發(fā)表于 2012年10月25號 由 rickjin

（六)開疆?dāng)U土，正態(tài)分布的進(jìn)一步發(fā)展

2.進(jìn)軍近代統(tǒng)計(jì)學(xué)

花開兩朵，各表一枝。上面說了圍繞正態(tài)分布在概率論中的發(fā)展，現(xiàn)在來看看正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中發(fā)展的故事。 這個故事的領(lǐng)銜主演是 Adolphe Quetelet和高爾頓(Galton)。

由于高斯的工作，正態(tài)分布在誤差分析迅速確定了自己的定位，有了這么好的工具，我們可能拍腦袋就認(rèn)為，正態(tài)分布很快 就被人們用來分析其它的數(shù)據(jù)，然而事實(shí)卻出乎我們的意料，正態(tài)分布進(jìn)入社會領(lǐng)域和自然科學(xué)領(lǐng)域，可是經(jīng)過一番周折的。

首先我要告訴大家一個事實(shí)：誤差分析和統(tǒng)計(jì)學(xué)是兩個風(fēng)馬牛不相及的兩個學(xué)科。 當(dāng)然這個事實(shí)存在的時間是19世紀(jì)初之前。統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生最初是與“編制國情報(bào)告”有關(guān)，主要服務(wù)于政府部門。 統(tǒng)計(jì)學(xué)面對的是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，是對多個不同對象的測量；而誤差分析研究的是觀測數(shù)據(jù)， 是對同一個對象的多次測量。因此觀測數(shù)據(jù)和 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)在當(dāng)時被認(rèn)為兩種不同行為獲取得到的數(shù)據(jù)，適用于觀測數(shù)據(jù)的規(guī)律未必適用于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。 19世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析處于一個很落后的狀態(tài)，和概率論沒有多少結(jié)合。 而概率論的產(chǎn)生主要和賭博相關(guān)，發(fā)展過程中與誤差分析緊密聯(lián)系， 而與當(dāng)時的統(tǒng)計(jì)學(xué)交集非常小。將統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論真正結(jié)合起來推動數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的便是我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)巨星Quetelet。

Quetelet這名字或許不如其它數(shù)學(xué)家那么響亮，估計(jì)很多人不熟悉，所以有必要介紹一下。 Quetelet是比利時人，數(shù)學(xué)博士畢業(yè)，年輕的時候曾追誰拉普拉斯學(xué)習(xí)過概率論。 此人學(xué)識淵博，涉獵廣泛，腦門上的桂冠包括統(tǒng)計(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、社會學(xué)家、 國際統(tǒng)計(jì)會議之父、近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之父、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派創(chuàng)始人。 Quetelet 的最大的貢獻(xiàn)就是將法國的古典概率引入統(tǒng)計(jì)學(xué)，用純數(shù)學(xué)的方法對社會現(xiàn)象進(jìn)行研究。

1831年，Quetelet參與主持新建比利時統(tǒng)計(jì)總局的工作。他開始從事有關(guān)人口問題的統(tǒng)計(jì)學(xué)研究。 在這種研究中，Quetelet發(fā)現(xiàn),以往被人們認(rèn)為雜亂無章的、偶然性占統(tǒng)治地位的社會現(xiàn)象， 如同自然現(xiàn)象一樣也具有一定的規(guī)律性。 Quetelet 搜集了大量關(guān)于人體生理測量的數(shù)據(jù)，如體重、身高與胸圍等，并使用概率統(tǒng)計(jì)方法來 對數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。但是當(dāng)時的統(tǒng)計(jì)分析方法遭到了社會學(xué)家的質(zhì)疑， 社會學(xué)家們的反對意見主要在于：社會問題 與科學(xué)實(shí)驗(yàn)不同，其數(shù)據(jù)一般由觀察得到，無法控制且經(jīng)常不了解其異質(zhì)因素，這樣數(shù)據(jù) 的同質(zhì)性連帶其分析結(jié)果往往就有了問題，于是社會統(tǒng)計(jì)工作者就面臨一個如何判 斷數(shù)據(jù)同質(zhì)性的問題。Quetelet大膽地提出：

把一批數(shù)據(jù)是否能很好地?cái)M合正態(tài)分布，作為判斷該批數(shù)據(jù)同質(zhì)的依據(jù)。

Quetelet提出了一個使用正態(tài)曲線擬合數(shù)據(jù)的方法，并廣泛的使用正態(tài)分布去擬合各種類型的數(shù)據(jù)。 由此， Quetelet為正態(tài)分布的應(yīng)用拓展了廣闊的舞臺。 正態(tài)分布如同一把屠龍刀，在Quetelet 的帶領(lǐng)下，學(xué)者們揮舞著這把寶刀在各個領(lǐng)域披荊斬棘， 攻陷了人口、領(lǐng)土、政治、農(nóng)業(yè)、工業(yè)、商業(yè)、道德等社會領(lǐng)域， 并進(jìn)一步攻占天文學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、社會統(tǒng)計(jì)學(xué)及氣象學(xué)等自然科學(xué)領(lǐng)域。

正態(tài)分布的下一個推動力來自生物學(xué)家高爾頓，當(dāng)正態(tài)分布與生物學(xué)聯(lián)姻時，近代統(tǒng)計(jì)學(xué)迎來了一次大發(fā)展。 高爾頓是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的奠基人，他的表哥達(dá)爾文的巨著《物種起源》問世以后，觸動他用統(tǒng)計(jì)方法研究遺傳進(jìn)化問題。 受Quetelet的啟發(fā)，他對正態(tài)分布懷有濃厚的興趣，開始使用正態(tài)分布去擬合人的身高、胸圍、以至考試成績等各類數(shù)據(jù)， 發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布擬合得非常好。他因此相信正態(tài)曲線是適用于無數(shù)情況的一般法則。

然而，對高爾頓而言，這個無處不在的正態(tài)性給他帶來一些困惑。他考察了親子兩代的身高數(shù)據(jù)， 發(fā)現(xiàn)遵從同一的正態(tài)分布，遺傳作為一個顯著因素是如何發(fā)揮作用的？1877年， 高爾頓設(shè)計(jì)了一個 叫高爾頓釘板(quincunx, 或者Galton board)的裝置，模擬正態(tài)分布的性質(zhì)用于解釋遺傳現(xiàn)象。

如下圖中每一點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等。 當(dāng)小圓球向下降落過程中，碰到釘子后皆以 12 的概率向左或向右滾下。 如果有n排釘子，則各槽內(nèi)最終球的個數(shù)服從二項(xiàng)分布 B(n,1/2), 當(dāng)

較大的時候，接近正態(tài)分布。

高爾頓釘板

設(shè)想在此裝置的中間某個地方 AB 設(shè)一個擋板把小球截住，小球?qū)⒃贏B處聚成正態(tài)曲線形狀，如果擋板上 有許多閥門，打開一些閥門，則在底部形成多個大小不一的正態(tài)分布，而最終的大正態(tài)分布正式這些小 正態(tài)分布的混合。

高爾頓釘板解釋遺傳現(xiàn)象

高爾頓利用這個裝置創(chuàng)造性的把正態(tài)分布的性質(zhì)用于解釋遺傳現(xiàn)象。 他解釋說身高受到顯著因素和其它較小因素的影響，每個因素的影響可以表達(dá)為 一個正態(tài)分布。遺傳作為一個顯著因素，類似圖中底部大小不一的正態(tài)分布中的比較大的正態(tài)分布， 而多個大小不一正態(tài)分布累加之后其結(jié)果任然得到一個正態(tài)分布。

高爾頓在研究身高的遺傳效應(yīng)的時候，同時發(fā)現(xiàn)一個奇特的現(xiàn)象：高個子父母的子女，其身高有 低于其父母身高的趨勢，而矮個子父母的子女，其身高有高于其父母的趨勢，即有“回歸”到普通人平均身高 去的趨勢，這也是“回歸”一詞最早的含義。高爾頓用二維正態(tài)分布去擬合父代和子代身高的數(shù)據(jù)， 同時引進(jìn)了回歸直線、相關(guān)系數(shù)的概念，從而開創(chuàng)了回歸分析這門技術(shù)。

可以說，高爾頓是用統(tǒng)計(jì)方法研究生物學(xué)的第一人，他用實(shí)際行動開拓了Quetelet的思想； 為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。 無論是 Quetelet 還是高爾頓，他們的統(tǒng)計(jì)分析工作都是以正態(tài)分布為中心的， 在他們的影響下，正態(tài)分布獲得了普遍認(rèn)可和廣泛應(yīng)用，甚至是被濫用， 以至有些學(xué)者認(rèn)為19世紀(jì)是正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占統(tǒng)治地位的時代。

3. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)三劍客

最后，我們來到了20世紀(jì)，正態(tài)分布的命運(yùn)如何呢？ 如果說19世紀(jì)是正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷的話，20世紀(jì)則是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)蓬勃發(fā)展、百花齊放的時代。 1901年，高爾頓和他的學(xué)生卡爾.皮爾遜(Karl Pearson)、韋爾登（W.F.R Weldon) 創(chuàng)辦《生物計(jì)量(Biometrika)》雜志，成為生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的一面旗幟，引導(dǎo)了現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的大發(fā)展。 統(tǒng)計(jì)學(xué)的重心逐漸由歐洲大陸向英國轉(zhuǎn)移，使英國在以后幾十年數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的黃金時代充當(dāng)了領(lǐng)頭羊。

在20世紀(jì)以前，統(tǒng)計(jì)學(xué)所處理的數(shù)據(jù)一般都是大量的、自然采集的，所用的方法以 拉普拉斯中心極限定理為依據(jù)，總是歸結(jié)到正態(tài)。到了19世紀(jì)末期，數(shù)據(jù)與正態(tài)擬合不好的情況也日漸為人們所注意： 進(jìn)入20世紀(jì)之后，人工試驗(yàn)條件下所得數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析問題，日漸被人們所重視。 由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)量有限，那種依賴于近似正態(tài)分布的傳統(tǒng)方法開始招致質(zhì)疑，這促使人們研 究這種情況下正確的統(tǒng)計(jì)方法問題

在這個背景之下，統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布χ2分布、t分布、F分布逐步登上歷史舞臺。 這三大分布現(xiàn)在的理科本科生都很熟悉。在歷史上，這三個分布和來自英國的現(xiàn)代數(shù)理 統(tǒng)計(jì)學(xué)的三大劍客有著密切的關(guān)系。

第一位劍客就是卡爾.皮爾遜(Karl Pearson)，手中的寶劍就是χ2分布。 χ2分布這把寶劍最早的鍛造者其實(shí)是物理學(xué)家麥克斯韋， 他在推導(dǎo)空氣分子的運(yùn)動速度的分布的時候，發(fā)現(xiàn)分子速度在三個坐標(biāo)軸上的分量是正態(tài)分布， 而分子運(yùn)動速度的平方v2符合自由度為3的χ2分布。麥克斯韋雖然造出了這把寶劍， 但是真正把它揮舞得得心應(yīng)手、游刃有余的是皮爾遜。在分布曲線 和數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，χ2分布可是一個利器，而皮爾遜的這個工作被認(rèn)為是假設(shè)檢驗(yàn)的開山之作。 皮爾遜繼承了高爾頓的衣缽，統(tǒng)計(jì)功力深厚，在19世紀(jì)末20世紀(jì)初很長的一段時間里，一直被數(shù)理統(tǒng)計(jì)武林 人士尊為德高望重的第一大劍客。

第二位劍客是戈塞特(Gosset)，筆名是大家都熟悉的學(xué)生氏(Student)，而他手中的寶劍是t 分布。戈塞特是化學(xué)、數(shù)學(xué)雙學(xué)位，依靠自己的化學(xué)知識進(jìn)釀酒廠工作， 工作期間考慮釀酒配方實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)問題，追誰卡爾.皮爾遜學(xué)習(xí)了一年的統(tǒng)計(jì)學(xué)， 最終依靠自己的數(shù)學(xué)知識打造出了t分布這把利劍而青史留名。 1908年，戈塞特提出了正態(tài)樣本中樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比值的分布， 并給出了應(yīng)用上及其重要的第一個分布表。戈塞特在t分布的工作是開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)的先河。

第三位劍客是費(fèi)希爾(R.A.Fisher)，手持F分布這把寶劍，在一片荒蕪中開拓出方差分析的肥沃土地。 F分布就是為了紀(jì)念費(fèi)希爾而用他的名字首字母命名的。 費(fèi)希爾劍法飄逸，在三位劍客中當(dāng)屬費(fèi)希爾的天賦最高，各種兵器的使用都得心應(yīng)手。 費(fèi)希爾統(tǒng)計(jì)造詣極高，受高斯的啟發(fā)，系統(tǒng)的創(chuàng)立了極大似然估計(jì)劍法，這套劍法現(xiàn)在被尊為 統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)估計(jì)中的第一劍法。

費(fèi)希爾還未出道，皮爾遜已經(jīng)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的武林盟主了，兩人歲數(shù)相差了33歲，而戈塞特介于他們中間。 三人在統(tǒng)計(jì)學(xué)擂臺上難免切磋劍術(shù)。費(fèi)希爾天賦極高，年少氣盛；而皮爾遜為人強(qiáng)勢， 占著自己武林盟主的地位，難免固執(zhí)己見，以大欺小；費(fèi)希爾著實(shí)受了皮爾遜不少氣。 而戈塞特性格溫和，經(jīng)常在兩人之間調(diào)和。畢竟是長江后浪推前浪，一代新人換舊人， 在眾多擂臺比試中，費(fèi)希爾都技高一籌，而最終取代了皮爾遜成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)第一大劍客。

由于這三大劍客和統(tǒng)計(jì)三大分布的出現(xiàn)，正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中不再是一枝獨(dú)秀， 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的領(lǐng)地基本上是被這三大分布搶走了半壁江山。不過這對正態(tài)分布而言并非壞事，我們細(xì)看這三大分布的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié): 假設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量 Xi～N(0,1),Yj～N(0,1)(i=1?n,j=1?m)，則滿足 三大分布的隨機(jī)變量可以如下構(gòu)造出來

• χ2n=X21+?+X2n
• t=Y1X21+?+X2nn????????√
• F=X21+?+X2nnY21+?+Y2mm

你看這三大分布哪一個不是正態(tài)分布的嫡系血脈，沒有正態(tài)分布就生不出χ2分布、t分布、F分布。所以正態(tài) 分布在19世紀(jì)是武則天，進(jìn)入二十世紀(jì)就學(xué)了慈禧太后，垂簾聽政了。 或者，換個角度說，一個好漢三個幫，正態(tài)分布如果是孤家寡人恐怕也難以雄霸天下， 有了統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布作為開國先鋒為它開疆拓土，正態(tài)分布真正成為傲世群雄的君王。

20世紀(jì)初，統(tǒng)計(jì)學(xué)這三大劍客成為了現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人。以哥塞特為先驅(qū)，費(fèi)歇爾為主將， 掀起了小樣本理論的革命，事實(shí)上提升了正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，除了以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的小樣本理論獲得了空前的勝利，其它分布上都沒有成功的案例， 這不能不讓人對正態(tài)分布刮目相看。在隨后的發(fā)展中，相關(guān)回歸分析、多元分析、方差分析、因子分析、 布朗運(yùn)動、高斯過程等等諸多統(tǒng)計(jì)分析方法陸續(xù)登上了歷史舞臺， 而這些和正態(tài)分布密切相關(guān)的方法，成為推動現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)飛速發(fā)展的一個強(qiáng)大動力。

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