中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座
第九講 幾何圖形的歸納,猜想,證明問題
智康·劉豪
【前言】實(shí)行新課標(biāo)以來，中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。08年的中考填空壓軸是一道代數(shù)歸納題，已經(jīng)展現(xiàn)出了這種趨勢(shì)。09年的一模，二模也只是較少的區(qū)縣出了這種歸納題，然而中考的時(shí)候就出了一道幾何方面的n等分點(diǎn)總結(jié)問題。于是今年的一模二模，這種有關(guān)幾何的歸納，猜想問題鋪天蓋地而來，這就是一個(gè)重要的風(fēng)向標(biāo)。而且根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯(cuò)了這一道。對(duì)于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的，所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對(duì)這種新題型。
第一部分 真題精講
【例1】2010，海淀，一模
如圖，+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)
的面積為
，
的面積為
，…，
的面積為
，則= ；=____ （用含的式子表示）．
【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯(cuò)。但是如果不標(biāo)就會(huì)有同學(xué)誤以為所求的面積是,這種的,第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先所代表的三角形的底邊是三角形的底邊,而這個(gè)三角形和△是相似的.所以邊長(zhǎng)的比例就是與的比值.于是.接下來通過總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個(gè)最大的共性就是高相等,為（連接上面所有的B點(diǎn)，將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出 自然是所在邊上的n+1等分點(diǎn).例如就是的一個(gè)三等分點(diǎn).于是(n+1-1是什么意思?為什么要減1?)
【例2】2010，西城，一模
在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長(zhǎng)為1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn) 正方形，如圖，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)是_______個(gè)；若菱形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，（為正整數(shù)），則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)為_________（用含有的式子表示）．
【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€(gè)數(shù)，所以只需求出被X,Y軸所分的四個(gè)三角形包涵的個(gè)數(shù)，再乘以4即可。比如我們來看第二象限那個(gè)三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0）(0,n),自然可以寫出直線解析式為,斜率意味著什么?看上圖,注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形,這些RT三角形一共有2n/2=n個(gè),他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是?而且這些直角三角形都是全等的,面積均為兩個(gè)單位格點(diǎn)正方形的一半.那么整個(gè)的△AOB的面積自然就是,所有n個(gè)空白小三角形的面積之和為,相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積,也就是數(shù)量了.所以整個(gè)菱形的正方形格點(diǎn)就是.
【例3】2010，平谷，一模
如圖，，過上到點(diǎn)的距離分別為的點(diǎn)作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為
【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個(gè)直角梯形，而因?yàn)?/span>，所以梯形的上下底長(zhǎng)度分別都對(duì)應(yīng)了垂足到0點(diǎn)的距離,而高則是固定的2。第一個(gè)梯形上底是1，下底是3，所以.第二個(gè)梯形面積,第三個(gè)是,至此,我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個(gè)梯形的上底都是前一個(gè)梯形上底加上4。于是第n個(gè)梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一個(gè)梯形的上底1加上(n-1)個(gè)4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.
【例4】2010，豐臺(tái)，一模
在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．請(qǐng)你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點(diǎn)共有 個(gè)．
【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個(gè)關(guān)鍵就可以了。對(duì)于來說,每條邊的長(zhǎng)度是2n,那么自然整點(diǎn)個(gè)數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點(diǎn)一共有(2n+1)x4-4=8n(個(gè))(要減去四個(gè)被重復(fù)算的頂點(diǎn)),于是就是80個(gè).
【例5】2010，宣武，一模
【思路分析】本題依然要找出每個(gè)三角形和上一個(gè)三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點(diǎn)”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個(gè)三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個(gè)三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個(gè)45°。于是繞到第八次就可以和BC重疊了，此時(shí)邊長(zhǎng)為△ABC的，故而得解。
【例6】2010，門頭溝，一模
如圖，以等腰三角形的斜邊為直角邊向外作第個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊向外作第個(gè)等腰直角三角形，……，如此作下去，若，則第個(gè)等腰直角三角形的面積 ________（n為正整數(shù)）.
【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得，分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是
【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對(duì)于這類問題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個(gè)未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時(shí)，不妨先寫出第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會(huì)使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測(cè)出來結(jié)果了。這類題目計(jì)算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請(qǐng)考生細(xì)心掌握。
第二部分 發(fā)散思考
【思考1】2009，西城，二模
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，
為對(duì)角線作第二個(gè)正方形，以為對(duì)角線作第
三個(gè)正方形，…，如果所作正方形的對(duì)角線都在
y軸上，且的長(zhǎng)度依次增加1個(gè)單位，頂點(diǎn)都在第一象
限內(nèi)（n≥1，且n為整數(shù)）．那么的縱坐標(biāo)為 ；用n
的代數(shù)式表示的縱坐標(biāo)： ．
【思考2】2009，朝陽，二模
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點(diǎn)處開始跳動(dòng)，第一
次跳到點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于y軸
的對(duì)稱點(diǎn) 處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處，…，
如此循環(huán)下去．當(dāng)跳動(dòng)第2009次時(shí)，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是
．
【思考3】2009，昌平,一模
對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)n的平方進(jìn)行如下“分裂”，分裂成n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)72的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 ，自然數(shù)n的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 .
【思考4】2009，延慶，一模
一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及軸、軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng),即，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_______
【思考5】2009，海淀，二模
如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形紙片從左到右順次擺放，其對(duì)應(yīng)的正方形的中心依次為A1, A2, A3, ….①若擺放前6
個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）
之和為 ；②若擺放前n（n為大于1的正
整數(shù)）個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為 .
第三部分 思考題解析
【思考1答案】2；
【思考2答案】（3，－2）
【思考3答案】13；2n-1
【思考4答案】（5，0）
【思考5答案】10，
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