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配合《全等三角形》教學(xué)進(jìn)度

（注：適合于人教版八年級(jí)上冊(cè)）

        幾何動(dòng)態(tài)問題，動(dòng)點(diǎn)是本質(zhì)。由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的動(dòng)線、動(dòng)面的過程中，探尋其隱含的不變量，是解決這類問題的關(guān)鍵，本講從一道典例出發(fā)，拓展延伸，分析由全等之不變量。

題目：已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）．以AD為邊作等邊三角形ADE，試探究點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易得△ABD≌△ACE，且為不變量，即點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，結(jié)論均成立；則有∠BACE=∠ABD=60°，進(jìn)而就可以得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為CE（CE∥AB且CE=AB）

思考1：點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑呢？

【分析】同理可得點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為過點(diǎn)C平行AB的直線.

拓展1：分別取BD、CE的中點(diǎn)M、N，連接AM、AN、MN，試判斷△AMN的形狀.

【分析】△AMN是等邊三角形，由不變量△ABD≌△ACE可以證明△ABM≌△ACN，然后利用它們的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等就可以證明結(jié)論．

例1.已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．

初步感知：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，①求證：∠ADB=∠AFC；②請(qǐng)直接判斷結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；

問題探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？請(qǐng)寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

類比分析：（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．

【分析】雖然背景從等邊三角形延伸為菱形，但問題的實(shí)質(zhì)并沒有發(fā)生變化，全等之不變量仍存在，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．

（1）①由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC；②由全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）此題應(yīng)先判斷得出正確的等量關(guān)系，然后再根據(jù)△ABD≌△ACF即可證明；

（3）補(bǔ)全圖形后由圖形，由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．

例2.已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE（其中AD=AE，∠DAE=90°A、D、E按逆時(shí)針排列），連接CE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，

①請(qǐng)寫出BD和CE之間存在數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

②AC=CE+CD的關(guān)系是否成立，并說明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，不證明．

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，不證明．

【分析】雖然背景從等邊三角形延伸為等腰直角三角形，但問題的實(shí)質(zhì)并沒有發(fā)生變化，全等之不變量仍存在，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．

（1）①根據(jù)AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，證△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；

②由△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，即可得出結(jié)論；

（2）求出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；

（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可．

問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，證明：BM=CN．

變式探究：如圖2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，點(diǎn)M為邊BC上任意一點(diǎn)，以AM為腰作等腰三角形AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，連接CN，請(qǐng)求出

解決問題：如圖3，在正方形ADBC中，點(diǎn)M為邊BC上一點(diǎn)，以AM為邊作正方形作AMEF，N為正方形AMEF的中心，連接CN，若正方形AMEF的邊長(zhǎng)為

【注】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理，解決本題的關(guān)鍵是相似三角形的判定，在（3）中注意方程思想在勾股定理中應(yīng)用．

若感興趣的同學(xué)，可以提前自學(xué)相關(guān)的章節(jié)

答案：（1）略，（2）2sin

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