有效的數(shù)學學習往往顯示為三個特點：一是母題意識或例題意識。二是適度超前學習。三是通過猜想和類比的方式來獲得“解題”的直覺或靈感。
一、適度超前學習：為什么數(shù)學學習特別容易掉隊？
學習任何一門學科都需要學生自學，但是，在語文、數(shù)學、外語、歷史、地理等各種學科之中，數(shù)學尤其需要自學，尤其需要超前學習。原因在于，聽講式的學習總是容易走神、開小差。無論教師如何提醒學生“上課認真聽講”、“不做小動作”，“要集中注意力”，“不要開小差”，但學生總會在某個時刻走神而想入非非。
在其他學科比如語文或歷史的課堂教學中，學生偶爾走神、開小差之后尚可以覺醒而繼續(xù)聽講，只要繼續(xù)聽講，就可以繼續(xù)領會，回頭是岸。甚至，若學生因意外事故中斷一周或一個月的語文聽課，學生再次返回語文課堂時，依然可以順利地延續(xù)學習。
但是，數(shù)學的教材以及教學與其他學科的教材和教學有顯著差異。語文、歷史等學科的教材以及教學呈現(xiàn)為“蘋果袋式”的結構，人們可以從蘋果袋中在任何時間任何地點取出一個蘋果。但是，數(shù)學的教材以及教學呈現(xiàn)為臺階式的結構。學生如果因開小差或其他原因沒有爬過第一級階梯，那么，他尚可能艱難地直接跳躍到第二級階梯。可是，如果學生因開小差或其他原因沒有爬過第一級和第二級階梯，那么，他就幾乎不可能飛躍到第三級階梯。因此，在數(shù)學課堂教學中，學生如果偶爾走神、開小差或其他意外事故而中斷三五天的數(shù)學學習之后，學生再次回頭聽課時，就很難聽懂數(shù)學老師的講課。
既然學生在聽課過程中走神、開小差是不可避免的，既然數(shù)學的教材以及教學呈現(xiàn)為臺階式的結構，那么，為了不讓自己在數(shù)學學習中掉隊，學生學習數(shù)學的唯一辦法是選擇“自學”的道路并由此而進入“超前學習”的狀態(tài)。
學生在自學數(shù)學的過程中雖然最初會感到困難，但是，學生一旦以自學的方式對待數(shù)學，數(shù)學教材就被轉化為類似語文、歷史等學科的結構。學生可以在任何時刻任何地方開始自學數(shù)學，而且，學生可以在暫停學習數(shù)學之后并不因暫時的中斷而被淘汰出局，因為，學生可以在暫時中斷自學數(shù)學之后在任何時刻任何地方重新開始自學數(shù)學。
適度超前還有一個好處：它可以讓孩子具有數(shù)學的整體意識，具有德國數(shù)學家克萊因倡導的“高觀點下的初等數(shù)學”意識。
“高觀點下的初等數(shù)學”可以有多重解釋，它在這里至少意味著整體教學或整體學習。比如，當學生初次接觸某個初級的數(shù)學知識時，可能會被這個新的陌生的數(shù)學知識擋住了學習的去路。但是，當學生對那些相關的數(shù)學知識有所了解，或者，當學生了解了這個新的陌生的數(shù)學知識的來龍去脈時，這個初級的數(shù)學知識可能就立刻顯得簡單而“小菜一碟”。
適度超前學習數(shù)學之所以重要，也正因為適度超前學習可以讓孩子在學習了比較“高難度”的數(shù)學之后，再回頭學習“低年段”的數(shù)學時，他會發(fā)現(xiàn)低年段的數(shù)學原來那么簡單。會當凌絕頂，一覽眾山小。
二、強化母題意識或例題意識，從答題者變?yōu)槊}者
數(shù)學課本有一個特色，這個特色為自學數(shù)學提供了便利。這個特色就是：數(shù)學課本往往是例題加練習題。先有例題，然后有練習題。如果學生能夠閱讀并理解例題，學生就能夠做例題后面的練習題。因為練習題跟例題很像，它由例題演變而來。練習題就是例題的變式。例題也可以稱為“母題”，由例題變化而來的各種練習題可以稱為“子題”。自學數(shù)學時，要強化母題意識或例題意識。
家長和老師可以孩子多觀察練習題與例題之間的相似性或類似性。學會用例題（母題）的解題思路，去解答練習題（子題）。
不僅如此，家長和老師還可以引導孩子親自根據(jù)例題來編制各種類似的練習題，讓孩子由“答題者”轉換為“命題者”。由“答題者”轉換為“命題者”的第一個好處是，命題者的角色可以讓孩子不知不覺變得比較自信。孩子在考自己或考別人的過程中，他會產(chǎn)生主人、主體、小老師的體驗。由“答題者”轉換為“命題者”的第二個好處是，孩子會更加充分、更加徹底地理解例題。為了能夠變著花樣去考自己或考同學，他不得不回到例題（母題），完整而徹底地理解例題。只有完整而徹底地理解例題或母題了，他才有可能編制各種變式題。
三、數(shù)學中的猜想、類比與直覺
在數(shù)學教育研究領域，至少有三個學者提供了比較重要的學習思路：一個是前面提到的德國學者克萊因?？巳R因的書《高觀點下的初等數(shù)學》這個書名就提示了數(shù)學學習的重要思路。另外兩個人是美國學者波利亞和荷蘭學者弗萊登塔爾。波利亞在《怎樣解題》提出了一個重要概念：猜想。同樣，弗萊登塔爾在他的《作為教育任務的數(shù)學》中也強調了“猜想”對于數(shù)學學習的重要意義。
波利亞認為，“怎樣解題”的秘密是“猜想”（plausible reasoning，也譯為“合情推理”），也因此波利亞在發(fā)表《怎樣解題》之后再次以《數(shù)學與猜想》為主題專門討論了“怎樣解題”的問題。
在波利亞看來，有效的“猜想”是尋找題型之間的相似性，波利亞有時稱之為“類比”（analogy）。反過來說，“猜想”就是用“類比”的方式尋找題型之間的相似性?！邦惐取笔撬伎肌霸鯓咏忸}”的關鍵。
類比或猜想怎么產(chǎn)生？比較簡單的辦法依然是母題意識或例題意識。要想象眼前的這個考試題或練習題跟以前學到的哪個例題或母題是類似的。波利亞認為，“這是什么類型的問題”將有助于“怎樣解決這個問題”，因為“問題的類型能提示解法的類型”。也有研究者認為：“領悟和運用類比是數(shù)學創(chuàng)造的主要機制。類比在數(shù)學學習中也起著重要的作用，但是目前在學校里很少實際使用。”
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