué)分支相互滲透．著名日本數(shù)學(xué)家伊籐寫道“讀了柯爾莫哥洛夫的小冊子《概率論基本概念》，我信服地認(rèn)為概率論可以用測度論來發(fā)展，并且它也與其他數(shù)學(xué)分支一樣地嚴(yán)格”．柯爾莫哥洛夫在這單行本的序言中還列出了無窮維空間的概率分布、條件期望，指出這些都源自物理問題．事實上它們也是隨機(jī)過程論的必要基礎(chǔ)．在50多年以后的今天，它的意義就更明顯了，它是概率論劃時代的著作，柯爾莫哥洛夫在1930夏完成的小冊子《概率論中的解析方法》( ber,die analytischen Methoden in Wahrscheinlichkeitrechnung)開創(chuàng)了無后效隨機(jī)過程(以后辛欽建議改名為馬爾科夫過程)的一般理論的研究，把物理學(xué)家M．普朗克(Plank)、愛因斯坦、A．?？?Fokker)等在特殊情形得到的關(guān)于轉(zhuǎn)移函數(shù)的一個積分方程一般化［以后稱為恰普曼(Chapman)-柯爾莫哥洛夫方程］，并且由此導(dǎo)出了時間向前與向后的兩個偏微分方程(稱為柯爾莫哥洛夫方程)．在馬爾科夫過程的發(fā)展中，他把傅里葉的傳熱理論、愛因斯坦與斯摩羅霍夫斯基的布朗運動理論、馬爾科夫等人關(guān)于可幾隨機(jī)徘徊的描述與首次構(gòu)造隨機(jī)過程例子的巴舍利艾與維納的思想結(jié)合在一起，抽象出了馬爾科夫過程的一般模型．這個工作標(biāo)志著概率論發(fā)展及其在物理、化學(xué)、生物、工程等方面的應(yīng)用的新時期．在這個時期，他的另一文章“拉普拉斯-李雅普諾夫定理的推廣”(An extention of Laplace－Lypunov theorem，1931)，給出了獲得獨立隨機(jī)變量和的上、下界概率的漸近展開的基本方法．
柯爾莫哥洛夫開創(chuàng)工作的第二階段始于1931年他被任為教授之后．這時期持續(xù)了1／4個世紀(jì)，在此期間他的研究興趣極其廣泛．1932年他發(fā)表了兩篇關(guān)于幾何的文章“射影幾何證法”(Кобоснованиюпроективной геометри)和“拓?fù)鋷缀巍?Топологической геометрии)，用拓?fù)?、群的觀點研究幾何．在他建議下，Л．龐特里亞金(Понтрягин)證明了具有可數(shù)基的連通局部緊拓?fù)溆蛞欢ㄊ菍崝?shù)域、復(fù)數(shù)域或四元數(shù)廣域之一．在代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域中上同調(diào)群是一個核心的概念．1936年柯爾莫哥洛夫與美國數(shù)學(xué)家J．W．亞歷山大(Alexander)相互獨立地構(gòu)造了上同調(diào)群，并在其上定義了乘積運算，使之成為環(huán)，這在以后的研究(特別是連續(xù)映射)中極為重要．他在拓?fù)渖系牡诙€貢獻(xiàn)是給出了局部緊空間閉集的對偶律．1937年，他給出了一個從一維緊集到二維緊集的開映射，引起了蘇聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)家對開映射的興趣．
這時期，概率論仍舊是他的主要專業(yè)之一，他非常重視隨機(jī)過程的應(yīng)用．1932年他積極參與了著名生物學(xué)家Д．Д．羅瑪曉夫(Ромащов)領(lǐng)導(dǎo)的生物微演化的實驗室．由于馬爾科夫過程是動力系統(tǒng)在隨機(jī)情形的對等物，兩者互相滲透會產(chǎn)生很多新的概念和現(xiàn)象，所以馬氏過程始終是許多研究的重點．1935年他又提出了可逆(對稱)馬氏過程的新模型，并給出了刻畫其特征的充要條件．40多年后的今天，可逆馬氏過程已成為統(tǒng)計物理、排隊網(wǎng)絡(luò)、模擬退火、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域中十分常見的重要模型．在20年代末30年代初 B．德·菲乃蒂(de Finetti)提出了“無窮可分律”，指出了具有特征函數(shù)
和同分布，柯爾莫哥洛夫在1932年對具有二階矩的隨機(jī)變量給出了它具有無窮可分律的充要條件．以后，勒維證明了有限方差這個限制可以取消，隨后辛欽又證明了這一結(jié)果仍可用柯爾莫哥洛夫的方法得到(最終的表達(dá)式稱為無窮可分律的勒維-辛欽典則形式)．
柯爾莫哥洛夫還解決了一系列生物學(xué)問題，由此得到了十分有意義的純數(shù)學(xué)的成果．他與И，Г彼得洛夫斯基(Петровский)及H．C．比斯庫諾夫(Пискунов)合作的有關(guān)生物學(xué)的文章(1937)，首次構(gòu)造了非線性擴(kuò)散的行波型穩(wěn)定解．他在其中的貢獻(xiàn)是從物理方面定性地描述現(xiàn)象的圖象，并把它表示為公式．生物學(xué)問題導(dǎo)致他提出了分枝過程的模型，并研究了它的滅絕概率(1947年)．1939年，他由分析統(tǒng)計資料驗證了基因遺傳的“孟德爾(Mendle)律”(當(dāng)時基因與孟德爾律在蘇聯(lián)生物學(xué)界被批判為“唯心主義”、“反科學(xué)”的)．
1937年，他給出了在金屬隨機(jī)結(jié)晶過程中一個給定的點屬于結(jié)晶團(tuán)的概率與平均結(jié)晶的數(shù)目，這一結(jié)果在金屬結(jié)晶化理論中至今仍是基本的結(jié)論．
1933年，他與M．A．列沃托維奇(Леотович)給出了A．K．伏拉索夫(Власов)提出的二維布朗質(zhì)點為中心、半徑為ρ的圓盤在t時刻前掃過的平均面積的漸近估計．
1936—1937年，他給出了可數(shù)狀態(tài)馬爾科夫鏈的狀態(tài)分類．
在數(shù)理統(tǒng)計方面，1933年他定義了度量經(jīng)驗分布與理論分布最大偏差的(以后以他命名的)統(tǒng)計量，并推導(dǎo)了它的分布函數(shù)．這是分布擬合理論中擬合度的基本檢驗，已成為數(shù)理統(tǒng)計教科書的基本內(nèi)容．
1935年他首次給出了巴拿赫空間上概率測度的特征泛函這一概念，并指出它在發(fā)展非線性量子理論中的重要性．
他在平穩(wěn)隨機(jī)過程方面的成就與維納的成就并列為該領(lǐng)域最基本的成果．具連續(xù)譜的元阻尼隨機(jī)運動是平穩(wěn)過程的豐富源泉，平穩(wěn)過程是概率特征不隨時間變化的隨機(jī)過程，常出現(xiàn)在無線電工程、自動控制等應(yīng)用領(lǐng)域，是大量隨機(jī)自然現(xiàn)象(大氣、海洋等)的理想化．其中的一個重要問題是用過去的資料預(yù)測將來．他早于維納(1941)得到了預(yù)測與內(nèi)插的公式．維納指出柯爾莫哥洛夫的研究是與控制學(xué)有關(guān)的信息統(tǒng)計理論相聯(lián)系的．在柯爾莫哥洛夫的研究中應(yīng)用了希爾伯特空間的幾何理論．
平穩(wěn)過程與平穩(wěn)增量過程的研究使他得到了局部迷向湍流的近似表達(dá)式．流體有確定性的規(guī)律，但是其運動特征又極端復(fù)雜，可以把它看成隨機(jī)過程．20世紀(jì)著名的工程師G．L．泰勒(Tay－lor)與T．馮·卡門(von K r mn)引進(jìn)了迷向湍流，然而其結(jié)論與實驗不符，柯爾莫哥洛夫用局部迷向湍流得到了著名的“柯爾莫哥洛夫2／3次律”：在特定條件下，湍流中距離為r的兩點的速度差的平方平均與r2/3成正比．這個2／3律至今還被大氣物理界公認(rèn)為幾乎是關(guān)于湍流的所有結(jié)果中最與實際相近的．1962年他又作了更為精確的修正．
他在概率論、隨機(jī)過程與數(shù)理統(tǒng)計方面的貢獻(xiàn)，說明他是隨機(jī)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)人．他不僅是一個多方面的數(shù)學(xué)家，而且是一個有驚人洞察力的應(yīng)用數(shù)學(xué)家．
1949年格涅堅科與他一起發(fā)表的《獨立隨機(jī)變量和的極限分布》(Пределъные теолемы для сумм неэависимых случайныхвеличин)一書，總結(jié)了莫斯科學(xué)派當(dāng)時在弱極限理論方面的世界領(lǐng)先的成果，成為弱極限理論的經(jīng)典著作．
在逼近論方面，1935—1936年他研究了光滑性與逼近度的關(guān)系，引進(jìn)了一種逼近的度量(以后稱為柯爾莫哥洛夫直徑)，開創(chuàng)了逼近論領(lǐng)域中的新方向．60年代以后柯爾莫哥洛夫直徑受到了更大的重視．
在泛函分析方面，他在1931年得到了Lp空間中集合為緊的判別法．在1934年定義了線性拓?fù)淇臻g與其中的有界集和凸集，得到了可正規(guī)化的經(jīng)典判別法(存在0點的一個有界凸鄰域)．1938年柯爾莫哥洛夫與И．M．蓋爾范德(Гелъфанд)合作的文章是后者以后開創(chuàng)賦范環(huán)理論的源泉．他們證明了兩個滿足第一可數(shù)公理的拓?fù)淇臻g的同胚性與在它們上的連續(xù)函數(shù)環(huán)間的代數(shù)同構(gòu)性等價．
他的第三個開創(chuàng)性研究時期開始于50年代中期．這時，他的研究方向轉(zhuǎn)向經(jīng)典力學(xué)哈密頓系統(tǒng)、信息論、動力系統(tǒng)的遍歷論、信息論與函數(shù)論的關(guān)系(ε熵)、希爾伯特第13問題和函數(shù)的迭合、有限自動機(jī)與復(fù)雜性理論等領(lǐng)域．
50年代中期他與B．A．烏斯賓斯基(Успенский)對算法與自動機(jī)理論的基本對象給出了廣泛的定義．
在這時期他在動力系統(tǒng)方面的工作可分為兩個系列．第一個系列是經(jīng)典力學(xué)方面的．太陽系能否永恒發(fā)展而不會引起災(zāi)變？簡單行星系是否只有三體系統(tǒng)才能穩(wěn)定地運動？這個問題歸結(jié)于研究近似可積系統(tǒng)的運動體系．龐加萊稱它為哈密頓系統(tǒng)在微擾下的發(fā)展問題．它是動力學(xué)基本問題，可溯源到Ⅰ．牛頓(Newton)、P．S．拉普拉斯(Laplace)的研究．柯爾莫哥洛夫在50年代中期對具大量初始條件的情形解決了這個問題，開創(chuàng)了哈密頓系的微擾理論．從他的定理可推出：圍繞木星作圓軌道轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星，在經(jīng)受沿橢圓軌道的木星運動的干擾下，并不能影響木星的橢圓軌道．他的理論還可用到大量力學(xué)、物理學(xué)問題中，解決了不對稱剛體統(tǒng)定點高速旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性、托卡馬克(Токамак)型系統(tǒng)中磁面的穩(wěn)定性等問題．他的思想后來被A．И．阿諾爾德(Арнолд)與J．莫澤(Moser)所發(fā)展，成為以他們?nèi)嗣腒AM理論．
他研究動力系統(tǒng)的第二系列是把信息論應(yīng)用于研究系統(tǒng)的遍歷性質(zhì)．G．E．仙農(nóng)(Shannon)用直觀定義的熵有深刻的內(nèi)涵，柯爾莫哥洛夫給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義及推廣，他引入了距離空間上的ε熵及ε容度作為逼近論中的嶄新工具，1958年又進(jìn)一步把熵參數(shù)引進(jìn)動力系統(tǒng)的研究．30年代馮·諾伊曼證明了具有純點譜并有相同譜點的兩個動力系統(tǒng)(動力系統(tǒng)是指測度空間及其上的一個保測自映射)是同構(gòu)的．柯爾莫哥洛夫和他的學(xué)生Ю．Г．希那依(Синай)定義了一個熵型不變量(以后稱為柯爾莫哥洛夫-希那依嫡或K－S嫡)，用它來證明不同參數(shù)p(0＜p＜1)的伯努利模型雖然具相同的譜點，但是它們彼此并不同構(gòu)，從而徹底回答了馮·諾伊曼問題(即具有相同譜的兩個動力系統(tǒng)是否同構(gòu)問題)．K－S熵至今是動力系統(tǒng)中最為成功的不變量(雖然它并不完備)，它的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著動力系統(tǒng)理論有了嶄新的開始．
希爾伯特第13問題是要證明方程f7＋xf3＋yf2＋zf+1=0的解f(x，y，z)不能表成兩變量函數(shù)的疊合．柯爾莫哥洛夫在1956年證明：任意一個四變量連續(xù)函數(shù)都能表成三變量連續(xù)函數(shù)的疊合(這是他認(rèn)為技巧性最復(fù)雜的成就，是他花費了一生中最長的連續(xù)思考時間所完成的)．翌年春，他的學(xué)生——三年級的大學(xué)生A．И．阿諾爾德(Арнолд)徹底解決了這個問題，推翻了希爾伯特的猜測．不久，柯爾莫哥洛夫又簡化為如下的精美構(gòu)造：任意整數(shù)n≥2，必有[0，1]上的連續(xù)函數(shù)族｛ ij(·)｝，使［0，1］n上任意連續(xù)函數(shù)j都能表成
這里i(·)是實數(shù)上連續(xù)函數(shù)．這個定理在如今已成為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的理論基礎(chǔ)．
這一時期柯爾莫哥洛夫繼續(xù)保持著研究概率論的興趣．1956年，他得到了用無窮可分律去一致逼近獨立同分布隨機(jī)變量的和的階為n-1/5．1963年他又改進(jìn)為n-1/3．1983年又被T．B．阿拉克(Apak)和A．Ю．沙以切夫(Эаицев)改進(jìn)為最佳階n-2/3．這個結(jié)果比經(jīng)典正態(tài)近似的貝萊-艾森(Berry－Essen)界n-1/2精確得多．
1956年他與Ю．B．普羅霍洛夫(Прохоров)合作的關(guān)于距離空間上概率的弱收斂的文章總結(jié)了他們所開創(chuàng)的取值于函數(shù)空間的概率測度的弱極限理論，這些理論和1955—1956年A．B．斯格羅霍特(Скороход)引進(jìn)的D空間理論構(gòu)成了弱極限理論中具劃時代性的成果．
60年代，柯爾莫哥洛夫又開創(chuàng)了兩個新的數(shù)學(xué)分支——演算信息論和演算概率論．對一個n位二進(jìn)列定義“復(fù)雜度”似乎很難避免某種任意性，他與R．J．索洛莫諾夫(Solomonoff)的基本發(fā)現(xiàn)是利用演算論可在不計有界項的差別的意義下定義“復(fù)雜度”，并使其任意性受到限制．在演算概率論中的一個重要問題是如何判斷一個二進(jìn)數(shù)列是隨機(jī)的，馮·米賽斯早在20世紀(jì)初就提出：一個二進(jìn)列為隨機(jī)的，如果它對一類按某種容許選擇規(guī)則選定的子列都有相對穩(wěn)定的0出現(xiàn)率．柯爾莫哥洛夫在1963年拓廣了這種選擇規(guī)則(稱之為頻率法)．隨后又與他的學(xué)生P．馬丁-洛夫(Martin－L f)和L．A．列溫(Levin)用極大復(fù)雜度來定義隨機(jī)性的新概念．1986年他和烏斯賓斯基在伯努利協(xié)會首屆國際會議上作了“演算和隨機(jī)性”的大會報告，這是隨機(jī)性演算方法的極為重要的綜述．
從60年代開始至1985年，柯爾莫哥洛夫一直保持著對語言學(xué)統(tǒng)計研究的興趣．他引入了語言的熵，并把它分成語義信息與語言信息(剩余熵)，開創(chuàng)了語言統(tǒng)計學(xué)的新領(lǐng)域．
柯爾莫哥洛夫的開創(chuàng)性工作在數(shù)學(xué)的一系列重要領(lǐng)域中提供了新方法，打開了新思路，開辟了新方向，揭示了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域間的本質(zhì)聯(lián)系，并廣泛地提供了它們在物理、化學(xué)、氣象、生物、力學(xué)、工程、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、金屬結(jié)晶學(xué)、控制論、計算機(jī)、比較語言學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用前景．他創(chuàng)造的大量構(gòu)造方法和基本引理至今在不同領(lǐng)域中經(jīng)常引用，其中絕大部分都已成為教科書和專著中的經(jīng)典內(nèi)容．
他的選集已出版了三卷：第一卷《數(shù)學(xué)與力學(xué)》，致力于確定性現(xiàn)象，也可以說是涉及“序”的領(lǐng)域；第二卷《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》涉及隨機(jī)過程與混沌現(xiàn)象；第三卷《信息論與算法論》，其基本思想是：序和隨機(jī)及混沌之間并無明確界限．把隨機(jī)性的思想歸結(jié)為算法復(fù)雜性，力圖揭示“序”與“混沌”的本質(zhì)，是他開創(chuàng)生涯的統(tǒng)一源泉．在這觀念下，他所研究的所有方面似乎都能融化為一體，統(tǒng)一的思想聯(lián)系著概率論思想、算法論與數(shù)理邏輯結(jié)構(gòu)、信息論方法與概念、動力系統(tǒng)與遍歷論，以及研究自然現(xiàn)象的試圖．而他的許多早期工作，包括函數(shù)論、描述集合論等都可視為他實現(xiàn)這一宏圖的前奏．
他的主要貢獻(xiàn)可以概括為：繼承了牛頓、拉普拉斯、龐加萊的路線，試圖解釋太陽系運動永恒性的奧秘，并在這個問題上得到了滿意的成果；解決了關(guān)于多變量函數(shù)基本結(jié)構(gòu)的希爾伯特第13問題；開創(chuàng)了無后效過程的理論研究，在此基礎(chǔ)上統(tǒng)一了傅里葉、普朗克、愛因斯坦、斯摩羅霍夫斯基的思想；發(fā)現(xiàn)了新的湍流統(tǒng)計規(guī)律，本質(zhì)上發(fā)展了泰勒與馮·卡門理論；與辛欽、維納一起給出了弱平穩(wěn)過程的構(gòu)造，并解決了信號濾波問題(現(xiàn)已成為石油探測數(shù)據(jù)處理中的重要數(shù)學(xué)方法)；引進(jìn)了大量十分重要的數(shù)學(xué)概念(如線性拓?fù)淇臻g、上同調(diào)、動力系統(tǒng)的熵、柯爾莫哥洛夫復(fù)雜性等)；對許多重要的基本概念作出了精辟的解釋(如測度、積分、導(dǎo)數(shù)等)；研究了數(shù)學(xué)邏輯的基本結(jié)構(gòu)；開創(chuàng)了十多個新的研究方向，并給出新方法．
柯爾莫哥洛夫進(jìn)行科學(xué)研究的特點是：幾乎在他所關(guān)心的所有領(lǐng)域，都首先創(chuàng)建了幾個基本原理，接著讓他的學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行研究，達(dá)到深入完備的程度，最后吸引大量研究人員加入，寫綜合報道，出專集，開交流會議，形成科學(xué)方向和學(xué)派．他是他的學(xué)生領(lǐng)導(dǎo)的許多學(xué)派的奠基人．
對于學(xué)生，柯爾莫哥洛夫為他們創(chuàng)造了要求嚴(yán)格而且神圣的科學(xué)研究氣氛．他具有激發(fā)他們創(chuàng)造力的能力，發(fā)現(xiàn)適合每個人特點的問題和任務(wù)．他與他們分享自己的思想，這些都使他的學(xué)生銘刻終生，
從30年代起，他就致力于領(lǐng)導(dǎo)全國數(shù)學(xué)奧林匹克，定時地給學(xué)生講課．但是，他認(rèn)為它的意義不僅在于體育式的競賽，更重要的是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)天才并給他們以較為全面的數(shù)學(xué)知識訓(xùn)練而不是只教他們作一些特殊問題以便奪取冠軍．他指出：奧賽的成功固然值得高興與驕傲，但是失敗了也不必傷感到看不見自己的能力，“在非常局限的時間內(nèi)解答問題常使許多人感到困惑，而有些數(shù)學(xué)問題只可能在經(jīng)長時間的孜孜不倦地冥思苦索，并引進(jìn)新概念后才能得到解決．蘇聯(lián)著名拓?fù)鋵W(xué)家亞歷山德羅夫就解決了很多這類問題，這并非偶然．亞歷山德羅夫多次說，他年輕時幸而沒有數(shù)學(xué)奧賽，否則就很有可能使他不能成為數(shù)學(xué)家．亞歷山德羅夫在數(shù)學(xué)上的成就絕非智慧火花的閃爍，而是長期深思熟慮的成果．”柯爾莫哥洛夫認(rèn)為奧賽優(yōu)勝者常會停留在對類似于奧賽的問題作精細(xì)加工，而并未達(dá)到解決那些需要冗長的推理和研究的數(shù)學(xué)問題的水準(zhǔn)．為了補(bǔ)救這個不足，他及其他教授們就給優(yōu)勝者舉辦暑期學(xué)校，給他們講課(如有限域與布爾代數(shù)、集論、群論、力學(xué)、數(shù)論等)，并在莫斯科大學(xué)附設(shè)數(shù)理學(xué)校，讓學(xué)生做大量習(xí)題，解決實際問題，還伴以音樂、文學(xué)、體育等活動．
他具有發(fā)現(xiàn)重要數(shù)學(xué)概念的能力，亞歷山德羅夫詼諧地說過，數(shù)學(xué)天才有敏捷型與遲緩型兩種，柯爾莫哥洛夫?qū)儆谇罢?，而希爾伯特屬于后者．然而柯爾莫哥洛夫的思想還不如他自己的洞察力與掌握問題的能力更敏捷，一些模糊而粗線條的“輪廓”常引起他的注意，并且立即被他納進(jìn)他的有次序而完備的系統(tǒng)中去，以求得到最終的解決．他對經(jīng)典力學(xué)、遍歷論、函數(shù)的迭合等基本問題的模糊思想在30年代中期就已開始醞釀，直到50年代中期才達(dá)到最終的確切形式．
柯爾莫哥洛夫把創(chuàng)造性才能分為演算性的、幾何性的與邏輯性的．他非常善于與學(xué)生們交往，并把他們自己未意識到的能力發(fā)揮出來．
他喜愛旅行、滑雪、俄國詩與美術(shù)，尤其熱愛油畫與建筑．他與亞歷山德羅夫的交往是互補(bǔ)的，后者是音樂、戲劇的鑒賞家．柯爾莫哥洛夫從不夸談自己的成就、銜頭與地位，并不看重金錢與物質(zhì)條件，他把巴爾桑獎的獎金捐給了學(xué)校圖書館，而沃爾夫獎金他未曾去領(lǐng)?。聽柲缏宸驗榭茖W(xué)事業(yè)無私地貢獻(xiàn)了他的光輝的一生．
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