四邊形的證明與計算
（時間：100分鐘 總分：100分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）
1．下列命題正確的是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是菱形；
B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；
D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.
2．平行四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四個角的度數比可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：2：3：3 D．1：2：2：3
3．如果菱形的邊長是a，一個內角是60°，那么菱形較短的對角線長等于（ ）
A．
4．用形狀、大小完全相同的圖形不能進行密鋪的是（ ）
A．任意三角形 B．任意四邊形 C．正五邊形 D．正四邊形
5．已知一個等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長，則這個等腰梯形中的較小的角的度數為（ ）
A．30° B．60° C．45° D．75°
6．已知四邊形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四個條件中，不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（ ）．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
7．如圖1，
A．1<m<11 B．2<m<22 C．10<m<12 D．5<m<6
（1） (2) (3) (4)
8．如圖2，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
9．如圖3，
A．S
C．圖中共有9個平行四邊形 D．S
10．如圖4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連結DF，則∠CDF等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．如圖5，
(5) (6) (7) (8)
12．如圖6，平行四邊形ABCD中，E是BC中點，且AE=9，BD=12，AD=10，則該平行四邊形的面積是_________．
13．已知菱形的周長為20cm，兩對角線之和為14cm，則菱形的面積為_____cm2．
14．以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2．
15．一個多邊形的每個外角都是36°，則這個多邊形的邊數是________．
16．矩形ABCD中，M是BC的中點，且MA⊥MD，若矩形的周長為48cm，則矩形ABCD的面積為_______cm2．
17．如圖7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內角的度數為_______．
18．如圖8，菱形ABCD的對角線長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是_______．
三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形時，四邊形AEDF是正方形．
20．如圖，
21．如圖，圓A、圓B、圓C、圓D、圓E、圓F相互外離，它們的半徑都是1，順次連結這六個圓心，得到六邊形ABCDEF．
求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．（2）求圖中陰影部分的面積之和．
22．如圖，
23．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4
24．如圖，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等圖形，則當正方形A′OB′C′繞正方形ABCD的中心O順時針旋轉的過程中．
（1）四邊形OECF的面積如何變化．
（2）若正方形ABCD的面積是4，求四邊形OECF的面積．
25．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB以3cm/s的速度向點B運動．P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達頂點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為ts，問t為何值時．
（1）四邊形PQCD是平行四邊形．（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形．
答案:
一、選擇題
1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D
二、填空題
11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．
三、解答題
19．證明：（1）
△BDE≌△CDF．
（2）由∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC知：
20．解：四邊形EBFD是平行四邊形．在
則OB=OD，OA=OC．又∵AE=CF，∴OE=OF．
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
21．解：（1）由多邊形內角和定理知：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°．
（2）S陰影=
22．解：四邊形AFCE是菱形．
∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴OA=OC，CE∥AF．
∴∠ECO=∠FAO，∠AFO=∠CEO．
∴△EOC≌△FOA，∴CE=AF．
而CE∥AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．
又∵EF是垂直平分線，∴AE=CE．
∴四邊形AFCE是菱形．
23．解：在梯形ABCD中由題設易得到：
△ABD是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．
過點D作DE⊥BC，則DE=
過點A作AF⊥BD于F，則AB=AD=4．
故S梯形ABCD=12+4
24．解：（1）四邊形OECF的面積不變．
因為在旋轉過程中，始終有△ODF≌△OCE，
故S四邊形OECF=S△OEC+S△OFC=S△OCD．
（2）由（1）知S四邊形OECF=S△OCD=
25．解：（1）∵PD∥CQ，∴當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形．
而PD=24-t，CQ=3t，
∴24-t=3t，解得t=6．
當t=6時，四邊形PQCD是平行四邊形．
（2）過點D作DE⊥BC，則CE=BC-AD=2cm．
當CQ-PD=4時，四邊形PQCD是等腰梯形．
即3t-（24-t）=4．∴t=7．
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