教師專業(yè)化發(fā)展的三大基石
理解數(shù)學，理解學生，理解教學。
“三個理解”的內涵：掌握豐富的數(shù)學學科知識；中小學數(shù)學課程結構體系、教學重點的知識；學生數(shù)學學習難點的知識；關于重點知識的教學解釋的知識；關于評估學生的知識理解水平的知識；等。特別是，“內容所反映的數(shù)學思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學所能達到的水平和效果。
一、關于數(shù)學的整體性
整體是事物的一種真實存在形式。數(shù)學是一個整體。
數(shù)學的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯(lián)系上，同時也體現(xiàn)在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上——縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。
學生的學習是循序漸進、逐步深入的，概念要逐個學，知識要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學中的核心問題。
1. 從數(shù)及其運算看數(shù)學的整體性
在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺一致，天經(jīng)地義。然而，0、負整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)、復數(shù)取得“合法”地位，都經(jīng)歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學生返璞歸真地擇要經(jīng)歷這個過程，對他們理解數(shù)學的整體性、感受數(shù)學研究的“味道”很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力的極好途徑。
數(shù)系擴充的基本思想
數(shù)學推廣過程的一個重要特性是：使得在原來范圍內成立的規(guī)律在更大的范圍內仍然成立。
數(shù)系的擴充：引入一種新的數(shù)（如何引）；定義運算（如何定義）；研究運算律（什么叫運算律）。
擴充的基本原則是：使算術運算的運算律保持不變。
“有理數(shù)”的結構
背景引入——現(xiàn)實的背景、數(shù)學內在的邏輯必然性；
定義——外延列舉式；
表示——符號、圖形；
分類——分類標準的確定；
性質——相反數(shù)、絕對值、大小關系等；
運算和運算律——如何定義運算法則？運算法則需要證明嗎？運算律與運算法則的關系？運算律如何證明？為什么（－1）×（－1）≠－1？
為什么說在有理數(shù)乘法法則的教材設計中，滲透了數(shù)系擴充的基本思想—算術運算的運算律保持不變？
研究一個數(shù)學對象的基本套路
背景（現(xiàn)實需要、數(shù)學發(fā)展的需要）——定義、表示、分類——性質——運算——聯(lián)系和應用。
2.從字母表示數(shù)發(fā)展出的代數(shù)學
代數(shù)學的根源在于代數(shù)運算，代數(shù)學要研討的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題。
用字母表示數(shù)，就要研究各種代數(shù)式的運算問題——如何進行代數(shù)式的加、減、乘、除、乘方、開方，運算的依據(jù)是什么，就要研究代數(shù)式的相等和不等，就要研究運算性質等。
3. 課例“同底數(shù)冪的乘法”
立意：構建一個前后一致、邏輯連貫的代數(shù)學習過程，使學生在掌握知識的過程中學會思考，把學生培養(yǎng)成為善于認識問題、善于解決問題的人才。
關注的重點：數(shù)學的整體性，代數(shù)基本思想，運算技能，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。
（1）為什么要學習本章內容？
運算——代數(shù)學的根源在于代數(shù)運算，代數(shù)學這門學問所要研討的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題。
整式本身就是運算的結果；整式中的數(shù)和字母都滿足運算律；
整式的運算就是對數(shù)、字母符號運用運算律所進行的形式運算；
前面已經(jīng)學習整式的加減（利用分配律去括號，再合并同類項）。
接下來自然要學習整式的乘法、除法等。
兩個多項式相乘——（用分配律）轉化為單項式的乘積之和式——用乘法的交換律、結合律和冪的運算性質（指數(shù)法則）得到單項式的乘積。所以，多項式乘法的基礎是單項式的乘法，而單項式的乘法又以冪的運算性質為基礎。
通過歸納可以發(fā)現(xiàn)，冪的運算最基本的形式是三類：am·an，(am)n，(ab)n。
“整式的乘法”的邏輯線索
同底數(shù)冪的乘法——冪的乘方——積的乘方——單項式的乘法——單項式乘多項式——多項式乘多項式——乘法公式（特殊的多項式乘法）
（2）如何開篇？
重點：構建“先行組織者”，使學生明確本章的學習主線。
思路一 從整體出發(fā)，逐漸分化——從整式運算的整體出發(fā)，引導學生從宏觀到微觀，逐步尋找整式的乘法所需要的邏輯基礎，將研究的問題具體化，進而構建整體研究思路，然后再按照知識的邏輯順序逐步展開學習。
思路二從一個“實際問題”出發(fā)，直接提出同底數(shù)冪的乘法的學習任務，再采用從具體到抽象的方法，從具體數(shù)字的運算中歸納出同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等運算法則。
顯然，前一種立意高，思想性強，“數(shù)學味”更濃，課題的引入更加自然而水到渠成，能使學生切實地感受到學習同底數(shù)冪的乘法的必要性，同時還能更好地落實“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力的培養(yǎng)”。這樣的安排，更加符合數(shù)學法則產生的原來面目，完美地體現(xiàn)了數(shù)學的整體觀，課堂更加大氣，能給學生更多智慧的啟迪，思維的教學更加到位。
學生已經(jīng)學過整式的概念、加減運算，從“數(shù)式通性”的角度說，學習同底數(shù)冪的乘法的基礎（即數(shù)的乘方）很牢固，因此，用前一種方式引入，不僅更能體現(xiàn)數(shù)學的整體性，更有利于創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，數(shù)學的思維訓練價值更能得到充分發(fā)揮，而且也與學生的認知準備相適應，更能體現(xiàn)學習的自主性，也更能激發(fā)學生的學習主動性。
（3）落實“有效、有系統(tǒng)地算”
一是同底數(shù)冪的乘法法則，解決算理的問題，實現(xiàn)“有系統(tǒng)地算”；二是如何用法則進行有效計算，實際上是進行運算技能的訓練，提高運算能力，實現(xiàn)“有效地算”。
訓練運算技能是代數(shù)教學的基本任務，本節(jié)課的“訓練點”在兩個方面。一是“用同底數(shù)冪的乘法法則進行計算”，關鍵是解決“把不同底轉化為同底”，這是知識與方法的角度；二是運算習慣的培養(yǎng)，與“數(shù)感”、“符號意識”等相關，具體可以從“先觀察，后計算”、“先定符號，再算絕對值”等方面著手。
（4）關注代數(shù)的基本思想
從運算的角度提出問題——代數(shù)學的根源在于運算；
運算律（特別是分配律）是解決各種各樣代數(shù)問題的核心；
歸納地去探究、發(fā)現(xiàn)，歸納地定義，然后再歸納地論證。
小結
本課內容簡單，沒有難點。但從注重數(shù)學的整體性，強調代數(shù)基本思想，加強運算技能以及發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力等角度看，又有許多值得注意的問題，需要在課題的引入、同底數(shù)冪的乘法法則的得出、法則的應用等環(huán)節(jié)加強思考，努力為學生構建一個前后一致邏輯連貫的代數(shù)學習過程，使他們在掌握知識的過程中學會思考，把他們培養(yǎng)成為善于認識問題、善于解決問題的人才。這是“數(shù)學育人”的康莊大道。
二、關于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)
數(shù)學是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學知識需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對事物的認知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。
例 研究“三角形” 的系統(tǒng)思維
定義“三角形”，明確它的構成要素；用符號表示三角形及其構成要素；以要素為標準對三角形進行分類；——明確研究對象
基本性質，即研究要素之間的關系，得到“三角形內角和等于180°”等；
研究“相關要素及其關系”，如“三角形的外角等于不相鄰兩內角之和”等；
三角形的全等（反映空間的對稱性，“相等”是重要的數(shù)學關系，也可以看成“確定一個三角形的條件”）；
特殊三角形的性質與判定（等腰三角形、直角三角形）；
三角形的變換（如相似三角形等）；
直角三角形的邊角關系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；
解三角形（正弦定理、余弦定理）。
把三角形作為一個系統(tǒng)進行研究
明確研究對象（定義、表示、劃分）
——性質（要素、相關要素的相互關系）——特例（性質和判定）——聯(lián)系；
定性研究（相等、不等、對稱性等）——定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。
培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學生養(yǎng)成全面思考問題的習慣，避免“見木不見林”，進而使他們在面對數(shù)學問題時，能把解決問題的目標、實現(xiàn)目標的過程、解決過程的優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”就能落在實處。
什么叫性質？性質是指事物所具有的本質，即事物內部穩(wěn)定的聯(lián)系。
問題：這里的“事物內部”指什么？“穩(wěn)定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系”？
從三角形的“內角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？
“內部”可以是“三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系”是指“三角形要素之間確定的關系”。
幾何對象組成要素之間確定的關系就是性質。
從“外角等于不相鄰兩內角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？
把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關要素，這些“相關要素”也可以看成是“三角形的內部”。
要素、相關要素之間確定的關系也是性質。
兩個幾何事物所形成的某種位置關系所體現(xiàn)的性質，例如兩條直線平行，從“同位角相等”、“內錯角相等”以及“同旁內角互補”可以想到，這時的“性質”是借助“第三條直線”構成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系所決定的這些角之間有什么確定的關系。
研究兩個幾何事物的某種位置關系下具有什么性質，可以從探索這種位置關系下的兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關系入手。
圓的幾何性質
要素、相關要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角……
你認為可以怎樣引導學生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？
同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何一條弦；
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；
在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對的弦較大（弦心距較小）；逆定理也成立。
切線垂直于過切點的半徑。
過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。
你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關的定理嗎？
總結：
數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學是思維的教學。
要讓學生學會發(fā)現(xiàn)，就必須使他們擁有發(fā)現(xiàn)的眼光；
要讓學生學會探究，就必須使他們擁有探究的方法；
要讓學生學會創(chuàng)造，就必須使他們擁有創(chuàng)造的智慧。
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